第19講 整除（教師版）

第19講整除（教師版）一、第19講整除1.在100以內(nèi)同時被2、3、5整除的正整數(shù)有多少個?【答案】解：由于2與3互質(zhì)，3與5互質(zhì)，5與2互質(zhì)(這種特性我們也稱為2、3、5兩兩互質(zhì))，根據(jù)性質(zhì)5，同時被2、3、5整除的整數(shù)必然被2×3×5=30整除；

另一方面，由性質(zhì)1，被30整除的整數(shù)必然可同時被2、3、5整除；

因此，在100以內(nèi)同時被2、3、5整除的正整數(shù)就是在100以內(nèi)被30整除的正整數(shù)，顯然只有30、60、90三個.

【解析】【分析】兩兩互質(zhì)，則同時被整除的正整數(shù)就是被整除的正整數(shù)，這也是一個非常有用的結(jié)論.

一般地，在以，不一定兩兩互質(zhì)時，有下面的結(jié)論：

同時被整除的正整數(shù)就是被的最小公倍數(shù)整除的整數(shù).

另外，在求100以內(nèi)被30整除的正整數(shù)的個數(shù)時，并不一定要把30、60、90全部列出，只要用100除以30，則商3便是所求的個數(shù).2.求1000以內(nèi)同時被3、4、5、6整除的正整數(shù)的個數(shù).【答案】解：∵3、4、5、6的最小公倍數(shù)為60，

∴1000以內(nèi)同時被3、4、5、6整除的正整數(shù)就是被60整除的正整數(shù)；

∵1000÷60=16……40，

∴這樣的正整數(shù)共有16個.【解析】【分析】一般地，在a1，a2，...，am，不一定兩兩互質(zhì)時，有下面的結(jié)論：

同時被a1，a2，...，am整除的正整數(shù)就是被a1，a2，...，am的最小公倍數(shù)整除的整數(shù).用1000除以60，商就要求得正整數(shù)的個數(shù).3.證明：形如的六位數(shù)一定被7、11、13整除.

【答案】證明:=×1001=×7×11×13.由此可見，被7、11、13整除.【解析】【分析】a1，a2，..，am兩兩互質(zhì)，則同時被a1，a2，...，am整除的正整數(shù)就是被a1?a2?...?am整除的正整數(shù)；根據(jù)題意可知這個六位數(shù)中有因數(shù)1001=7×11×13，從而得證.4.設(shè)五位數(shù)被72整除，求數(shù)字x與y.【答案】解：∵72=8×9，

∴被8與9整除.

、一個數(shù)被8整除時，它最后三位組成的數(shù)一定被8整除；所以能被8整除；通過除法運算，不難得到y(tǒng)=2.一個數(shù)被9整除時，它的數(shù)字和被9整除，所以x+6+7+9+2=x+24被9整除；注意到0<x≤9，因此，x只能為3，

∴x=3，y=2.【解析】【分析】本題利用被8與9整除的整數(shù)的一些特征，順利地解決了問題。下面我們給出一些常用的數(shù)字特征：(1)被2整除的數(shù)：個位數(shù)字是偶數(shù)；(2)被5整除的數(shù)：個位數(shù)字是0或5；(3)被4整除的數(shù)：末兩位組成的數(shù)被4整除；被25整除的數(shù)：末兩位組成的數(shù)被25整除；(4)被8整除的數(shù)：末三位組成的數(shù)被8整除；被125整除的數(shù)：末三位組成的數(shù)被125整除；(5)被3整除的數(shù)：數(shù)字和被3整除；(6)被9整除的數(shù)：數(shù)字和被9整除；(7)被11整除的數(shù)：奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差被11整除.

更一般地，我們有，

一個數(shù)被2或5除，與這個數(shù)的個位數(shù)字被2或5除，所得余數(shù)相同.

一個數(shù)被4或25除，與這個數(shù)末兩位組成的數(shù)被4或25除，所得余數(shù)相同.

一個數(shù)被8或125除，與這個數(shù)末三位組成的數(shù)被8或125除，所得余數(shù)相同.

一個數(shù)被3或9除，與這個數(shù)的數(shù)字和被3或9除，所得余數(shù)相同.

一個數(shù)被11除，與它的奇數(shù)位(從右數(shù)起)數(shù)字和減去偶數(shù)位數(shù)字和所得的差被11除，所得的余數(shù)相同.5.N=

.求N被11除所得的余數(shù)。【答案】解:顯然，N的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差為1999×（9+9-9-1）=1999×8.1999×8除以11的余數(shù)與8×8除以11的余數(shù)相同，即余數(shù)為9，從而N除以11，所得的余數(shù)為9.【解析】【分析】一個數(shù)被11除，與它的奇數(shù)位(從右數(shù)起)數(shù)字和減去偶數(shù)位數(shù)字和所得的差被11除，所得的余數(shù)相同，由此計算即可得出答案.6.將2002個同學排成一行，并從左向右編為1至2002號.再從左向右從1到11地報數(shù)，報到11的同學原地不動，其余同學出列.留下的同學再次從左向右從1到11地報數(shù)，報到11的同學留下，其余同學出列.留下的同學第三次從左向右1到11報數(shù)，報到11的同學留下，其余同學出列.問最后留下的同學有多少人?他們的編號是幾號?【答案】解：由題意，第一次報數(shù)后留下的同學，他們的編號必為11的倍數(shù)；第二次報數(shù)后留下的同學，他們的編號必為112=121的倍數(shù)；第三次報數(shù)后留下的同學，他們的編號必為113=1331的倍數(shù)；因此，最后留下的同學編號為1331的倍數(shù)，我們知道從1～2002中，1331的倍數(shù)只有一個，即1331號；

所以，最后留下一位同學，編號為1331.【解析】【分析】根據(jù)題意分析可知最后留下的同學編號必定是113=1331的倍數(shù)；而在1—2002里面是1331的倍數(shù)只有編號為1331.7.寫出13個都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù).【答案】解：若一個自然數(shù)a是2的倍數(shù)，則a+2也是2的倍數(shù)；若a是3的倍數(shù)，則a+3也是3的倍數(shù)……若a是14的倍數(shù)，則a+14也是14的倍數(shù).

所以只要取a為2，3，…，14的倍數(shù)，則a+2，a+3，…a+14分別為2，3，…，14的倍數(shù)。

所以，取a=2×3×4×...×14

則13個連續(xù)的自然數(shù)a+2，a+3，…，a+14都是合數(shù).

【解析】【分析】若一個自然數(shù)a是2的倍數(shù)，則a+2也是2的倍數(shù)；若a是3的倍數(shù)，則a+3也是3的倍數(shù)……若a是14的倍數(shù)，則a+14也是14的倍數(shù)；從而取a=2×3×4×...×14，由此可得出答案.8.任給一個自然數(shù)N，把N的各位數(shù)字按相反的順序?qū)懗鰜恚玫揭粋€新的自然數(shù)N'，試證明：|N-N'|被9整除.

【答案】證明：N除以9，與N的數(shù)字和除以9，所得余數(shù)相同，

N'除以9，與N'的數(shù)字和除