第14講 待定系數(shù)（教師版）

第14講待定系數(shù)（教師版）一、第14講待定系數(shù)（例題部分）1.m,n分別是什么數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式x2+mx+n和(x-2)(x+3)恒等?【答案】解:由題設(shè)(用符號(hào)“”表示恒等)

x2+mx+n(x-2)(x+3)x2+x-6

比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，得

m=1，n=-6．

又解分別用0、1代替式中的x，得

解得m=1，n=-6．

所以當(dāng)m=1，n=-6時(shí)，多項(xiàng)式x2+mx+n和(x-2)(x+3)恒等.【解析】【分析】可以根據(jù)情況，采用以上兩種解法中的一種，也可以將兩種解法結(jié)合起來(lái)使用．又解中z的值可以任意選取．當(dāng)然希望產(chǎn)生的方程(組)盡可能簡(jiǎn)單．本題中，x亦可取0與2．2.已知多項(xiàng)式

x4+x3+x2+2(x2+mx+1)(x2+nx+2)，求m與n的值．【答案】解:x4+x3+x2+2(x2+mx+1)(x2+nx+2)

x4+(m+n)x3+(mn+3)x2+(2m+n)x+2

比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，得

③-①得m=-1,

將m=-1代入①得，n=2.

當(dāng)m=-1，n=2，②顯然成立.

所以m=-1，n=2.【解析】【分析】將等式左邊展開(kāi)，如果兩個(gè)多項(xiàng)式恒等，則它們的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)全相等，從而得出方程組，兩個(gè)一次方程①、③足夠定出m、n．第三個(gè)方程②用作檢驗(yàn)．3.已知徹ax2+bx+1與2x2-3x+1的積不含三次項(xiàng)，也不含一項(xiàng)式，求a與b的值．【答案】解：乘積中的三次項(xiàng)由一個(gè)因式中的二次項(xiàng)與另一個(gè)因式中的一次項(xiàng)相乘而得，即乘積中的三次項(xiàng)為(2b-3a)x3；同樣，乘積中的一次項(xiàng)是(b-3)x．根據(jù)題意，這兩項(xiàng)的系數(shù)為零．從而有

解得：.

∴a=2，b=3.【解析】【分析】說(shuō)明要得到乘積中的某一項(xiàng)，不一定非把整個(gè)乘積寫(xiě)出，只要寫(xiě)出所需要的項(xiàng)即可；根據(jù)題意不含三次項(xiàng)，也不含一次項(xiàng)，即三次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)為零，由此列出方程組，解之即可得出a、b的值.4.已知6x2-7xy-3y2+14x+y+a(2x-3y+b)(3x+y+c)，試確定a、b、c的值．【答案】解:由題設(shè)，得6x2-7xy-3y2+14x+y+a(2x-3y+b)(3x+y+c)6x2-7xy-3y2+(3b+2c)x+(b-3c)y+bc，

比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，得

由①、②可得b=4，c=1，

把b=4,，c=1代人③得：a=4，

所以a=4，b=4,，c=1．【解析】【分析】說(shuō)明本例所給出的多項(xiàng)式是二元二次多項(xiàng)式，和一元的多項(xiàng)式一樣，如果兩個(gè)二元多項(xiàng)式恒等，則它們的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)全相等．從而可以通過(guò)比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)來(lái)求解．5.如果5x2-kx+7除以5x-2余6，求k的值及商式．【答案】解:因?yàn)?x2÷5x=x，所以商式的最高次項(xiàng)為一次，并且系數(shù)為1．設(shè)商式為x+m，由題意得

5x2-kx+7(5x-2)(x+m)+6①

即5x2-kx+75x2+(5m-2)x-2m+6②

比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，得

解得

所以，商式為x-．

又解在①中令得

解得

又比較①中常數(shù)項(xiàng)得④，解得m=-.【解析】【分析】被除數(shù)最高次數(shù)為2，除數(shù)最高次數(shù)為1，從而可得商式最高次數(shù)為1，設(shè)商式為x+m，根據(jù)題意得5x2-kx+7≡(5x-2)(x+m)+6，展開(kāi)根據(jù)多項(xiàng)式恒等定理知對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，得一個(gè)二元一次方程組，解之可得k、m的值，從而得出商式.6.將5x3-6x2+10表示成a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+d的形式．【答案】解:由題意有5x3-6x2+10a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+dax3+(b-3a)x2+(3a-2b+c)x+(b+d-a-c).比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，得解得a=5，b=9，c=3，d=9．所以5x3-6x2+10=5(x-1)3+9(x-1)2+3(x-1)+9．【解析】【分析】除了用待定系數(shù)法外，我們還可以利用變量代換的方法來(lái)解本題．解答如下：設(shè)y=x-1，則x=y+1，代入原式，得5x3-6x2+10=5(y+1)3-6(y+1)2+10=5y3+9y2+3y+9=5(x-1)3+9(x-1)2+3(x-1)+9這比解方程組的方法簡(jiǎn)單．7.有一個(gè)關(guān)于x的三次多項(xiàng)式．x分別取0、1、-1、2時(shí)，這個(gè)多項(xiàng)式的值分別為2、2、0、6．求這個(gè)多項(xiàng)式．【答案】解:設(shè)所求的多項(xiàng)式為ax3+bx2+cx+d，根據(jù)題意，有

解得a