2024秋高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語(yǔ)1.2.2充要條件學(xué)案含解析新人教A版選修2-1

PAGE8-1.2.2充要條件自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入曹操赤壁兵敗之后欲投南郡，除華容道外，還有一條大路，前者路險(xiǎn)，但近50里；后者路平，但遠(yuǎn)50里．曹操發(fā)覺(jué)“小路山邊有數(shù)處起煙，大路并無(wú)動(dòng)靜”．曹操推斷“諸葛亮多謀，使人于山僻燒煙，他卻伏兵于大路，我偏不中計(jì)！”哪知這正與諸葛亮的推斷吻合：曹操熟讀兵書，會(huì)搬用“虛則實(shí)之，實(shí)則虛之”的原理，不如來(lái)一個(gè)實(shí)而實(shí)之，以傻賣傻，故燃炊煙，最終使曹操敗走華容道．曹操的錯(cuò)誤在于把不行靠的臆測(cè)作為已知條件，經(jīng)過(guò)推理，得到的結(jié)論當(dāng)然是不行靠的．新知導(dǎo)學(xué)充要條件1．假如既有p?q，又有q?p，則p是q的__充要條件__，記為__p?q__.2．假如peq\o(?,/)q且qeq\o(?,/)p，則p是q的__既不充分也不必要條件__.3．假如p?q且qeq\o(?,/)p，則稱p是q的__充分不必要__條件．4．假如peq\o(?,/)q且q?p，則稱p是q的__必要不充分__條件．5．設(shè)與命題p對(duì)應(yīng)的集合為A＝{x|p(x)}，與命題q對(duì)應(yīng)的集合為B＝{x|q(x)}，若A?B，則p是q的__充分__條件，q是p的__必要__條件．若A＝B，則p是q的__充要__條件．若AB，則p是q的__充分不必要__條件，q是p的__必要不充分__條件．若Aeq\o(?,/)B，則p不是q的__充分__條件，q不是p的__必要__條件．6．p是q的充要條件是說(shuō)，有了p成立，就__肯定有__q成立．p不成立時(shí)，__肯定有__q不成立．預(yù)習(xí)自測(cè)1．(2024·山東濰坊高二期末)設(shè)x∈R，則“x>1”是“|x|>1”的(A)A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[解析]由|x|>1，解得x>1或x<－1，故“x>1”是“|x|>1”的充分不必要條件，故選A．2．(2024·浙江卷，5)若a>0，b>0，則“a＋b≤4”是“ab≤4”的(A)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件[解析]∵a>0，b>0，若a＋b≤4，∴2eq\r(ab)≤a＋b≤4.∴ab≤4，此時(shí)充分性成立．當(dāng)a>0，b>0，ab≤4時(shí)，令a＝4，b＝1，則a＋b＝5>4，這與a＋b≤4沖突，因此必要性不成立．綜上所述，當(dāng)a>0，b>0時(shí)，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件．故選A．3．設(shè)A、B是兩個(gè)集合，則“A∩B＝A”是“A?B”的(C)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]由題意得，A∩B＝A?A?B，反之，A?B?A∩B＝A，故為充要條件，選C．4．設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＝0平行”的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]本題主要考查充分必要條件．若兩直線平行，則a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，∴a＝1或－2，故a＝1是兩直線平行的充分不必要條件．5．若“x<a”是“x2－2x－3≥0”的充分不必要條件，則a的取值范圍是__a≤－1__.[解析]∵x2－2x－3≥0，∴x≥3或x≤－1.∵“x<a”是“x2－2x－3≥0”的充分不必要條件，∴a≤－1.互動(dòng)探究·攻重難互動(dòng)探究解疑命題方向?充要條件的推斷典例1設(shè)x∈R，則“x>1”是“x3>1”的(C)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[規(guī)范解答]由于函數(shù)y＝x3在R上是增函數(shù)，∴當(dāng)x>1時(shí)，x3>1成立，反過(guò)來(lái)，當(dāng)x3>1時(shí)，x>1也成立．故“x>1”是“x3>1”的充要條件，故選C．『規(guī)律總結(jié)』推斷p是q的充分必要條件的兩種思路(1)命題角度：推斷p是q的充分必要條件，主要是推斷p?q及q?p這兩個(gè)命題是否成立，若p?q成立，則p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件；若q?p成立，則p是q的必要條件，同時(shí)q是p的充分條件；若二者都成立，則p與q互為充要條件．(2)集合角度：關(guān)于充分條件、必要條件、充要條件，當(dāng)不簡(jiǎn)單推斷p?q及q?p的真假時(shí)，也可以從集合角度去推斷，結(jié)合集合中“小集合?大集合”的關(guān)系來(lái)理解，這對(duì)解決與邏輯有關(guān)的問(wèn)題是大有好處的．┃┃跟蹤練習(xí)1__■(1)設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，則“a＋b>0”是“ab>0”的(D)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件[解析]本題采納特別值法：當(dāng)a＝3，b＝－1時(shí)，a＋b>0，但ab<0，故不是充分條件；當(dāng)a＝－3，b＝－1時(shí)，ab>0，但a＋b<0，故不是必要條件．所以“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要條件，故選D．(2)(2024·全國(guó)Ⅱ卷文，7)設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是(B)A．α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面[解析]若α∥β，則α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行，反之不成立；若α，β平行于同一條直線，則α與β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，則α與β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要條件．依據(jù)平面與平面平行的判定定理知，若一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則兩平面平行，反之成立．因此B中條件是α∥β的充要條件．故選B．典例2設(shè)p：|x|－3>0，q：x2－eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)>0，則p是q的(A)A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件[規(guī)范解答]使p成立的x的集合為A＝{x|x>3或x<－3}，使q成立的x的集合為B＝{x|x>eq\f(1,2)或x<eq\f(1,3)}，∵AB，即若x∈A，則x∈B.但x∈B不肯定有x∈A，∴p為q的充分不必要條件．『規(guī)律方法』1.假如條件p與結(jié)論q是否成立都與數(shù)集有關(guān)(例如方程、不等式的解集、參數(shù)的取值范圍等)，常利用集合法來(lái)分析條件的充分性與必要性，將充要條件的探討轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系探討，可借助數(shù)軸等工具進(jìn)行．2．用集合的關(guān)系推斷充要條件時(shí)，關(guān)鍵抓住已知A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則A?B?p是q的充分條件，q是p的必要條件．┃┃跟蹤練習(xí)2__■(1)“x<0”是“l(fā)n(x＋1)<0”的(B)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件[解析]依據(jù)ln(x＋1)<0求出x的取值范圍后推斷．∵ln(x＋1)<0，∴0<x＋1<0，∴－1<x<0.∴x<0是－1<x<0的必要不充分條件，故選B．(2)(2024·北京理，7)設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為銳角”是“|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|>|eq\o(BC,\s\up6(→))|”的(C)A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件[解析]因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C不共線，由向量加法的三角形法則，可知eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|>|eq\o(BC,\s\up6(→))|等價(jià)于|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|>|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|，因模為正，故不等號(hào)兩邊平方得eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＋2|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cosθ>eq\o(AC,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2－2|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|cosθ(θ為eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角)，整理得4|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cosθ>0，故cosθ>0，即θ為銳角．又以上推理過(guò)程可逆，所以“eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為銳角”是“|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|>|eq\o(BC,\s\up6(→))|”的充分必要條件．故選C．命題方向?利用充分條件和必要條件確定參數(shù)的取值范圍典例3設(shè)p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a2＋a≤0，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[思路分析]此類題目首先要嫻熟應(yīng)用函數(shù)、不等式、方程等學(xué)問(wèn)求解相關(guān)范圍，再利用充分條件和必要條件與集合間的關(guān)系求出參數(shù)的取值范圍．[規(guī)范解答]∵|4x－3|≤1，∴eq\f(1,2)≤x≤1，即p：eq\f(1,2)≤x≤1.由x2－(2a＋1)x＋a2＋a得(x－a)[x－(a＋1)]≤0，∴a≤x≤a＋1，即q：a≤x≤a＋1.∵p是q的充分不必要條件，∴p?q，qeq\o(?,/)p.∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1)))){x|a≤x≤a＋1}．故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥1,a≤\f(1,2)))，解得0≤a≤eq\f(1,2).所以a的取值范圍是0≤a≤eq\f(1,2).『規(guī)律總結(jié)』充要條件中的含參數(shù)問(wèn)題，往往是通過(guò)集合的包含關(guān)系解答．┃┃跟蹤練習(xí)3__■已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(B)A．m>1或m<－7B．m≥1或m≤－7C．－7≤m≤1D．－7<m<1[解析]由題意知，p：x>m＋3或x<m；q：－4<x<1，由于p是q成立的必要不充分條件，所以{x|－4<x<1}是{x|x>m＋3或x<m}的真子集，從而有m≥1或m＋3≤－4，即m≥1或m≤－7，故選B．命題方向?充要條件的證明典例4已知x，y都是非零實(shí)數(shù)，且x>y，求證：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要條件是xy>0.[思路分析]充要條件的證明可用其定義，即條件?結(jié)論且結(jié)論?條件．假如每一步的推出都是等價(jià)的(?)，也可以把兩個(gè)方面的證明合并在一起，用“?”寫出證明．[規(guī)范解答]證法1：(充分性)由xy>0及x>y，得eq\f(x,xy)>eq\f(y,xy)，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，(必要性)由eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，得eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0，即eq\f(y－x,xy)<0.因?yàn)閤>y，所以y－x<0，所以xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要條件是xy>0.證法2：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)?eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0?eq\f(y－x,xy)<0.由條件x>y?y－x<0，故由eq\f(y－x,xy)<0?xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)?xy>0，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要條件是xy>0.『規(guī)律總結(jié)』(1)充要條件的證明要確定命題中的條件和結(jié)論，要從兩個(gè)方面進(jìn)行證明，證充分性就是證原命題成立，證必要性就是證原命題的逆命題成立．(2)證明“充要條件”一般應(yīng)分兩個(gè)步驟，即分別證明“充分性”與“必要性”，但千萬(wàn)要留意“誰(shuí)”是“誰(shuí)”的充分條件，“誰(shuí)”是“誰(shuí)”的必要條件．盡管證明充要條件問(wèn)題中，前者可以是后者的充分條件，也可以是必要條件，但還是不能把步驟顛倒了，一般地，證明“p成立的充要條件為q”時(shí)，在證充分性時(shí)應(yīng)以q為“已知條件”，p是該步中要證明的“結(jié)論”，即q?p；證明必要性時(shí)則是以p為“已知條件”，q是該步中證明的“結(jié)論”，即p?q.┃┃跟蹤練習(xí)4__■求關(guān)于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件．[解析]①當(dāng)a＝0時(shí)，解得x＝－1，滿意條件；②當(dāng)a≠0時(shí)，明顯方程沒(méi)有零根，若方程有兩異號(hào)實(shí)根，則a<0；若方程有兩個(gè)負(fù)的實(shí)根，則必需滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>0，,－\f(1,a)<0，,Δ＝1－4a≥0，))?0<a≤eq\f(1,4).綜上，若方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根，則a≤eq\f(1,4).反之，若a≤eq\f(1,4)，則方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根．因此，關(guān)于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是a≤eq\f(1,4).學(xué)科核心素養(yǎng)充要條件的探求探求一個(gè)命題成立的充要條件一般有兩種處理方法：①先由結(jié)論找尋使之成立的必要條件，再驗(yàn)證它也是使結(jié)論成立的充分條件，即保證充分性和必要性都成立．②變換結(jié)論為等價(jià)命題，使每一步都可逆，干脆得到使命題成立的充要條件．典例5已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根的充要條件．[思路分析]方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則Δ≥0，兩根均大于1，則相應(yīng)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在x＝1的右側(cè)，且x＝1時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于0，建立不等式組求解．[規(guī)范解答]令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝2k－12－4k2≥0，,－\f(2k－1,2)>1，,f1>0，))解得k<－2.因此k<－2是使方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根的充要條件．『規(guī)律總結(jié)』求解本題時(shí)簡(jiǎn)單出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：①把“有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根”理解為“有兩個(gè)大于1的不等實(shí)數(shù)根”，從而將Δ≥0錯(cuò)寫為Δ>0；②只考慮判別式Δ≥0和f(1)>0，卻忽視了對(duì)稱軸所在的區(qū)間．┃┃跟蹤練習(xí)5__■設(shè)集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|y＝eq\r(3－xx－22)}，則A?A∩B的充要條件為__a≤9__；A?A∩B的一個(gè)