《有限元分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課件

有限元分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)本課件將深入探討有限元分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并探討其在工程領(lǐng)域的應(yīng)用by有限元分析的概述定義有限元分析是一種數(shù)值方法，用于求解由偏微分方程描述的工程問題。核心思想將連續(xù)問題分解成有限個互連的單元，并通過求解每個單元上的微分方程來獲得整體解。連續(xù)問題的離散化1離散化2單元將連續(xù)域劃分為有限個小單元。3節(jié)點每個單元的頂點或邊稱為節(jié)點。4形函數(shù)定義在每個單元上，用于近似單元內(nèi)解的函數(shù)。有限元法的基本思想1弱形式將偏微分方程轉(zhuǎn)換為等價的積分方程。2試探函數(shù)利用形函數(shù)構(gòu)造一組試探函數(shù)。3Galerkin方法將試探函數(shù)代入積分方程，得到代數(shù)方程組。4求解解代數(shù)方程組，得到問題的近似解。基本理論和基本公式變分原理最小勢能原理、最小位移原理。加權(quán)余量法Galerkin方法、最小二乘法、Collocation方法。一維有限元分析單元類型桿單元、梁單元。形函數(shù)線性形函數(shù)、二次形函數(shù)。剛度矩陣計算單元的剛度矩陣。組裝將所有單元的剛度矩陣組裝成全局剛度矩陣。二維有限元分析三角形單元常用于二維問題。四邊形單元適用于規(guī)則幾何形狀。形函數(shù)線性形函數(shù)、二次形函數(shù)。剛度矩陣計算單元的剛度矩陣。三維有限元分析3四面體單元最常用的三維單元。6六面體單元適用于規(guī)則幾何形狀。8形函數(shù)線性形函數(shù)、二次形函數(shù)。10剛度矩陣計算單元的剛度矩陣。單元類型和單元形狀1線性單元最簡單、計算效率高。2二次單元精度更高，但計算量更大。3高階單元更高精度，但計算量更大。形函數(shù)的選擇插值精度形函數(shù)需要滿足一定的插值精度要求。連續(xù)性形函數(shù)需要滿足一定的連續(xù)性要求。計算效率選擇計算效率高的形函數(shù)。單元剛度矩陣的構(gòu)造1單元積分計算每個單元上的積分。2形函數(shù)利用形函數(shù)計算單元剛度矩陣。3組裝將所有單元的剛度矩陣組裝成全局剛度矩陣。組裝總剛度矩陣節(jié)點對應(yīng)將每個單元的剛度矩陣按節(jié)點對應(yīng)關(guān)系組裝到全局剛度矩陣中。疊加原理應(yīng)用疊加原理，將所有單元的剛度矩陣疊加到全局剛度矩陣中。邊界條件的施加求解代數(shù)方程組直接法高斯消元法、LU分解。迭代法雅可比迭代、高斯-賽德爾迭代、共軛梯度法。后處理和結(jié)果分析應(yīng)力分析顯示結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布情況。位移分析顯示結(jié)構(gòu)的位移情況。有限元法的優(yōu)點和局限性優(yōu)點通用性強、精度高、可以處理復(fù)雜幾何形狀。局限性計算量大、需要一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、網(wǎng)格劃分影響精度。非線性問題的處理1材料非線性2幾何非線性3邊界條件非線性4迭代算法牛頓-拉夫森迭代、割線法。動態(tài)問題的處理1時間積分Newmark方法、Wilson方法。2模態(tài)分析計算結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型。3瞬態(tài)分析模擬結(jié)構(gòu)在時間上的動態(tài)響應(yīng)。接觸問題的處理接觸條件定義接觸面之間的相互作用。罰函數(shù)法通過懲罰函數(shù)模擬接觸力。拉格朗日乘子法引入拉格朗日乘子來處理約束條件。優(yōu)化設(shè)計中的有限元分析目標(biāo)函數(shù)定義優(yōu)化目標(biāo)。設(shè)計變量需要優(yōu)化的參數(shù)。約束條件設(shè)計變量的限制條件。優(yōu)化算法遺傳算法、梯度下降法。多尺度有限元分析1宏觀尺度模擬整體結(jié)構(gòu)的行為。2微觀尺度模擬材料內(nèi)部的微觀結(jié)構(gòu)。3耦合將不同尺度上的模型進行耦合。網(wǎng)格劃分的重要性精度網(wǎng)格劃分直接影響計算精度。效率合理的網(wǎng)格劃分可以提高計算效率。網(wǎng)格劃分的自適應(yīng)技術(shù)1誤差估計評估當(dāng)前網(wǎng)格劃分下的誤差。2網(wǎng)格調(diào)整根據(jù)誤差估計結(jié)果調(diào)整網(wǎng)格。3重新計算在新的網(wǎng)格上重新進行有限元分析。誤差分析和誤差估計誤差來源離散誤差、數(shù)值誤差。誤差估計方法殘差法、能量法。收斂性和穩(wěn)定性收斂性隨著網(wǎng)格細(xì)化，解的精度逐漸提高。穩(wěn)定性計算過程不會出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。編程實現(xiàn)的關(guān)鍵問題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計有效的網(wǎng)格數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。算法優(yōu)化選擇合適的算法來提高計算效率。有限元分析的應(yīng)用領(lǐng)域未來發(fā)展趨勢1并行計算2自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)3多尺度建模4機器學(xué)習(xí)5云計算總結(jié)與展望1