2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)評價(jià)1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算含解析新人教A版選擇性必修第一冊

PAGE一空間向量及其線性運(yùn)算(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.如圖所示,在四棱柱的上底面ABCD中,=,則下列向量相等的是 ()A.與 B.與C.與 D.與【解析】選D.依據(jù)題意可知,與,與為相反向量,與只是模相等.2.已知空間四邊形ABCD,連接AC,BD,則++為 ()A. B. C. D.0【解析】選A.++=+=.3.四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是平行四邊形,M是AC與BD的交點(diǎn).若=a,=b,=c,則可以表示為 ()A.a+b+QUOTEc B.-QUOTEa-QUOTEb+cC.-QUOTEa-QUOTEb-c D.QUOTEa+QUOTEb+c【解析】選C.因?yàn)樗睦庵鵄BCD-A1B1C1D1的底面是平行四邊形,M是AC與BD的交點(diǎn),所以=+,=-QUOTE=-QUOTE(+),所以=-c-QUOTEa-QUOTEb.4.已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi),并且對空間隨意一點(diǎn)O,有=x+QUOTE+QUOTE,則x的值為 ()A.1 B.0 C.3 D.QUOTE【解析】選D.因?yàn)?x+QUOTE+QUOTE,且M,A,B,C四點(diǎn)共面,所以x+QUOTE+QUOTE=1,x=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共10分)5.把全部單位向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn),則這些向量的終點(diǎn)組成的圖形是.

【解析】在空間中把全部的單位向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn),則這些向量的終點(diǎn)組成的圖形是以這些單位向量的公共起點(diǎn)為球心,半徑為1的球面.答案:球面6.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為O,則下列結(jié)論中正確的是①+與+是一對相等向量;②-與-是一對相反向量;③+++與+++是一對相反向量;④-與-是一對相等向量.【解析】依題意,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,有+=0,+=0,+=0,+=0,故(+++)+(+++)=0,③正確;+與+是相反向量,①錯(cuò)誤;-=,-=,所以-=-,②錯(cuò)誤;-=,-=,與是相反向量,所以④錯(cuò)誤.答案:③三、解答題(每小題10分,共20分)7.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中點(diǎn),化簡下列各式,并在圖中標(biāo)出化簡得到的向量(1)+;(2)++QUOTE;(3)--.【解析】(1)+=.(2)因?yàn)镸是BB1的中點(diǎn),所以=QUOTE.又=,所以++QUOTE=+=.(3)--=-=.向量,,如圖所示,8.如圖,已知M,N分別為四面體A-BCD的面BCD與面ACD的重心,G為AM上一點(diǎn),且GM∶GA=1∶3.求證:B,G,N三點(diǎn)共線.【證明】設(shè)=a,=b,=c,則=+=+QUOTE=-a+QUOTE(a+b+c)=-QUOTEa+QUOTEb+QUOTEc,=+=+QUOTE(+)=-a+QUOTEb+QUOTEc=QUOTE,所以∥.又BN與BG有公共點(diǎn)B,所以B,G,N三點(diǎn)共線.(15分鐘·30分)1.(5分)(多選題)已知空間向量,,,,則下列結(jié)論正確的是 ()A.=+ B.-+=C.=++ D.=+【解析】選BD.+=,故A錯(cuò);-+=++=+=,故B正確;++=+,故C錯(cuò);+=,故D正確.2.(5分)已知空間四邊形OABC,其對角線為OB和AC,M,N分別是邊OA,CB的中點(diǎn),點(diǎn)G在線段MN上,且使MG=2GN,用向量,,表示向量是 ()A.=QUOTE+QUOTE+QUOTEB.=QUOTE+QUOTE+QUOTEC.=+QUOTE+QUOTED.=QUOTE+QUOTE+QUOTE【解析】選A.因?yàn)镸G=2GN,M,N分別是邊OA,CB的中點(diǎn),所以=+=+QUOTE=+QUOTE(++)=QUOTE+QUOTE+QUOTE(-)=QUOTE+QUOTE+QUOTE.3.(5分)對于空間中的非零向量,,,有下列各式:①+=;②-=;③||+||=||;④||-||=||.其中肯定不成立的是.

【解析】依據(jù)空間向量的加減法運(yùn)算,對于①:+=恒成立;對于③:當(dāng),,方向相同時(shí),有||+||=||;對于④:當(dāng),,共線且,方向相同,||>||時(shí),有||-||=||.只有②肯定不成立.答案:②4.(5分)在三棱錐A-BCD中,若△BCD是正三角形,E為其中心,則化簡+QUOTE-QUOTE-的結(jié)果為.

【解析】如圖,延長DE交邊BC于點(diǎn)F,則+QUOTE=,QUOTE+=+=,故+QUOTE-QUOTE-=0.答案:05.(10分)已知M,G分別是空間四邊形ABCD的兩邊BC,CD的中點(diǎn),化簡下列各式.(1)+QUOTE(+);(2)-QUOTE(+).【解析】(1)如圖所示,取BD的中點(diǎn)H,連接MG,GH.因?yàn)镸,G分別為BC,CD的中點(diǎn),所以四邊形BMGH為平行四邊形,所以QUOTE(+)=+=,從而+QUOTE(+)=+=.(2)分別取AB,AC的中點(diǎn)S,N,連接SM,AM,MN,則四邊形ASMN為平行四邊形,所以QUOTE(+)=+=,所以-QUOTE(+)=-=.1.如圖,已知空間四邊形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,對角線AC,BD的中點(diǎn)分別為E,F,則=.(用向量a,b,c表示)

【解析】設(shè)G為BC的中點(diǎn),連接EG,FG,則=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE(a-2c)+QUOTE(5a+6b-8c)=3a+3b-5c.答案:3a+3b2.如圖,已知OE是平行六面體OADB-CFEG的體對角線,點(diǎn)M是△ABC的重心,求證:點(diǎn)M在直線OE上.【證明】如圖,連接AM并延長交BC于點(diǎn)H,因?yàn)镸是△ABC的重心,所以H為BC的中點(diǎn),