2024-2025學年新教材高中數學第七章概率7.2.1古典概型的概率計算公式課時分層作業(yè)含解析北師大版必修第一冊

PAGE課時分層作業(yè)(四十二)古典概型的概率計算公式(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．一部三冊的小說，隨意排放在書架的同一層上，則各冊的排放次序共有()A．3種B．4種C．6種D．12種C[(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，共6種．]2．下列是古典概型的是()A．隨意拋擲兩枚骰子，所得點數之和作為樣本點B．求隨意的一個正整數平方的個位數字是1的概率，將取出的正整數作為樣本點C．從甲地到乙地共n條路途，求某人正好選中最短路途的概率D．拋擲一枚勻稱硬幣，首次出現正面為止C[A項中由于點數的和出現的可能性不相等，故A不是；B項中的樣本點是無限的，故B不是；C項滿意古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項中樣本點既不是有限個，也不具有等可能性，故D不是．]3．從{1，2，3，4，5}中隨機選取一個數為a，從{1，2，3}中隨機選取一個數為b，則b>a的概率是()A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,5)D[設所取的數中b>a為事務A，假如把選出的數a，b寫成一數對(a，b)的形式，則試驗的樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)}，共15個，事務A包含的樣本點有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3個，因此所求的概率P(A)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).]4．從甲、乙、丙、丁、戊五個人中選取三人參與演講競賽，則甲、乙都當選的概率為()A．eq\f(2,5)B．eq\f(2,10)C．eq\f(3,10)D．eq\f(3,5)C[從五個人中選取三人，則試驗的樣本空間Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，而甲、乙都當選的結果有3種，故所求的概率為eq\f(3,10).]5．同時拋擲三枚勻稱的硬幣，出現一枚正面，兩枚反面的概率等于()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,3)C．eq\f(3,8)D．eq\f(1,2)C[試驗的樣本空間Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，反，反)}，共8種，出現一枚正面，兩枚反面的樣本點有3種，故概率為P＝eq\f(3,8).]二、填空題6．從含有3件正品和1件次品的4件產品中不放回地任取2件，則取出的2件中恰有1件是次品的概率是________．eq\f(1,2)[設3件正品為A，B，C，1件次品為D，從中不放回地任取2件，試驗的樣本空間Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)}，共6個．其中恰有1件是次品的樣本點有：(A，D)，(B，D)，(C，D)，共3個，故P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).]7．在國慶閱兵中，某兵種A，B，C三個方陣按肯定次序通過主席臺，若先后次序是隨機排定的，則B先于A，C通過的概率為________．eq\f(1,3)[用(A，B，C)表示A，B，C通過主席臺的次序，則全部可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6種，其中B先于A，C通過的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2種，故所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).]8．從1，2，3，4，5中隨意取出兩個不同的數，其和為5的概率是________．eq\f(1,5)[從5個數中隨意取出兩個不同的數，樣本點的總數為10，若取出的兩數之和等于5，則有(1，4)，(2，3)，共有2個樣本點，所以取出的兩數之和等于5的概率為eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).]三、解答題9．某種飲料每箱裝6聽，其中一箱有2聽不合格，質檢人員依次不放回地從該箱中隨機抽出2聽，求檢測出不合格產品的概率．[解]只要檢測的2聽中有1聽不合格，就表示查出了不合格產品．分為兩種狀況：1聽不合格和2聽都不合格．設合格飲料為1，2，3，4，不合格飲料為5，6，從6聽中選2聽的基本領件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15種．有1聽不合格的有(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，共8種；有2聽不合格的有(5，6)，共1種，所以檢測出不合格產品的概率為eq\f(8＋1,15)＝eq\f(3,5).10．某學校有初級老師21人，中級老師14人，高級老師7人，現采納分層隨機抽樣的方法從這些老師中抽取6人對績效工資狀況進行調查．(1)求應從初級老師、中級老師、高級老師中分別抽取的人數；(2)若從分層隨機抽樣抽取的6名老師中隨機抽取2名老師做進一步數據分析，求抽取的2名老師均為初級老師的概率．[解](1)由分層隨機抽樣學問得應從初級老師、中級老師、高級老師中抽取的人數分別為3，2，1.(2)在分層隨機抽樣抽取的6名老師中，3名初級老師分別記為A1，A2，A3，2名中級老師分別記為A4，A5，高級老師記為A6，則從中抽取2名老師的樣本空間為Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即樣本點的總數為15.抽取的2名老師均為初級老師(記為事務B)的樣本點為(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3種．所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).11．有五根細木棒，長度分別為1，3，5，7，9(cm)，從中任取三根，能搭成三角形的概率是()A．eq\f(3,20)B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,5)D．eq\f(3,10)D[設取出的三根木棒能搭成三角形為事務A，試驗的樣本空間Ω＝{(1、3、5),(1、3、7),(1、3、9),(1、5、7),(1、5、9),(1、7、9),(3、5、7),(3、5、9),(3、7、9),(5、7、9)}，樣本空間的總數為10，由于三角形兩邊之和大于第三邊，構成三角形的樣本點只有(3、5、7),(3、7、9),(5、7、9)三種狀況，故所求概率為P(A)＝eq\f(3,10).]12．兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)C[設兩位男同學分別為a，b，兩位女同學分別為c，d，四人隨機站成一列，試驗的樣本空間Ω＝{abcd，abdc，acbd，acdb，adbc，adcb，bacd，badc，bcad，bcda，bdac，bdca，cabd，cadb，cbad，cbda，cdab，cdba，dabc，dacb，dbac，dbca，dcab，dcba}共24個，其中表示兩位女同學相鄰的樣本點有：abcd，abdc，acdb，dcab，dcba，bacd，badc，bcda，bdca，cdab，cdba，adcb，共12個，故所求的概率為eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).]13．從三男三女共6名學生中任選2名(每名同學被選中的概率均相等)，則2名都是女同學的概率等于________．eq\f(1,5)[用A，B，C表示三名男同學，用a，b，c表示三名女同學，則從6名同學中選出2人的樣本空間Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，其中事務“2名都是女同學”包含樣本點的個數為3，故所求的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).]14．袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球．從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率為________．eq\f(2,5)[設袋中紅球用a表示，2個白球分別用b1，b2表示，3個黑球分別用c1，c2，c3表示，則試驗的樣本空間Ω＝{(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)}，則樣本空間的總數為15個．兩球顏色為一白一黑的樣本空間有(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6個．∴其概率為eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).]15．袋子中放有大小和形態(tài)相同的小球若干個，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球n個．已知從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號是2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為a，其次次取出的小球標號為b.記事務A表示“a＋b＝2”，求事務A[解](1)由題意可知：eq