2022-2023學(xué)年江蘇省揚州市寶應(yīng)縣高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

2022-2023學(xué)年江蘇省揚州市寶應(yīng)縣高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得集合，利用交集，可得答案.【詳解】由，則，解得，即，.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運算求出復(fù)數(shù)z，即可得作答.【詳解】依題意，，則所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D3.已知兩個等差數(shù)列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和為（）A1460 B.1472C.1666 D.1678【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求出兩個數(shù)列，相同的項組成的數(shù)列，求出項數(shù)，然后求出它們的和即可.【詳解】有兩個等差數(shù)列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，由這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，2，14，26，38，50，…，182，194是兩個數(shù)列的相同項.共有個，也是等差數(shù)列，它們的和為，這個新數(shù)列的各項之和為1666.故選：C.4.文化廣場原名地質(zhì)宮廣場，是長春市著名的城市廣場，歷史上地質(zhì)宮廣場曾被規(guī)劃為偽滿洲國的國都廣場．文化廣場以新民主大街道路中心線至地質(zhì)宮廣場主樓中央為南北主軸，廣場的中央是太陽鳥雕塑塔，在地質(zhì)宮（現(xiàn)為吉林大學(xué)地質(zhì)博物館）主樓輝映下顯得十分壯觀．現(xiàn)某興趣小組準(zhǔn)備在文化廣場上對中央太陽鳥雕塑塔的高度進(jìn)行測量，并繪制出測量方案示意圖，A為太陽鳥雕塑最頂端，B為太陽鳥雕塑塔的基座（即B在A的正下方），在廣場內(nèi)（與B在同一水平面內(nèi)）選取C、D兩點．測得CD的長為m．興趣小組成員利用測角儀可測得的角有、、、、，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)，不能計算出太陽鳥雕塑塔高度AB的是（）A.m、、、 B.m、、、C.m、、、 D.m、、、【答案】B【解析】【分析】結(jié)合解三角形、正弦定理、余弦定理等知識確定正確答案.【詳解】結(jié)合選項可知是必選條件，求的思路是：求得或中的一條，然后解直角三角形求得；或用表示，利用余弦定理解方程來求得.A選項，根據(jù)m、、，可利用正弦定理求得，從而求得.B選項，m、、、四個條件，無法通過解三角形求得.C選項，根據(jù)m、、，利用正弦定理可求得，從而求得.D選項，由、借助直角三角形和余弦定理，用表示出，然后結(jié)合在三角形中利用余弦定理列方程，解方程求得.所以B選項的條件不能計算出.故選：B5.已知函數(shù)的部分圖像如圖，則函數(shù)的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由奇偶性可排除AD，由特殊點可排除C，即可求解【詳解】由于圖像關(guān)于原點對稱，所以為奇函數(shù)，對于A：由得：，為偶函數(shù)，故可排除A；對于D：由得：，為偶函數(shù)，故可排除D；由圖知圖象不經(jīng)過點，而對于C：，故可排除C；故選：B6.在中，點為線段上任一點（不含端點），若，則的最小值為（）A.12 B.6 C.8 D.9【答案】A【解析】【分析】由題意得，且，再利用基本不等式“1”的妙用求解即可.【詳解】因為，且點在線段上（不含端點），所以，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立，所以，即的最小值為12.故選：A.7.已知圓C：，直線為直線上的動點，過點作圓的切線，切點為，，則最小值為（）A.5 B.6 C.8 D.4【答案】D【解析】【分析】由于四邊形的面積為，從而可求出最小值.【詳解】圓C：的圓心為，半徑，因為四邊形的面積為，所以當(dāng)四邊形的面積最小時，取得最小值，此時最小，此時與直線垂直，因為到直線的距離為，所以，所以最小值為4，故選：D8.已知正實數(shù)，，滿足，，，則a，b，c大小關(guān)系為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)可得，由此可構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)f(x)的單調(diào)性即可判斷a和c的大??；根據(jù)對數(shù)的計算法則和對數(shù)的性質(zhì)可得b與2的大小關(guān)系；變形為，利用函數(shù)與函數(shù)的圖象可判斷兩個函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)c的范圍，從而判斷b與c的大小.由此即可得到答案．【詳解】，故令，則，．易知和均為上的增函數(shù)，故在為增函數(shù)．∵，故由題可知，，即，則．易知，，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示，則兩圖象交點橫坐標(biāo)在內(nèi)，即，，．故選：B．二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.函數(shù)解析式B.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度可得函數(shù)的圖象C.直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸D.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)圖像得到解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)項判斷即可.【詳解】由題圖知：函數(shù)的最小正周期，則，，所以函數(shù)．將點代入解析式中可得，則，得，因為，所以，因此，故A正確．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度可得函數(shù)的圖像，故B正確.，當(dāng)時，，故C正確.當(dāng)時，，所以，即最大值為，故D錯誤．故選：ABC．10.下列命題中是真命題的有（）A.若，則B.在線性回歸模型擬合中，若相關(guān)系數(shù)越大，則樣本的線性相關(guān)性越強(qiáng)C.有一組樣本數(shù)據(jù)，.若樣本的平均數(shù)，則樣本的中位數(shù)為2D.投擲一枚骰子10次，并記錄骰子向上的點數(shù)，平均數(shù)為2，方差為1.4，可以判斷一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)二項分布期望公式、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、方差的定義逐一判斷即可.【詳解】對于，若，則，故A正確；對于B，若越大，則樣本的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故B不正確；對于C，有兩種情況：1，2，3和2，2，2，故C正確；對于D，若出現(xiàn)點數(shù)6，則，此時其方差不可能是1.4，所以D正確．故選：ACD．11.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線與拋物線交于兩點，點在上的射影為，則下列說法正確的是（）A.若，則B.以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切C.設(shè)，則D.過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線至多有2條【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)焦點弦公式即可判斷A；求出線段的中點坐標(biāo)及圓的半徑，從而可判斷B；根據(jù)拋物線的定義可得，即可判斷C；分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，結(jié)合根的判別式即可判斷D.【詳解】解：由題意，故A正確；拋物線的準(zhǔn)線，，則以為直徑圓的半徑，線段的中點坐標(biāo)為，則線段的中點到準(zhǔn)線的距離為，所以以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，故B正確；拋物線的焦點為，，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取等號，所以，故C正確；對于D，當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，與拋物線只有一個交點，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消得，當(dāng)時，方程得解為，此時直線與拋物線只有一個交點，當(dāng)時，則，解得，綜上所述，過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線有3條，故D錯誤.故選：ABC.12.在一個圓錐中，為圓錐的頂點，為圓錐底面圓的圓心，為線段的中點，為底面圓的直徑，是底面圓的內(nèi)接正三角形，，則下列說法正確的是（）A.平面B.三棱錐的外接球直徑C.在圓錐側(cè)面上，點到的中點的最短距離必大于D.記直線與過點的平面所成的角為，當(dāng)時，平面與圓錐側(cè)面的交線為雙曲線.【答案】BC【解析】【分析】對A：根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理分析判斷；對B：根據(jù)題意分析可得：三棱錐是頂角為直角的正三棱錐，利用轉(zhuǎn)化法求外接圓直徑；對C：根據(jù)題意：點到中點的直線距離為，結(jié)合圓錐側(cè)面分析判斷；對D：根據(jù)題意可得，結(jié)合圓錐的截面分析判斷.【詳解】對于：若平面，平面ABC，平面平面，則，因為為直徑，為圓錐底面圓的圓心，是底面圓的內(nèi)接正三角形所以，所以，故A錯誤；對于：因為，則，故，則，同理，且三棱錐是正三棱錐，設(shè)其外接球半徑為，則三棱錐的外接球可以轉(zhuǎn)化為邊長為的正方體的外接球，∴，故B正確；對于C：由于是邊長為等邊三角形，故點到中點的距離為，故在圓錐側(cè)面上，點到的中點的最短距離大于，故C正確；對于D：∵與母線的夾角的余弦值為，則，即，所以平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，故D錯誤；故選：BC.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在二項式的展開式中，各項的系數(shù)之和為512，則展開式中常數(shù)項的值為___________.【答案】135【解析】【分析】根據(jù)各項的系數(shù)之和為512得到，解得，然后利用通項公式求常數(shù)項即可.【詳解】因為二項式的展開式中，各項的系數(shù)之和為512，所以令，得，解得.又因為的展開式的通項公式為，令，解得，所以展開式中常數(shù)項為.故答案為：135.14.已知向量在方向上的投影向量是是與同方向的單位向量），，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義求出，再由數(shù)量積的定義求.【詳解】因為向量在方向上的投影向量為，所以，又，，所以.故答案為：.15.設(shè)，，則________．【答案】1【解析】【分析】利用平方法，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式、兩角和余弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，，，得，所以，故．故答案為：116.橢圓的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上.已知橢圓：，，為其左?右焦點.是上的動點，點，若的最大值為.動直線為此橢圓的切線，右焦點關(guān)于直線的對稱點，，則：（1）橢圓的離心率為___________；（2）的取值范圍為___________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意得，所以，求出，即可求出，再求出離心率；根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得，即點的軌跡是以為圓心，半徑為4的圓，又表示點到直線的距離的倍，分析求解即可.【詳解】根據(jù)橢圓定義得：，所以，因為的最大值為6，因為，所以，即，解得，所以離心率為.右焦點關(guān)于直線的對稱點，設(shè)切點為，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得：，，三點共線，所以，即點的軌跡是以為圓心，半徑為4的圓，圓心到直線的距離為，則圓上的點到直線的距離最小值，最大值，所以點到直線的距離為：，所以表示點到直線的距離的倍，則，即.故答案為：，.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在公差不為0的等差數(shù)列中，成公比為的等比數(shù)列，又?jǐn)?shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比中項的性質(zhì)，建立方程，解得首項，利用等差數(shù)列的通項，整理方程，可得公差，可得答案；（2）由（1）可得數(shù)列的通項公式，分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，利用分組求和，結(jié)合等差和等比的求和公式，可得答案.【小問1詳解】公差d不為0的等差數(shù)列中，成公比為的等比數(shù)列，所以，則，即，解得，在公差不為0的等差數(shù)列中，由，可得，代入，可得，整理可得，解得，所以.【小問2詳解】由（1）可得，當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，.所以18.設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，在①、②、③中任選一個作為條件解答下列問題.①向量與向量平行；②；③.（1）確定角和角之間的關(guān)系；（2）若為線段上一點，且滿足，若，求.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）選①②可得，應(yīng)用正弦定理邊角關(guān)系及三角恒等化簡得，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)求角的關(guān)系；選③應(yīng)用三角恒等化簡，即可確定關(guān)系；（2）由（1）及已知可得，向作垂線，垂足為，易得，再應(yīng)用余弦定理，或角平分線的性質(zhì)有求結(jié)果.【小問1詳解】若選①：因為與平行，所以，若選②：，所以，由正弦定理得，即，即，因為，，所以或，則（舍）或，即；若選③：依題意得，所以，因為，所以，即，所以，即，因為，，所以，即.小問2詳解】因為，由正弦定理得，由得：，即，又，，可得，如圖，過向作垂線，垂足為，因為，解得.因為，所以是中點，.因為，，所以，方法1：在中，，又，所以，即，解得.方法2：易知是的角平分線，因為，即，所以，即，得，又，解得.19.如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，是棱的中點.（1）證明：平面平面.（2）若，求二面角的余弦值的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）證明平面，即可證明平面平面.（2）以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面和平面的法向量，計算法向量夾角的余弦值的取值范圍，可求得二面角的余弦值的取值范圍.【小問1詳解】證明：因為三棱柱為直三棱柱，所以，因為為等邊三角形，且D為AB的中點，所以，又因為，且平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】以D為坐標(biāo)原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，因為，所以，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量，平面的一個法向量，則，取，，取，所以，因為，，因為二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值的取值范圍為.20.2022年11月12日，在湖北黃石舉行的2022年全國乒乓球錦標(biāo)賽中，樊振東最終以4比2戰(zhàn)勝林高遠(yuǎn)，奪得2022年全國乒乓球錦標(biāo)賽男子單打冠軍.乒乓球單打規(guī)則是首先由發(fā)球員合法發(fā)球，再由接發(fā)球員合法還擊，然后兩者交替合法還擊，勝者得1分.在一局比賽中，先得11分的一方為勝方，10平后，先多得2分的一方為勝方.甲?乙兩位同學(xué)進(jìn)行乒乓球單打比賽，甲在一次合法發(fā)球中，得1分的概率為，乙在一次合法發(fā)球中，得1分的概率為，設(shè)在一局比賽中第n個合法發(fā)球出現(xiàn)得分時，甲的累計得分為.（假定在每局比賽中雙方運動員均為合法發(fā)球）（1）求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）求成等比數(shù)列的概率.【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)分析得知是二項分布.（2）分和兩種情況來討論.【小問1詳解】隨機(jī)變量的可能取值為.，，，隨機(jī)變量的分布列為0123所以.【小問2詳解】若成等比數(shù)列，則當(dāng)時，則當(dāng)時，則所以事件成等比數(shù)列的概率.21.設(shè)分別是雙曲線的左、右兩焦點，過點的直線與的右支交于M，N兩點，過點（﹣2，3），且它的虛軸的端點與焦點的距離為．（1）求雙曲線的方程；（2）當(dāng)時，求實數(shù)m的值；（3）設(shè)點M關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點為P，當(dāng)時，求△PMN面積S的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)點在雙曲線上及兩點距離列方程組求雙曲線參數(shù)，即可得方程；（2）由點在直線上求得t＝2，根據(jù)F1到直線的距離與等腰三角形底邊上的高相等，列方程求參數(shù)m；（3）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立雙曲線與直線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得，，由向量的數(shù)量關(guān)系可得，根據(jù)對稱點，三角形面積公式，可求△PMN面積．【小問1詳解】因為雙曲線