2022-2023學(xué)年江蘇省南通市海安市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

2022-2023學(xué)年江蘇省南通市海安市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1.本試卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卷交回.2.答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)用0.5毫米黑色字跡簽字筆填寫在答題卷上.3.請(qǐng)監(jiān)考員認(rèn)真核對(duì)在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、考試證號(hào)與你本人的是否相符.4.作答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案.作答非選擇題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米的簽字筆寫在答題卷上的指定位置，在其它位置作答一律無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集,集合,則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì),求出即可.【詳解】解:由題知,,故或.故選:B2.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的概念，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解．【詳解】由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則令，則，所以，所以，即．故選：D．3.二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A.－15 B.20 C.15 D.－20【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，令冪指數(shù)為零，可求得，代入展開式通項(xiàng)可求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為：令得：常數(shù)項(xiàng)為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式定理求解指定項(xiàng)的系數(shù)的問題，關(guān)鍵是能夠熟練掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式.4.經(jīng)驗(yàn)表明,樹高與胸徑具有線性關(guān)系,為了解回歸方程的擬合效果,利用下列數(shù)據(jù)計(jì)算殘差,用來繪制殘差圖.胸徑x/cm18.219.122.324.526.2樹高的觀測(cè)值y/m18.919.420.822.824.8樹高的預(yù)測(cè)值18.619.321523.024.4則殘差的最大值和最小值分別是（）A.0.4,-1.8 B.1.8,-0.4 C.0.4,-0.7 D.0.7,-0.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)表內(nèi)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,計(jì)算各組數(shù)據(jù)殘差值,找出最大及最小即可.【詳解】解:由表可得,各組數(shù)據(jù)的殘差為:,,,,,故殘差最大值為0.4,最小值為-0.7.故選:C5.為測(cè)量河對(duì)岸的直塔AB的高度，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C，D，測(cè)得的大小為60°，點(diǎn)C，D的距離為200m，在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂A的仰角為45°，在點(diǎn)D處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，則直塔AB的高為（）A.100m B. C. D.200m【答案】A【解析】【分析】根據(jù)畫出圖形，設(shè)，結(jié)合條件可得，，然后根據(jù)余弦定理即得.【詳解】設(shè)，則，，∴，在中，由余弦定理可得，∴，∴(負(fù)值舍去)，即直塔AB的高為100m.故選：A.6.已知圓心均在軸上的兩圓外切，半徑分別為，若兩圓的一條公切線的方程為，則（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】設(shè)出兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系列式求解，【詳解】設(shè)圓：，圓：，其中，兩圓的公切線方程為，則，，兩圓外切，則，化簡(jiǎn)得，，即，∴，故選：B7.設(shè)為的重心，則（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)闉橹匦模?，所以，故選：B.8.設(shè),,,則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】三個(gè)數(shù)中有指數(shù)和對(duì)數(shù),用到放縮,即,則,即可得,根據(jù),可得,取可得,選出選項(xiàng)即可.【詳解】解:由題知,記,,所以,所以,所以,在時(shí)成立,所以,即,即,記,,所以,所以在上,,單調(diào)遞減,在上,,單調(diào)遞增,所以,所以,則,即,即,,即有,因?yàn)?所以,綜上:.故選:D二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.在正方體中,,,則（）A. B.平面C.平面 D.直線與直線異面【答案】AB【解析】【分析】設(shè)正方體棱為一個(gè)具體的數(shù),建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)各個(gè)點(diǎn)的位置,寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),找到,計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積,判斷是否為0,即可得選項(xiàng)A的正誤;求出平面的法向量,判斷與法向量是否垂直,根據(jù)線面平行的判定定理,即可得選項(xiàng)B的正誤;根據(jù)向量的數(shù)量積為0,判斷是否與平面中兩個(gè)不共線向量是否垂直即可判斷選項(xiàng)C的正誤;判斷是否共線,即可得選項(xiàng)D的正誤.【詳解】解:由題知,令正方體棱為3,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系:因?yàn)?,所以,所以,,因?yàn)?所以,故選項(xiàng)A正確;設(shè)平面的法向量為,則,因?yàn)?所以,取,可得,因?yàn)?,所以,因?yàn)槠矫?所以平面,故選項(xiàng)B正確;因?yàn)?,所以,故與不垂直,即不垂直于平面,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;因,,所以共線，即,所以四點(diǎn)共面，故直線與直線共面.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:AB10.已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M，N均在C上，若是以F為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，則（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】由題意可知軸，利用拋物線的定義及向量的運(yùn)算即可得到.【詳解】因?yàn)槭且訤為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，所以軸，又因?yàn)閽佄锞€方程為，所以，設(shè)，，有拋物線的定義可知，，，則，則∴，，∴，故選：BD.11.已知等差數(shù)列中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，僅得最大值.記數(shù)列的前k項(xiàng)和為，（）A.若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值B.若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值C.若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值D.若，，則當(dāng)或14時(shí)，取得最大值【答案】BD【解析】【分析】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和有最大值，得數(shù)列為遞減數(shù)列，分析的正負(fù)號(hào)，可得的最大值的取到情況.【詳解】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和有最大值，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，對(duì)于A，且時(shí)取最大值，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，所以或14時(shí)，前k項(xiàng)和取最大值，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，則時(shí)，，時(shí)，.，則，，，，前14項(xiàng)和最大，B項(xiàng)正確；對(duì)于C，，則，同理，，，前13項(xiàng)和最大，C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，得，由題等差數(shù)列在時(shí)，，時(shí)，，所以，，，所以或14時(shí)，前k項(xiàng)和取最大值，D項(xiàng)正確；故選：BD.12.將樣本空間Ω視為一個(gè)單位正方形，任一事件均可用其中的區(qū)域表示，事件發(fā)生的概率為對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積.如圖所示的單位正方形中，區(qū)域I表示事件AB，區(qū)域II表示事件，區(qū)域I和Ⅲ表示事件B，則區(qū)域IV的面積為（）ⅠⅡⅢⅣA. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由題意可知區(qū)域IV表示的事件為，然后逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】由題意可知區(qū)域IV表示的事件為，對(duì)于C，，C對(duì).對(duì)于B，，B對(duì).對(duì)于A，，A錯(cuò).對(duì)于D，無法判斷A，B是否獨(dú)立，D錯(cuò)，故選：BC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則___________.【答案】##【解析】【分析】先利用誘導(dǎo)公式求出，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，從而可求出.【詳解】由，得，因?yàn)?，所以，所以故答案為?14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)在橢圓上,若是以為頂點(diǎn)的等腰三角形,且,則的離心率___________.【答案】##0.4

【解析】【分析】根據(jù)是等腰三角形及橢圓定義,求出該三角形的各個(gè)邊長(zhǎng),再根據(jù)余弦定理建立關(guān)于等式,求出離心率即可.【詳解】解:由題知是以為頂點(diǎn)的等腰三角形,所以,因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,根據(jù)橢圓的定義可知:,故,因?yàn)?故在中,由余弦定理可得:,即,解得:,即.故答案為:15.設(shè)過直線上一點(diǎn)A作曲線的切線有且只有兩條，則滿足題設(shè)的一個(gè)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為___________.【答案】2或【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，進(jìn)而可得有且只有兩個(gè)解，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】設(shè)切點(diǎn)，則，切線斜率為，所以切線，設(shè)，則，∴，令，則方程有且只有兩個(gè)解，所以，由，可得或2，當(dāng)變化時(shí)，的變化如下，02負(fù)0正0負(fù)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值2減函數(shù)所以函數(shù)的極小值為，極大值為，∴或，方程有且只有兩個(gè)解，即A的縱坐標(biāo)為2或.故答案為；2或.16.已知球O的表面積為，P是球O內(nèi)的定點(diǎn)，，過P的動(dòng)直線交球面于A，B兩點(diǎn)，，則球心O到AB的距離為___________cm；若點(diǎn)A，B的軌跡分別為圓臺(tái)的上、下底面的圓周，則圓臺(tái)的體積為___________.【答案】①.②.【解析】【分析】由球的表面積確定球的半徑，解三角形求球心O到AB的距離，再根據(jù)球的截面的性質(zhì)列方程求出圓臺(tái)的上下底面半徑和圓臺(tái)的高，利用體積公式求體積；【詳解】設(shè)球的半徑為，則，∴，即，，∴到AB的距離.取AB中點(diǎn)M，則，∴，，如圖所示.又點(diǎn)A，B的軌跡分別為圓臺(tái)的上、下底面的圓周，所以圓，圓，又圓，圓，所以四點(diǎn)共線，令，，，，∴，∴，∵，∴，，.故答案為：，.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列中，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求的最小值.【答案】（1）（2）12【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解;（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及等差和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)公差為，∴，∴，而，，∴時(shí)，設(shè)公比為，∴此時(shí)，∴.【小問2詳解】顯然，∴為偶數(shù)，，∴的最小值為12.18.已知四邊形內(nèi)接于圓，，，，平分.（1）求圓半徑；（2）求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）連接，由余弦定理求解的長(zhǎng)，再根據(jù)正弦定理求圓的半徑；（2）由余弦定理求解，再根據(jù)平方公式得，由已知結(jié)合正弦兩角差公式可得的值，再由正弦定理可得的長(zhǎng).【小問1詳解】解：如圖，在圓中，連接，在中，由余弦定理得：，所以，設(shè)圓О半徑為R，由正弦定理得：∴，所以半徑；【小問2詳解】解：由余弦定理得，由于，所以，因?yàn)槠椒?，所以，所以，由正弦定理?19.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，E為AC的中點(diǎn)，將沿AC翻折使點(diǎn)D至點(diǎn).（1）求證：平面平面ABC；（2）若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線線垂直證線面垂直，再證面面垂直；（2）過作于點(diǎn)，過M作于點(diǎn)，連接，分析得即為二面角的平面角，由三棱錐體積求得，即可進(jìn)一步由幾何關(guān)系求得.【小問1詳解】證明：在菱形中，，∴和均為等邊三角形，又∵E為AC的中點(diǎn)，∴，，，平面，∴平面，又∵平面ABC，∴平面平面ABC.【小問2詳解】過作于點(diǎn)，∵平面平面ABC，平面，∴平面ABC.∴.過M作于點(diǎn)，連接，∵平面ABC，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.∴即為二面角的平面角，，∴，，∴，∴.故二面角的余弦值為.20.甲、乙、丙三人進(jìn)行乒乓球單打比賽,約定:隨機(jī)選擇兩人打第一局,獲勝者與第三人進(jìn)行下一局的比賽,先獲勝兩局者為優(yōu)勝者,比賽結(jié)束.已知每局比賽均無平局,且甲贏乙的概率為,甲贏丙的概率為,乙贏丙的概率為.（1）若甲、乙兩人打第一局,求丙成為優(yōu)勝者的概率;（2）求恰好打完2局結(jié)束比賽的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)題意分析丙成為優(yōu)勝者的情況,根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即可;(2)分析三人比賽時(shí),第一場(chǎng)上場(chǎng)的情況,再根據(jù)各種情況分析打完2局結(jié)束比賽的事件,根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算結(jié)果.【小問1詳解】解:由題知,根據(jù)約定,丙成為優(yōu)勝者的情形為:甲贏,丙贏,丙贏,或乙贏,丙贏,丙贏,兩種情況,當(dāng)甲贏,丙贏,丙贏時(shí),概率,當(dāng)乙贏,丙贏,丙贏時(shí),概率,故丙成為優(yōu)勝者的概率;【小問2詳解】若甲乙先比賽,則甲乙能先比賽的概率為,此時(shí)2局結(jié)束比賽的情形分為:①甲贏,甲贏;②乙贏,乙贏,故;若甲丙先比賽,則甲丙能先比賽的概率為,此時(shí)2局結(jié)束比賽情形分為:①甲贏,甲贏;②丙贏,丙贏,故;若乙丙先比賽,則乙丙能先比賽的概率為,此時(shí)2局結(jié)束比賽的情形分為:①乙贏,乙贏;②丙贏,丙贏,故.故恰好打完2局結(jié)束比賽的概率.21.已知雙曲線C過點(diǎn),且C的漸近線方程為.（1）求C的方程;（2）設(shè)A為C的右頂點(diǎn),過點(diǎn)的直線與圓O:交于點(diǎn)M,N,直線AM,AN與C的另一交點(diǎn)分別為D,E,求證:直線DE過定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)漸近線方程設(shè)出雙曲線方程,將代入,求出方程即可;(2)分析斜率情況,設(shè)出直線方程,與圓聯(lián)立可得兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,化簡(jiǎn)可得為定值,即也為該定值,設(shè)出的直線方程,與雙曲線聯(lián)立,即可得兩點(diǎn)坐標(biāo)之間關(guān)系,根據(jù)為定值,建立等式,進(jìn)行化簡(jiǎn),解得的直線方程中參數(shù)之間的關(guān)系,即可得直線DE所過定點(diǎn).【小問1詳解】解:由題知C的漸近線方程為,故設(shè)雙曲線的方程為,因?yàn)檫^,所以,解得,故的方程為;【小問2詳解】由題知畫圖如下:因?yàn)橹本€過點(diǎn),所以斜率不為零,故設(shè)直線方程為,,,聯(lián)立,可得,故,解得,由韋達(dá)定理得,因?yàn)?所以,,設(shè)直線方程為,,,,聯(lián)立,可得,所以,解得,由韋達(dá)定理得:,因?yàn)?所以,化簡(jiǎn)可得,即,即,因?yàn)橹本€不過,所以,化簡(jiǎn)可得,即,解得,所以直線為:,故直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:本題考查直線與圓錐曲線的