2019高等數(shù)學(xué)(下冊)期末考試試題(含答案)SM資料

2019最新高等數(shù)學(xué)（下冊）期末考試試題（含答案）一、解答題1．求下曲線在給定點(diǎn)的切線和法平面方程：(1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,點(diǎn);(2)x2+y2+z2=6,x+y+z=0,點(diǎn)M0(1,-2,1);(3)y2=2mx,z2=m-x,點(diǎn)M0(x0,y0,z0).解：曲線在點(diǎn)的切向量為當(dāng)時(shí)，切線方程為.法平面方程為即.（2）聯(lián)立方程組它確定了函數(shù)y=y(x),z=z(x)，方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得解得在點(diǎn)M0（1，-2，1）處，所以切向量為{1，0，-1}.故切線方程為法平面方程為1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0即x-z=0.(3)將方程y2=2mx,z2=m-x兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，得于是曲線在點(diǎn)（x0,y0,z0）處的切向量為,故切線方程為法平面方程為.2．求下列函數(shù)在所示點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)：(1)，在點(diǎn)；解：(2)，在點(diǎn)；解：(3)，在點(diǎn)；解：(4)在點(diǎn).解：3．計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：(1)，其中Σ是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下側(cè)；(2)，其中Σ是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的在第Ⅰ封限內(nèi)的部分的前側(cè)；(3)，其中f(x,y,z)為連續(xù)函數(shù)，Σ是平面x-y+z=1在第Ⅳ封限部分的上側(cè)；(4)，其中Σ是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)；(5)，其中Σ為曲面與平面z=h(h>0)所圍成的立體的整個(gè)邊界曲面，取外側(cè)為正向；(6)，其中Σ為x=y=z=0，x=y=z=a所圍成的正方體表面，取外側(cè)為正向；解：(1)Σ：，下側(cè)，Σ在xOy面上的投影區(qū)域Dxy為：x2+y2≤R2．(2)Σ如圖11-8所示，Σ在xOy面的投影為一段弧，圖11-8故，Σ在yOz面上的投影Dyz={(y,z)|0≤y≤1，0≤z≤3}，此時(shí)Σ可表示為：，(y,z)∈Dyz，故Σ在xOz面上的投影為Dxz={(x,z)|0≤x≤1，0≤z≤3}，此時(shí)Σ可表示為：，(x,z)∈Dxz，故因此：(3)Σ如圖11-9所示，平面x-y+z=1上側(cè)的法向量為n={1,-1,1}，n的方向余弦為，，，圖11-9由兩類曲面積分之間的聯(lián)系可得：(4)如圖11-10所示：圖11-10Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分別為Σ1：z=0，Σ2：x=0，Σ3：y=0，Σ4：x+y+z=1，故由積分變元的輪換對(duì)稱性可知．因此．(5)記Σ所圍成的立體為Ω，由高斯公式有：(6)記Σ所圍的立方體為Ω，P=y(x-z)，Q=x2，R=y2+xz．由高斯公式有4．證明：在整個(gè)xOy平面內(nèi)除y軸的負(fù)半軸及原點(diǎn)外的開區(qū)域G內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，并求出這樣的一個(gè)二元函數(shù)．證：，，顯然G是單連通的，P和Q在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且．，(x,y)∈G因此在開區(qū)域G內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)u(x,y)的全微分．由知．5．設(shè)流速(為常數(shù))，求環(huán)流量：(1)沿圓周；解：(2)沿圓周.解：6．設(shè)某流體的流速V=(k,y,0)，求單位時(shí)間內(nèi)從球面x2+y2+z2=4的內(nèi)部流過球面的流量.解：設(shè)球體為Ω，球面為Σ，則流量（由高斯公式）7．求由拋物線y=x2及直線y=1所圍成的均勻薄片（面密度為常數(shù)）c對(duì)于直線y=-1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圖10-65解：8．求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角區(qū)域（a>0,b>0）對(duì)x軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（面ρ為常數(shù)）.解：所圍三角區(qū)域D如圖10-37所示：圖10-379．如果三重積分的被積函數(shù)f(x,y,z)是三個(gè)函數(shù)f1(x),f2(y),f3(z)的乘積，即f(x,y,z)=f1(x)·f2(y)·f3(z)，積分區(qū)域?yàn)閍≤x≤b，c≤y≤d,l≤z≤m，證明,這個(gè)三重積分等于三個(gè)單積分的乘積，即證：10．計(jì)算積分解：由于而收斂，故收斂，從而，采用極坐標(biāo)有：11．解：因?yàn)闉橐怀?shù)，不妨設(shè)則有從而有而故12．根據(jù)二重積分性質(zhì)，估計(jì)下列積分的值：（1）;（2）;（3）.解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有,因而.從而故即而（σ為區(qū)域D的面積），由σ=4得.(2)因?yàn)椋瑥亩始炊裕?）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以故即而所以13．在第I卦限內(nèi)作橢球面的切平面,使切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo)。解：令∵∴橢球面上任一點(diǎn)的切平面方程為即切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為，因此切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍的四面體的體積為即求在約束條件下的最小值，也即求xyz的最大值問題。設(shè),解方程組得.故切點(diǎn)為，此時(shí)最小體積為14．計(jì)算下列向量場的散度與旋度：(1)；解：(2)；解：(3).解：，15．證明：螺旋線x=acost,y=asint,z=bt的切線與z軸形成定角。證明：螺旋線的切向量為.與z軸同向的單位向量為兩向量的夾角余弦為為一定值。故螺旋線的切線與z軸形成定角。16．xOy坐標(biāo)面上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答:在xOy面上的點(diǎn)，z=0;在yOz面上的點(diǎn)，x=0;在zOx面上的點(diǎn)，y=0.17．設(shè)f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)：(1) (2)(3)解：(1)(2)(3)18．解：因?yàn)閳A錐體的體積為而時(shí)，19．求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：(1)z=x4+y4-4x2y2; (2)z=arctan;(3)z=yx; (4)z=.解：(1)由x,y的對(duì)稱性知(2)，(3)(4)20．建立曲線x2+y2=z,z=x+1在xOy平面上的投影方程.解：以曲線為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程為x2+y2=x+1即.故曲線在xOy平面上的投影方程為21．試考察曲面在下列各平面上的截痕的形狀，并寫出其方程.(1)平面x=2;(2)平面y=0;(3)平面y=5;(4)平面z=2.解：（1）截線方程為其形狀為x=2平面上的雙曲線.（2）截線方程為為xOz面上的一個(gè)橢圓.(3)截線方程為為平面y=5上的一個(gè)橢圓.(4)截線方程為為平面z=2上的兩條直線.22．求過點(diǎn)（1，-2，3）和兩平面2x-3y+z=3,x+3y+2z+1=0的交線的平面方程.解：設(shè)過兩平面的交線的平面束方程為其中λ為待定常數(shù)，又因?yàn)樗笃矫孢^點(diǎn)（1，-2，3）故解得λ=-4.故所求平面方程為2x+15y+7z+7=023．求下列直線的夾角：（1）和；（2）和解：（1）兩直線的方向向量分別為：s1={5,-3,3}×{3,-2,1}=={3,4,-1}s2={2,2,-1}×{3,8,1}=={10,-5,10}由s1·s2=3×10+4×(-5)+(-1)×10=0知s1⊥s2從而兩直線垂直，夾角為.(2)直線的方向向量為s1={4,-12,3},直線的方程可變?yōu)?可求得其方向向量s2={0,2,-1}×{1,0,0}={0,-1,-2},于是24．通過點(diǎn)（1，-1，1）作垂直于兩平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.解：設(shè)所求平面方程為Ax+By+Cz+D=0其法向量n={A,B,C}n1={1,-1,1},n2={2,1,1}又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0故所求平面方程為即2x-y-3z=025．決定參數(shù)k的值，使平面x+ky-2z=9適合下列條件：（1）經(jīng)過點(diǎn)（5，-4，6）；（2）與平面2x-3y+z=0成的角.解：（1）因平面過點(diǎn)（5，-4，6）故有5-4k-2×6=9得k=-4.（2）兩平面的法向量分別為n1={1,k,-2}n2={2,-3,1}且解得26．通過兩點(diǎn)（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面.解：設(shè)平面方程為Ax+By+Cz+D=0則其法向量為n={A,B,C}已知平面法向量為n1={1,1,-1}過已知兩點(diǎn)的向量l={1,1,1}由題知n·n1=0,n·l=0即所求平面方程變?yōu)锳x-Ay+D=0又點(diǎn)（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程為x-y=0.27．求過(1,1,-1),(-2,-2,2)和（1，-1，2）三點(diǎn)的平面方程.解：由平面的三點(diǎn)式方程知代入三已知點(diǎn)，有化簡得x-3y-2z=0即為所求平面方程.28．求垂直于向量3i-4j-k和2i-j+k的單位向量，并求上述兩向量夾角的正弦.解：與平行的單位向量.29．驗(yàn)證：.證明：利用三角形法則得證.見圖7-1圖7-130．求函數(shù)在點(diǎn)處沿曲線在這點(diǎn)的內(nèi)法線方向的