人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積【課件】

8.3.1

棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積主講人：劉仙舟學(xué) 科：數(shù)學(xué)（人教A版）學(xué) 校：北京市第八十中學(xué)年 級(jí)：高一下學(xué)期高中數(shù)學(xué)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過(guò)對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的研究，掌握它們的表面積與體積的公式及求法；掌握與多面體相關(guān)的簡(jiǎn)單組合體的表面積與體積的求法，并能解決一些有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；通過(guò)學(xué)習(xí)逐步培養(yǎng)我們的類比、轉(zhuǎn)化及空間想象等數(shù)學(xué)能力.【重點(diǎn)難點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積的公式及求法；實(shí)際問(wèn)題中與多面體相關(guān)的簡(jiǎn)單組合體的表面積與體積的求法.高中數(shù)學(xué)【復(fù)習(xí)引入】前面我們學(xué)習(xí)了棱柱、棱錐、棱臺(tái)的有關(guān)概念，大家還記得它們的結(jié)構(gòu)特征嗎？頂點(diǎn)側(cè)棱側(cè)面底面上底面下底面多面體底面頂點(diǎn)下面我們來(lái)研究多面體的表面積與體積的求法.側(cè)棱側(cè)面高中數(shù)學(xué)【新課內(nèi)容】1.

棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積問(wèn)題：如何求多面體的表面積？多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和.

棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是圍成它們的各個(gè)面的面積的和.高中數(shù)學(xué)例1

如圖，四面體P

?

A80的各棱長(zhǎng)均為a，求它的表面積.邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個(gè)面的面積的4倍.BCPAa分析:因?yàn)樗拿骟wP

?

A80的四個(gè)面是全等的等高中數(shù)學(xué)小結(jié)：在解決棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積問(wèn)題時(shí)往往將已知條件歸結(jié)到一個(gè)直角三角形中求解.因?yàn)?P80是正三角形，其邊長(zhǎng)為a，BPCa32a21a

DSP–?BC=4

×43

a2

= 3a2.因此，四面體P

?

A80的表面積解：所以S?PBC

= ×a

×1 3 32 2 4a

= a2.高中數(shù)學(xué)例2 已知正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為6，高和下底面邊長(zhǎng)都是12，求它的側(cè)面積.問(wèn)題：如何利用棱臺(tái)的高及底面邊長(zhǎng)求出側(cè)面的高？ABCDA1B1C1D1O1OE1E高中數(shù)學(xué)1如圖，設(shè)0

，0分別是上、下底面正方形的則0E＝1A8＝6，0E＝1A8

＝3.2 1 1 2 1 1過(guò)E1作E1H

⊥0E，垂足為H，則E1H＝010＝12，0H＝01E1＝3，1 1HE＝0E－0E

＝6－3＝3.E1E2＝E1H2+HE2＝122+

32＝32×

17，∴

E1E＝3 17.側(cè)11 1 1∴

S ＝4×2×

(8

0 +80)×E

E＝2×

(6+

12)

×

3 17＝108 17.解：HO1E1D1A1

C1B1EOBCD

在Rt△

E1HE中，A中心，E1，E分別是8101，80的中點(diǎn)，則010為正四棱臺(tái)的高，則010

=

12. 連接0E，01E1,高中數(shù)學(xué)在本例中，如果把正棱臺(tái)還原成正棱錐，你能利用棱錐的有關(guān)知識(shí)求解嗎？EC1E1B1A1O1D1OBCD

小結(jié)：解決有關(guān)正棱臺(tái)的問(wèn)題時(shí)，常用兩種解題思路：一是把基本量轉(zhuǎn)化到直角梯形中去解決；二是把正棱臺(tái)還原成正棱錐，利用正棱錐的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決.P變式練習(xí):A高中數(shù)學(xué)1 1 1 12 2P01

=

01E1

3P0 0E1 1P01 1=2.∴

P01＝010＝12.=6.

即P0 +

00PE2＝P02+01E2＝122+32＝32×

17，1 1 1PE2＝P02+0E2＝242＋62＝62×

17，在Rt

△

P01E1和Rt

△

P0E中，側(cè)11 1∴

S ＝4×2×(80＋80

)1×E

E＝2×

(12＋6)∴

E1E＝PE－PE1＝6 17－3 17＝3 17.EC1E1B1A1O1D1OBCD

PA解： 如圖，設(shè)正四棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)交于點(diǎn)P.取8101，80的中點(diǎn)E1，E，則EE1的延長(zhǎng)線必過(guò)P點(diǎn)(為什么？).01，0分別是正方形A18101D1與正方形A80D的中心.且有0

E

＝

1

A

8

＝3，0E＝

1

A8＝6,

由三角形相似得：高中數(shù)學(xué)小結(jié)：多面體的表面積為圍成多面體的各個(gè)面的面積之和.即棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積等于它們的側(cè)面積加底面積.求棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是轉(zhuǎn)化為平面三角形、四邊形、多邊形的面積的問(wèn)題.進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為三角形、矩形、梯形等特殊的平面圖形的面積問(wèn)題.高中數(shù)學(xué)2、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積⑴棱柱的體積：特殊的棱柱——正方體、長(zhǎng)方體的體積公式,分別是：V正方體

=

a3(a是正方體的棱長(zhǎng)），V長(zhǎng)方體

=

a80

(a,

8,

0分別是長(zhǎng)方形是長(zhǎng)、寬、高).一般的,如果棱柱的底面積是S，高是?，那么這個(gè)棱柱的體積:V棱柱

=

S8.高中數(shù)學(xué)卡瓦列里祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.高中數(shù)學(xué)棱錐的體積:

如果一個(gè)棱柱和一個(gè)棱錐的底面積相等,高也相等，那么,棱柱的體積是棱錐的體積的3倍.因此,一般的如果棱錐的底面積為S，高為?，那么該棱錐的體積.1V棱錐

=

3

S830′A′0′A80A′18A 0248′ 8′⑵棱錐的體積:因此，可得底面積和高均相等的兩個(gè)三棱錐體積相等.高中數(shù)學(xué)⑶棱臺(tái)的體積由于棱臺(tái)是棱錐截成的，因此可以利用兩個(gè)棱錐的體積差得到棱臺(tái)的體積公式:其中Su,

S分別為棱臺(tái)的上、下底面面積，?為棱臺(tái)的高.1uV棱臺(tái)

=

3

?(S + SuS+

S).h'D1

OC1B1A1

1BhD

COAP高中數(shù)學(xué)O1h'D1C1B1A1BhD

COAP設(shè)棱臺(tái)的下底面面積為S,高為?,上底面面積為S’,棱錐P

?

A18101D1的高為?u,利用三角形相似，可得：(hFF2S′) = , ∴hFF=

S′

,S? S′∴

?u

=

S′ ?,=1S?+

13 3Su( S

+Su1u)?=

3

8(S +SuS+

S).推導(dǎo)： 如圖，棱臺(tái)A80D

?

A18101D1由棱錐P

?

A80D截得，h1+?3S 1h

+? 1S13∴

V

= S(?+

?u)

? Su?u

= S?

+ ?u(S?

Su)31 13= S?

+ ?3 3SuS

?Su??(S?

Su)高中數(shù)學(xué)3 3V棱柱

=

S?，V棱錐

=

1

S?，V棱臺(tái)

=

1

?(Su

+ SuS+S)，它們之間有什么關(guān)系？你能用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征來(lái)解釋這種關(guān)系嗎？思考：觀察棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式高中數(shù)學(xué)1uV棱臺(tái)

=

3

?(S +SuS+

S)棱錐3V =1

S?V棱柱

=

S?uS =

SSu=

0A1AB1BC1DD1ACDC

BB1D1 C1A1ABCDSu=

SSu=

0P高中數(shù)學(xué)A．26 B．28C．30D．32自我檢測(cè)：三棱錐P－A80底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，高為3，求三棱錐的體積( A )A. 3 B．2 3 C．3 3 D.

2 33若棱臺(tái)的上、下底面面積分別為4,16，高為3，則該棱臺(tái)的體積為(

B )高中數(shù)學(xué)例3

如圖,一個(gè)漏斗的上面部分是一個(gè)長(zhǎng)方體，下面部分是一個(gè)四棱錐，兩部分的高都是0.5m,

公共面A80D是邊長(zhǎng)為1m的正方形,

那么這個(gè)漏斗的容積是多少立方米(精確到0.01m3)？ABCC'B'A'D'PD高中數(shù)學(xué)V長(zhǎng)方體?BCD–?FBFCFDF

=

1

×

1

×

0.5

=

0.5(m3),所以這個(gè)漏斗的容積 V=1+1=2≈

0.67(m3).2 6 3V棱錐P–?BCD=1×1×1×0.5=1

(m3).3 6分析：漏斗由兩個(gè)多面體組成，其容積就是兩個(gè)多面體的體積和.解:

由題意知ABCC'B'A'D'PD高中數(shù)學(xué)一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為 15，求這個(gè)正三棱錐的體積.例4∵

?A80是邊長(zhǎng)為6的正三角形，連接A0并延長(zhǎng)交80于E，則E為80的中點(diǎn)，且AE

⊥

80.∴AE

=23×

6=

3 3，∴A0

=23AE

=

2 3.解:

如圖,

在正三棱錐P

?

A80中，設(shè)0為正三角形A80的中心，連接P0，則P0即為該正三棱錐的高．連接A0. 則得Rt?P0A.OEBCA6OECABP高中數(shù)學(xué)在Rt

△

P0A中，PA

=15, A0

=

2 3,2 215 ?

(2 3)在?A80中，S1∴

V1P－A50=3

S△?BC3?P0=1

×

9 3

× 3=

9,即這個(gè)正三棱錐的體積為9.EC

O A

B1△A50=280·AE=2×6

×

3 3

=

9 3.P∴

P8

= PA2?A02

== 15?

12

= 3.高中數(shù)學(xué)=

V3×126×

1×

1×

1＝

1

.1?

A8= 1解：V?－DED1=

VE－?DD1=3

S??DD1D三棱錐E–?DD1等體積法變式練習(xí)：

如圖，正方體A80D

?A18101D1的棱長(zhǎng)為1，E為線段810