福建省沙縣金沙高級中學2023-2024學年高三高考測試（一）數學試題

福建省沙縣金沙高級中學2022-2023學年高三高考測試（一）數學試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，為兩條不同直線，，，為三個不同平面，下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.其中正確命題序號為()A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③2．已知函數，則不等式的解集為（）A． B． C． D．3．1777年，法國科學家蒲豐在宴請客人時，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個客人發(fā)許多等質量的，長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對針落地的位置進行統(tǒng)計，發(fā)現共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據這次統(tǒng)計數據，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針落地后與直線相交的概率約為（）A． B． C． D．4．已知向量，，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．5．已知函數是定義在R上的奇函數，且滿足，當時，（其中e是自然對數的底數），若，則實數a的值為()A． B．3 C． D．6．已知是定義是上的奇函數，滿足，當時，，則函數在區(qū)間上的零點個數是（）A．3 B．5 C．7 D．97．已知，則（）A． B． C． D．8．若，，，則（）A． B．C． D．9．復數在復平面內對應的點為則（）A． B． C． D．10．已知函數為奇函數，且，則（）A．2 B．5 C．1 D．311．定義在R上的函數，，若在區(qū)間上為增函數，且存在，使得.則下列不等式不一定成立的是（）A． B．C． D．12．函數的圖象與函數的圖象的交點橫坐標的和為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是定義在上的偶函數，其導函數為．若時，，則不等式的解集是___________．14．已知，則______，______.15．的二項展開式中，含項的系數為__________．16．在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值為，則實數的值是_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列中，（實數為常數），是其前項和，且數列是等比數列，恰為與的等比中項．（1）證明：數列是等差數列；（2）求數列的通項公式；（3）若，當時，的前項和為，求證：對任意，都有．18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數方程為（為參數）．以平面直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的極坐標方程；（2）設和交點的交點為，求的面積．19．（12分）在三角形中，角，，的對邊分別為，，，若.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，求.20．（12分）已知函數.（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若函數有兩個極值點，，且，為的導函數，設，求的取值范圍，并求取到最小值時所對應的的值.21．（12分）已知函數．（1）當（為自然對數的底數）時，求函數的極值；（2）為的導函數，當，時，求證：．22．（10分）曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；（2）過原點且傾斜角為的射線與曲線分別交于兩點（異于原點），求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據直線與平面，平面與平面的位置關系進行判斷即可.【詳解】根據面面平行的性質以及判定定理可得，若，，則，故①正確；若，，平面可能相交，故②錯誤；若，，則可能平行，故③錯誤；由線面垂直的性質可得，④正確；故選：C【點睛】本題主要考查了判斷直線與平面，平面與平面的位置關系，屬于中檔題.2．D【解析】

先判斷函數的奇偶性和單調性，得到，且，解不等式得解.【詳解】由題得函數的定義域為.因為，所以為上的偶函數，因為函數都是在上單調遞減.所以函數在上單調遞減.因為，所以，且，解得.故選：D【點睛】本題主要考查函數的奇偶性和單調性的判斷，考查函數的奇偶性和單調性的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.3．D【解析】

根據統(tǒng)計數據，求出頻率，用以估計概率.【詳解】.故選:D.【點睛】本題以數學文化為背景，考查利用頻率估計概率，屬于基礎題.4．C【解析】

求出，進而可求,即能求出向量夾角.【詳解】解：由題意知，.則所以，則向量與的夾角為.故選:C.【點睛】本題考查了向量的坐標運算，考查了數量積的坐標表示.求向量夾角時，通常代入公式進行計算.5．B【解析】

根據題意，求得函數周期，利用周期性和函數值，即可求得.【詳解】由已知可知，，所以函數是一個以4為周期的周期函數，所以，解得，故選：B.【點睛】本題考查函數周期的求解，涉及對數運算，屬綜合基礎題.6．D【解析】

根據是定義是上的奇函數，滿足，可得函數的周期為3，再由奇函數的性質結合已知可得，利用周期性可得函數在區(qū)間上的零點個數．【詳解】∵是定義是上的奇函數，滿足，，可得，

函數的周期為3，

∵當時，，

令，則，解得或1，

又∵函數是定義域為的奇函數，

∴在區(qū)間上，有．

由，取，得，得，

∴．

又∵函數是周期為3的周期函數，

∴方程=0在區(qū)間上的解有共9個，

故選D．【點睛】本題考查根的存在性及根的個數判斷，考查抽象函數周期性的應用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬于中檔題．7．C【解析】

利用誘導公式得，，再利用倍角公式，即可得答案.【詳解】由可得，∴，∴.故選：C.【點睛】本題考查誘導公式、倍角公式，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意三角函數的符號.8．C【解析】

利用指數函數和對數函數的單調性比較、、三個數與和的大小關系，進而可得出、、三個數的大小關系.【詳解】對數函數為上的增函數，則，即；指數函數為上的增函數，則；指數函數為上的減函數，則.綜上所述，.故選：C.【點睛】本題考查指數冪與對數式的大小比較，一般利用指數函數和對數函數的單調性結合中間值法來比較，考查推理能力，屬于基礎題.9．B【解析】

求得復數，結合復數除法運算，求得的值.【詳解】易知，則.故選：B【點睛】本小題主要考查復數及其坐標的對應，考查復數的除法運算，屬于基礎題.10．B【解析】

由函數為奇函數,則有,代入已知即可求得.【詳解】.故選:.【點睛】本題考查奇偶性在抽象函數中的應用,考查學生分析問題的能力,難度較易.11．D【解析】

根據題意判斷出函數的單調性，從而根據單調性對選項逐個判斷即可．【詳解】由條件可得函數關于直線對稱；在，上單調遞增，且在時使得；又，，所以選項成立；，比離對稱軸遠，可得，選項成立；，，可知比離對稱軸遠，選項成立；，符號不定，，無法比較大小，不一定成立．故選：．【點睛】本題考查了函數的基本性質及其應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.12．B【解析】

根據兩個函數相等，求出所有交點的橫坐標，然后求和即可.【詳解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函數的圖象與函數的圖象交點的橫坐標的和，故選B.【點睛】本題主要考查三角函數的圖象及給值求角，側重考查數學建模和數學運算的核心素養(yǎng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

構造，先利用定義判斷的奇偶性，再利用導數判斷其單調性，轉化為，結合奇偶性，單調性求解不等式即可.【詳解】令，則是上的偶函數，，則在上遞減，于是在上遞增．由得，即，于是，則，解得．故答案為：【點睛】本題考查了利用函數的奇偶性、單調性解不等式，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于較難題.14．【解析】

利用兩角和的正切公式結合可得出的方程，即可求出的值，然后利用二倍角的正、余弦公式結合弦化切思想求出和的值，進而利用兩角差的余弦公式求出的值.【詳解】，，，.故答案為：；.【點睛】本題主要考查三角函數值的計算，考查兩角和的正切公式、兩角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的應用，難度不大．15．【解析】

寫出二項展開式的通項，然后取的指數為求得的值，則項的系數可求得.【詳解】，由，可得.含項的系數為.故答案為：【點睛】本題考查了二項式定理展開式、需熟記二項式展開式的通項公式，屬于基礎題.16．1【解析】

把向量進行轉化，用表示，利用基本不等式可求實數的值.【詳解】，解得＝1．故答案為：1.【點睛】本題主要考查平面向量的數量積應用，綜合了基本不等式，側重考查數學運算的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析（2）（3）見解析【解析】

（1）令可得，即．得到，再利用通項公式和前n項和的關系求解，（2）由（1）知，．設等比數列的公比為，所以，再根據恰為與的等比中項求解，（3）由（2）得到時，，，求得，再代入證明?！驹斀狻浚?）解：令可得，即．所以．時，可得，當時，所以．顯然當時，滿足上式．所以．，所以數列是等差數列，（2）由（1）知，．設等比數列的公比為，所以，恰為與的等比中項，所以，解得，所以（3）時，，，而時，，，所以當時，.當時，，∴對任意，都有，【點睛】本題主要考查數列的通項公式和前n項和的關系，等差數列，等比數列的定義和性質以及數列放縮的方法，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于難題，18．（1）；（2）【解析】

（1）先將曲線的參數方程化為普通方程，再將普通方程化為極坐標方程即可.（2）將和的極坐標方程聯立，求得兩個曲線交點的極坐標，即可由極坐標的含義求得的面積.【詳解】（1）曲線的參數方程為（α為參數），消去參數的的直角坐標方程為．所以的極坐標方程為（2）解方程組，得到．所以，則或（）．當（）時，，當（）時，．所以和的交點極坐標為：,.所以．故的面積為．【點睛】本題考查了參數方程與普通方程的轉化，直角坐標方程與極坐標的轉化，利用極坐標求三角形面積，屬于中檔題.19．（Ⅰ）（Ⅱ）8【解析】

（Ⅰ）由余弦定理可得，即可求出A,（Ⅱ）根據同角的三角函數的關系和兩角和的正弦公式和正弦定理即可求出.【詳解】（Ⅰ）由余弦定理，所以，所以，即，因為，所以；（Ⅱ）因為，所以，因為，，由正弦定理得，所以.【點睛】本題考查利用正弦定理與余弦定理解三角形，屬于簡單題.20．（1）單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為（2）的取值范圍是；對應的的值為.【解析】

（1）當時，求的導數可得函數的單調區(qū)間；（2）若函數有兩個極值點，，且，利用導函數，可得的范圍，再表達，構造新函數可求的取值范圍，從而可求取到最小值時所對應的的值．【詳解】（1）函數由條件得函數的定義域：，當時，，所以：，時，，當時，，當，時，，則函數的單調增區(qū)間為：，單調遞減區(qū)間為：，；（2）由條件得：，，由條件得有兩根：，，滿足，△，可得：或；由，可得：．，函數的對稱軸為，，所以：，；，可得：，，，則：，所以：；所以：，令，，，則，因為：時，，所以：在，上是單調遞減，在，上單調遞增，因為：，（1），，（1），所以，；即的取值范圍是：，；，所以有，則，；所以當取到最小值時所對應的的值為；【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的極值和單調區(qū)間問題，考查利用導數求函數的最值，體現了轉化的思想方法，屬于難題．21．（1）極大值，極小值；（2）詳見解析.【解析】

首先確定函數的定義域和；（1）當時，根據的正負可確定單調性，進而確定極值點，代入可求得極值；（2）通過分析法可將問題轉化為證明，設，令，利用導數可證得，進而得到結論.【詳解】由題意得：定義域為，，（1）當時，，當和時，；當時，，在，上單調遞增，在上單調遞減，極大值為，極小值為.（2）要證：，即證：，即證：，化簡可得：．，，即證：，設，令，則，在上單調遞增，，則由，從而有：.【點睛】本題考查導數在研究函數中的應用，涉及到函數極值的求解、利用導數證明不等式的問題；本題不等式證明的關鍵是能夠將多個變量的問題轉化為一個變量的問題，通過構造函數的方式將問題轉化為函數