2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)3.1正整數(shù)指數(shù)函數(shù)學(xué)案含解析北師大版必修1

PAGE第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)§1正整數(shù)指數(shù)函數(shù)學(xué)問點一正整數(shù)指數(shù)函數(shù)[填一填]1．正整數(shù)指數(shù)函數(shù)一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義域為正整數(shù)集N＋.[答一答]1．如何正確理解正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義？提示：(1)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)解析式的基本特征：ax前的系數(shù)必需是1，自變量x∈N＋，且x在指數(shù)的位置上，底數(shù)a是大于零且不等于1的常數(shù)．要留意正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)與冪函數(shù)y＝xα的區(qū)分．(2)在正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義中，為什么要規(guī)定底數(shù)a是一個大于零且不等于1的常數(shù)？這是因為，若a＝0或a＝1，則對于隨意的x∈N＋，都有ax＝0或ax＝1，這時，ax是一個常量，沒有探討的必要；若a<0，則在后面的學(xué)習(xí)中，當(dāng)我們把正整數(shù)指數(shù)函數(shù)擴充到實數(shù)指數(shù)函數(shù)時，對于x的某些取值ax無意義，從而無法擴充．學(xué)問點二正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的增減性及運算性質(zhì)[填一填]2．正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的增減性由本節(jié)課本的問題1與問題2可知，對正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1，x∈N＋)，當(dāng)a>1時，函數(shù)圖像是上升的，當(dāng)0<a<1時，函數(shù)圖像是下降的．(填“上升”與“下降”)3．正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(a>0，a≠1，m，n∈N＋)(1)am·an＝am＋n；(2)am÷an＝am－n；(3)(am)n＝amn；(4)(ab)m＝ambm；(5)(eq\f(a,b))m＝eq\f(am,bm)(b≠0)．[答一答]2．為什么正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像不是曲線？提示：這是因為正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義域是正整數(shù)集N＋，而正整數(shù)集是不連續(xù)的，所以用描點法畫正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像時，不能用平滑的曲線連起來．也就是說，正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像是由一些孤立的點組成，而不是曲線．對正整數(shù)指數(shù)冪的運算法則的說明：為了保證這些法則可以從定義干脆推出，我們限定m，n都是正整數(shù)，且法則(2)中限定m>n.為了取消m>n的限制，我們定義了零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪：a0＝1(a≠0)；a－n＝eq\f(1,an)(n∈N＋，a≠0)．在引入了負整數(shù)指數(shù)冪后，法則(2)可歸入法則(1)．同時，指數(shù)的范圍也從正整數(shù)擴大到了整數(shù)．留意：由于零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪都要求底數(shù)不等于零，因而，對于整數(shù)指數(shù)冪而言，也要求底數(shù)不等于零，主要是為了對性質(zhì)的合理推廣．

類型一正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的概念【例1】若x∈N＋，推斷下列函數(shù)是否是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)．(1)y＝(－9)x；(2)y＝x4；(3)y＝eq\f(2x,5)；(4)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))x；(5)y＝(π－3)x.【思路探究】依據(jù)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)的特征來推斷．【解】(1)因為y＝(－9)x的底數(shù)－9小于0，所以y＝(－9)x(x∈N＋)不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)．(2)因為y＝x4中自變量x在底數(shù)位置上，所以y＝x4(x∈N＋)不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)．(3)y＝eq\f(2x,5)＝eq\f(1,5)·2x.因為2x的系數(shù)不是1，所以y＝eq\f(2x,5)(x∈N＋)不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)．(4)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))x(x∈N＋)是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)．(5)y＝(π－3)x(x∈N＋)是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)．規(guī)律方法推斷一個函數(shù)是否為正整數(shù)指數(shù)函數(shù)時，關(guān)鍵是抓住正整數(shù)指數(shù)函數(shù)解析式的基本特征：ax的系數(shù)必需是1，自變量x∈N＋，且x在指數(shù)位置上，底數(shù)a>0，a≠1.已知函數(shù)y＝(m2－3m＋1)(m＋1)x(x∈N＋)是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，求實數(shù)m解：由題意得m2－3m解得m＝0或m＝3.又底數(shù)m＋1>0，且m＋1≠1，∴m>－1，且m≠0，∴m＝3.類型二正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)【例2】(1)畫出函數(shù)y＝(eq\f(1,3))x(x∈N＋)的圖像，并說明函數(shù)的單調(diào)性；(2)畫出函數(shù)y＝3x(x∈N＋)的圖像，并說明函數(shù)的單調(diào)性．【思路探究】依據(jù)函數(shù)關(guān)系式作函數(shù)圖像，肯定要留意定義域的范圍，這是解決此類問題易忽視的地方．【解】(1)函數(shù)y＝(eq\f(1,3))x(x∈N＋)的圖像如圖(1)所示，從圖像可知，函數(shù)y＝(eq\f(1,3))x(x∈N＋)是單調(diào)遞減的．(2)函數(shù)y＝3x(x∈N＋)的圖像如圖(2)所示，從圖像可知，函數(shù)y＝3x(x∈N＋)是單調(diào)遞增的．規(guī)律方法正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像是由一些孤立的點組成的．當(dāng)0<a<1時，函數(shù)y＝ax(x∈N＋)是減函數(shù)；當(dāng)a>1時，函數(shù)y＝ax(x∈N＋)是增函數(shù)．畫出函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x(x∈N＋)的圖像，并說明函數(shù)的單調(diào)性和值域．解：列表：x123456…yeq\f(2,3)eq\f(4,9)eq\f(8,27)eq\f(16,81)eq\f(32,243)eq\f(64,729)…描點，如下圖．視察圖像，可知函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x(x∈N＋)是減函數(shù)，值域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3，…)).類型三利用正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【例3】解下列不等式：(1)4x>23－2x(x∈N＋)；(2)0.3×0.4x<0.2×0.6x(x∈N＋)．【思路探究】依據(jù)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，將所給不等式化為一元一次不等式的形式，再進行求解，肯定要留意題中所給未知數(shù)的取值范圍．【解】(1)由4x>23－2x知，22x>23－2x，所以2x>3－2x，則x>eq\f(3,4)，x∈N＋.故不等式的解集為{x|x>eq\f(3,4)，且x∈N＋}．(2)由0.3×0.4x<0.2×0.6x，得eq\f(0.4x,0.6x)<eq\f(0.2,0.3)，即(eq\f(2,3))x<(eq\f(2,3))1，所以x>1，x∈N＋，故不等式的解集為{x|x>1，且x∈N＋}．規(guī)律方法由正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)是增函數(shù)，得a>1；y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)是減函數(shù)，得0<a<1.依據(jù)這一性質(zhì)可以求參數(shù)的取值范圍．另外，我們也可以依據(jù)這一性質(zhì)解不等式．比較下列各組冪值的大小(用“>”或“<”填空)．(1)1.5819<1.5820；(2)0.52012>0.52013.解析：由于每組中兩個冪的底數(shù)相同，且指數(shù)都是正整數(shù)，所以，可構(gòu)造正整數(shù)的指數(shù)函數(shù)，利用正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較大?。?1)考慮正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝1.58x，x∈N＋.∵1.58>1，∴y＝1.58x在N＋上是增函數(shù)．又∵19<20，∴1.5819<1.5820.(2)考慮正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝0.5x，x∈N＋.∵0<0.5<1，∴y＝0.5x在N＋上是減函數(shù)．又∵2012<2013，∴0.52012>0.52013.——規(guī)范解答——利用正整數(shù)指數(shù)函數(shù)解決實際問題【例4】某林區(qū)2012年木材蓄積量為200萬立方米，由于實行了封山育林、嚴禁砍伐等措施，木材蓄積量的年平均增長率達到5%.(1)若經(jīng)過x年后，該林區(qū)的木材蓄積量為y萬立方米，求y＝f(x)的表達式，并求此函數(shù)的定義域；(2)作出函數(shù)y＝f(x)的圖像，并應(yīng)用圖像求經(jīng)過多少年后，林區(qū)的木材蓄積量能達到300萬立方米．【嘗試解答】(1)2012年的木材蓄積量為200萬立方米；經(jīng)過1年后木材蓄積量為200＋200×5%＝200(1＋5%)；經(jīng)過2年后木材蓄積量為200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2.∴經(jīng)過x年后木材蓄積量為200(1＋5%)x.∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.∵x以年為單位，∴函數(shù)的定義域為x∈N＋.(2)作函數(shù)y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N＋)的圖像，如圖．x01234…y200210220.5231.5243.1…作直線y＝300，與函數(shù)y＝200(1＋5%)x的圖像交于A點，則A(x0,300)，A點的橫坐標x0的值就是函數(shù)值y＝300時(木材蓄積量為300萬立方米時)所經(jīng)過的時間x年的值．∵8<x0<9，則取x＝9.∴經(jīng)過9年后林區(qū)的木材蓄積量能達到300萬立方米．規(guī)律方法由于“遞增率”問題多抽象為正整數(shù)指數(shù)函數(shù)形式，而由正整數(shù)指數(shù)函數(shù)形式來確定相關(guān)量的值多須要運用計算器計算，假如問題要求不嚴格，就可以通過圖像近似求解．隨著天氣的改變，某種疾病的感染人數(shù)y與月份x(x∈N＋，1≤x≤12)滿意關(guān)系式y(tǒng)＝a·0.5x＋b.現(xiàn)在已知某城市某年1月份、2月份感染人數(shù)分別為1萬人、1.5萬人，試求該病3月份的感染人數(shù)．解：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5a＋b＝1，,0.52a＋b＝1.5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2.))∴感染人數(shù)y與月份x滿意的關(guān)系式為y＝－2·0.5x＋2(x∈N＋，1≤x≤12)．∴該病3月份的感染人數(shù)為y＝－2×0.53＋2＝1.75(萬人)．答：該病3月份的感染人數(shù)為1.75萬人．一、選擇題1．下列函數(shù)：①y＝3x2(x∈N＋)；②y＝5x(x∈N＋)；③y＝3x＋1(x∈N＋)；④y＝3·2x(x∈N＋)．其中是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為(B)A．0個 B．1個C．2個 D．3個解析：由正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義知，①③④不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，②是，故選B.2．函數(shù)y＝(eq\f(2,3))x，x∈N＋的圖像是(D)A．一條上升的曲線B．一條下降的曲線C．一系列上升的點D．一系列下降的點解析：因為正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝(eq\f(2,3))x，x∈N＋的底數(shù)eq\f(2,3)大于零且小于1，所以它的圖像從左向右是一系列下降的點．

3.我國工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從1990年到2010年的20年間翻了兩番，設(shè)平均每年的增長率為x，則有(D)A．(1＋x)19＝4 B．(1＋x)20＝3C．(1＋x)20＝2 D．(1＋x)20＝4解析：本題為增長率模型函數(shù)，為指數(shù)函數(shù)形式：設(shè)1990年總產(chǎn)值為1，則(1＋x)20＝4.二、填空題4．某市2009年有1萬輛燃油型公交車．有關(guān)部門于2010年投入128輛電力型公交車，隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%，該市2024年應(yīng)當(dāng)投入1_458輛電力型公交車．解析：由已知2011年投入128×(1＋50%)；2012年投入128×(1＋50%)2；2013年投入128×(1＋50%)3；……∴2024年投入128×(1＋50%)6＝1458(輛)．5．已知f(x)＝ax(a>0且a≠1，x∈N＋)的圖像過點(5,32)，則f(8)＝256.解析：由題意，得a5＝32，∴a＝2.∴f(x)＝2x.∴f(8)＝28＝256.三、解答題6．農(nóng)夫收入由工資性收入和其他收入兩部分構(gòu)成.2024年某地區(qū)農(nóng)夫人均收入為13150元(其中工資性收入為7800元，其他收入為5350元)．預(yù)料該地區(qū)自2024年起的5年內(nèi)，農(nóng)夫的工資性收入將以每年6%的年增長率增長，其他收入每年