2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)第四章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值理

PAGEPAGE1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值1．函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)條件f′(x0)＝0x0旁邊的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0x0旁邊的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0圖象極值f(x0)為極大值f(x0)為微小值極值點(diǎn)x0為極大值點(diǎn)x0為微小值點(diǎn)2.函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．概念方法微思索1．對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的________條件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示必要不充分2．函數(shù)的最大值肯定是函數(shù)的極大值嗎？提示不肯定，函數(shù)的最值可能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取到．1．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知函數(shù)．證明：（1）存在唯一的極值點(diǎn)；（2）有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)．【解析】（1）函數(shù)．的定義域?yàn)椋?，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又（1），（2），存在唯一的，使得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，存在唯一的極值點(diǎn)．（2）由（1）知（1），又，在，內(nèi)存在唯一的根，由，得，，是在的唯一根，綜上，有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)．2．（2024?江蘇）設(shè)函數(shù)，，，，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）若，（4），求的值；（2）若，，且和的零點(diǎn)均在集合，1，中，求的微小值；（3）若，，，且的極大值為，求證：．【解析】（1），，（4），，，解得．（2），，設(shè)．令，解得，或．．令，解得，或．和的零點(diǎn)均在集合，1，中，若：，，則，舍去．，，則，舍去．，，則，舍去．．，，則，舍去．，，則，舍去．，，則，．因此，，，可得：．．可得時(shí)，函數(shù)取得微小值，（1）．（3）證明：，，，．．△．令．解得：，．，，，可得時(shí)，取得極大值為，，令，可得：．，．令，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，．．．函數(shù)在上單調(diào)遞增，．3．（2024?北京）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)，（2）處的切線斜率為0，求；（Ⅱ）若在處取得微小值，求的取值范圍．【解析】（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為．曲線在點(diǎn)，（2）處的切線斜率為0，可得，解得；（Ⅱ）的導(dǎo)數(shù)為，若則時(shí)，，遞增；，，遞減．處取得極大值，不符題意；若，且，則，遞增，無極值；若，則，在，遞減；在，遞增，可得在處取得微小值；若，則，在遞減；在，，遞增，可得在處取得極大值，不符題意；若，則，在，遞增；在，遞減，可得在處取得極大值，不符題意．綜上可得，的范圍是．4．（2024?北京）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)，（1）處的切線與軸平行，求；（Ⅱ）若在處取得微小值，求的取值范圍．【解析】（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為．由題意可得曲線在點(diǎn)，（1）處的切線斜率為0，可得，且（1），解得；（Ⅱ）的導(dǎo)數(shù)為，若則時(shí)，，遞增；，，遞減．處取得極大值，不符題意；若，且，則，遞增，無極值；若，則，在，遞減；在，遞增，可得在處取得微小值；若，則，在遞減；在，，遞增，可得在處取得極大值，不符題意；若，則，在，遞增；在，遞減，可得在處取得極大值，不符題意．綜上可得，的范圍是，．5．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）若是的極大值點(diǎn)，求．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，．，，可得時(shí)，，時(shí)，在遞減，在遞增，，在上單調(diào)遞增，又．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（2）解：由，得，令，．當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞增，故不是的極大值點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)時(shí)，，明顯單調(diào)遞減，①令，解得．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，是的極大值點(diǎn)，符合題意；②若，則，，在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞增，不符合題意；③若，則，，在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，，即，在，上單調(diào)遞減，不符合題意．綜上，．6．（2024?全國）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的微小值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，探討方程實(shí)根的個(gè)數(shù)．【解析】．（1）當(dāng)時(shí)，令，得或；①當(dāng)時(shí)，有，列表如下：200極大值微小值故微小值為．②當(dāng)時(shí)，有，則，故在上單調(diào)遞增，無微小值；③當(dāng)時(shí)，有，列表如下：200極大值微小值故微小值為（2）．（Ⅱ）解法一：①當(dāng)時(shí)，令，得或，有兩個(gè)根；②當(dāng)時(shí)，令，得或，有，列表如下：200微小值極大值故極大值為（2），微小值，因此有三個(gè)根．解法二：①當(dāng)時(shí)，令，得或，有兩個(gè)根；②當(dāng)時(shí)，，對于二次函數(shù)，不是該二次函數(shù)的零點(diǎn)，△，則該二次函數(shù)有兩個(gè)不等的非零零點(diǎn)，此時(shí)，方程有三個(gè)根．7．（2024?山東）已知函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（Ⅱ）令，探討的單調(diào)性并推斷有無極值，有極值時(shí)求出極值．【解析】．，．曲線在點(diǎn)，處的切線方程為：．化為：．．令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增．，時(shí)，；時(shí)，．（1）時(shí)，，時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增；時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減．時(shí)，函數(shù)取得微小值，．（2）時(shí)，令．解得，．①時(shí)，時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得微小值，．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，．②當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．③時(shí)，，時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得微小值，．綜上所述：時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減．時(shí)，函數(shù)取得微小值，．時(shí)，函數(shù)在，是單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得微小值，．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得微小值，．8．（2024?江蘇）已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)．（Ⅰ）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）若，這兩個(gè)函數(shù)的全部極值之和不小于，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（Ⅰ）解：因?yàn)?，所以，，令，解得．由于?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；所以的微小值點(diǎn)為，由于導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是原函數(shù)的零點(diǎn)，所以，即，所以．因?yàn)橛袠O值，所以有實(shí)根，所以，即，解得，所以．（Ⅱ）證明：由（1）可知（a），由于，所以（a），即；（Ⅲ）解：由（1）可知的微小值為，設(shè)，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，則，，所以，又因?yàn)?，這兩個(gè)函數(shù)的全部極值之和不小于，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，由于時(shí)，所以，解得，所以的取值范圍是，．9．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知函數(shù)，且．（1）求；（2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且．【解析】（1）因?yàn)?，則等價(jià)于，求導(dǎo)可知．則當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，（1），沖突，故．因?yàn)楫?dāng)時(shí)、當(dāng)時(shí)，所以，又因?yàn)椋?），所以，解得；另解：因?yàn)椋?），所以等價(jià)于在時(shí)的最小值為（1），所以等價(jià)于在處是微小值，所以解得；（2）由（1）可知，，令，可得，記，則，令，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以，又，所以在上存在唯一零點(diǎn)，所以有解，即存在兩根，，且不妨設(shè)在上為正、在，上為負(fù)、在，上為正，所以必存在唯一極大值點(diǎn)，且，所以，由可知；由可知，所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以；綜上所述，存在唯一的極大值點(diǎn)，且．10．（2024?山東）設(shè)，．（1）令，求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知在處取得極大值，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由，可得，，所以，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，．（6分）（2）由（1）知，（1）．①當(dāng)時(shí)，，由（1）知在內(nèi)單調(diào)遞增，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在處取得微小值，不合題意．②當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，不合題意．③當(dāng)時(shí)，，在上單減，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以在處取極大值，符合題意．綜上可知，正實(shí)數(shù)的取值范圍為，．（12分）11．（2024?北京）已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值和最小值．【解析】（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在點(diǎn)，處的切線斜率為，切點(diǎn)為，即為，曲線在點(diǎn)，處的切線方程為；（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，令，則的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)，，可得，即有在，遞減，可得，則在，遞減，即有函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為；最小值為．1．（2024?道里區(qū)校級一模）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B． C． D．【答案】B【解析】由，得，．要使有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需有兩個(gè)變號根，即有兩個(gè)變號根．令，，則，由得，易知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減．所以，而，，作出，的圖象，可知：，解得．故選．2．（2024?內(nèi)江三模）函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)有微小值，則的取值范圍是A． B． C．，， D．，，【答案】D【解析】，當(dāng)時(shí)，，所以在，上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，（2）為函數(shù)的微小值，符合題意，當(dāng)時(shí)，令，得，，且，所以在，上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，（2）為函數(shù)的微小值，符合題意，當(dāng)時(shí)，令，得，，且，若在，有微小值，只需或，解得，或，綜上所述，，或，故選．3．（2024?德陽模擬）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，若不等式恒成立，那么的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以方程在上有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則，解得．因?yàn)?，設(shè)（a），（a），易知（a）在上恒成立，故（a）在上單調(diào)遞增，故（a），所以，所以的取值范圍是，．故選．4．（2024?汕頭校級三模）已知函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】A【解析】，，只有一個(gè)極值點(diǎn)，只要一個(gè)變號零點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，，易知是的唯一極值點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，方程可化為，令，，可得兩函數(shù)均為奇函數(shù)，只需推斷時(shí)，兩函數(shù)無交點(diǎn)即可．①當(dāng)時(shí)，，，所以與有唯一交點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．是的唯一極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，且，，設(shè)過原點(diǎn)的切線為，切點(diǎn)為，，則，解得，，如圖所示，當(dāng)在直線下方（第一象限）或與重合時(shí)，是唯一交點(diǎn)，能滿意的變號零點(diǎn)，即函數(shù)的極值點(diǎn)，．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為，，．故選．5．（2024?山西模擬）已知函數(shù)僅有一個(gè)極值點(diǎn)1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)1，所以無解，令，則，所以在上單調(diào)遞增，從而，所以時(shí)，無解，僅有一個(gè)極值點(diǎn)1，所以取值范圍是．故選．6．（2024?南平三模）函數(shù)在內(nèi)有極值，那么下列結(jié)論正確的是A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)， C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】B【解析】令，則△，若在內(nèi)僅有一個(gè)極值點(diǎn)，即在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得；若在內(nèi)僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，即在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，無解，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有極值，現(xiàn)考查不等式，兩邊同時(shí)取對數(shù)可得，，即，令，則，令（a），解得，函數(shù)（a）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，（e），當(dāng)時(shí)，（a）成立，即，選項(xiàng)正確．故選．7．（2024?龍巖模擬）已知函數(shù)在上有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】B【解析】，設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上有極值，在上有變號零點(diǎn)，令，由可得，即，得到，．故選．8．（2024?武漢模擬）設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】C【解析】，定義域?yàn)椋?，設(shè)，①當(dāng)時(shí)，，故，在上為增函數(shù)，所以無極值點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，△，若時(shí)△，，故，故在上遞增，所以無極值點(diǎn)．若時(shí)△，設(shè)的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為，，且，且，而，則，所以當(dāng)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，，，單調(diào)遞增．所以此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)△，設(shè)的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為，，且，但，所以，所以當(dāng)，，，單調(diào)遞増；當(dāng)，，，，單調(diào)遞減．所以此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)．綜上得：當(dāng)時(shí)有一個(gè)極值點(diǎn)．故選．9．（2024?昆明一模）已知函數(shù)，是的唯一微小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】由題可知，，是的唯一微小值點(diǎn)，恒成立，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，，即．故選．10．（2024?江西模擬）已知定義在上的函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）求證：有且只有一個(gè)微小值點(diǎn)；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）證明：由于，則在上單調(diào)遞增．令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，即，由于，，故，使得，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增．因此在有且只有一個(gè)微小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)．（2）由于不等式在上恒成立，必要性：當(dāng)時(shí)，不等式成立，即令，由于，則（a）在上單調(diào)遞增，又由于（1），則（a）的解為．充分性：下面證明當(dāng)時(shí)，在上恒成立令，由于，，，，，，，，則令，則，，在上單調(diào)遞增，由于（1），則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故（1），即恒成立，因此，當(dāng)時(shí)，在上恒成立．故的取值范圍為，．11．（2024?紅河州三模）已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：，（1），成等差數(shù)列．【解析】（1）由得，故切線斜率（1），又（1），故切線方程為：，即；（2），由題意知：，是方程在內(nèi)的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，令，留意到，其對稱軸為直線，故只需，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，由，是方程的兩根，得：，，故，又（1），即（1），故，（1），成等差數(shù)列．12．（2024?啟東市校級模擬）已知函數(shù)與的圖象在它們的交點(diǎn)處具有相同的切線．（1）求的解析式；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍．【解析】（1）依據(jù)題意，函數(shù)與可知，，兩圖象在點(diǎn)處有相同的切線，所以兩個(gè)函數(shù)切線的斜率相等，即，化簡得①，將代入兩個(gè)函數(shù)可得②，綜合上述兩式①②可解得，所以．（2）函數(shù)，定義域?yàn)?，，因?yàn)?，為函?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，，，又已知，所以，，將式代入得，令，，，，令，解得：，當(dāng)，時(shí)，，在，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，在，單調(diào)遞增；所以，，（1），（1），即的取值范圍是，．13．（2024?河南模擬）設(shè)函數(shù)，．（1）若曲線在處的切線也與曲線相切，求的值．（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)．①求的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，證明：．【解析】（1），，，（1），（1），故曲線在處的切線方程是；設(shè)直線與相切于點(diǎn)，，，，由，得；（2），①在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有2個(gè)不同的根，由，可得，令，則，令，可得，故在遞減，且（1），當(dāng)時(shí)，，，遞增，當(dāng)時(shí)，，，遞減，故（1）是極大值也是最大值，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且趨向于0，要使在有2個(gè)根，只需，故的取值范圍是；②證明：設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，，則在遞增，（1），當(dāng)時(shí)，，令，則，，（2），取，且使，即，則，（2），故存在唯一零點(diǎn)，故有唯一的極大值點(diǎn)，由，可得，故，，，故為上的增函數(shù)，（2），綜上，當(dāng)時(shí)，總有，即．14．（2024?河南模擬）已知函數(shù)，．（1）探討的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求的取值范圍．【解析】（1）的定義域是，，令，當(dāng)△即時(shí)，，此時(shí)在遞增，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)負(fù)根，此時(shí)在遞增，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)正根，分別是，，此時(shí)在遞增，在，遞減，在，遞增，綜上，時(shí)，在遞增，時(shí)，在遞增，在，遞減，在，遞增；（2）由（1）得：，，，，，，，，，令，則，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在遞增，在遞減，（2），的取值范圍是，．15．（2024?運(yùn)城模擬）設(shè)函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1），在點(diǎn)，（1）處的切線斜率（1），則切線方程為，（2）．有兩個(gè)極值點(diǎn)．即有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不等實(shí)根，，令，在上，在上單調(diào)遞增．在上單調(diào)遞減，（1）．時(shí)，．即．（3）可化為．設(shè)，又．在上單調(diào)遞減，在上恒成立，即．又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．在處取得最大值．（1）．．16．（2024?鹿城區(qū)校級模擬）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在，（1）處的切線方程；（Ⅱ）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，．①求的取值范圍；②當(dāng)取得最小時(shí)，求的值．【解析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，（1），（1），曲線在，（1）處的切線方程為，即；（Ⅱ）①，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，有兩個(gè)解，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)至多只有一個(gè)解，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，令（a），，（a），令（a），解得，當(dāng)時(shí)，（a），函數(shù)（a）單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，（a），函數(shù)（a）單調(diào)遞增，（a）（2），當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)解，綜上所述．②，，，，，，設(shè)，且，，令，則恒成立，在上單調(diào)遞增，（1），恒成立，在上單調(diào)遞增，最小值時(shí)，取最小值為，，，再設(shè)，則恒成立，在單調(diào)遞增，又（1）且，，在內(nèi)存在唯一的根，，即，在單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，，取最小值時(shí)，即取最小值時(shí)，．17．（2024?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，其中．（1）證明：函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，并求的取值范圍；（2）若曲線在點(diǎn)處的切線與該曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求的全部可能值．【解析】（1）的定義域?yàn)?，所以，設(shè)，因?yàn)椤髑?，，所以在上有兩個(gè)不等實(shí)根，，且當(dāng)，，時(shí)，，；當(dāng)，時(shí)，，．所以在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，故，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，．從而，又因?yàn)?，，所以，故．?）由（1）知曲線在處切線方程為，原問題等價(jià)于方程只有一個(gè)實(shí)根，設(shè)，則．①當(dāng)時(shí)，，在上單增，而（1），所以只有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意．②當(dāng)時(shí)，令得或1，所以，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．從而在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上，因?yàn)?，設(shè)，則，（a）在單調(diào)遞增，所以（a），即，從而，取，則．則存在，使得，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，不符題意．綜上，可取得的全部值為1．18．（2024?聊城三模）已知函數(shù)，，．（1）設(shè)，探討極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）推斷方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，并證明：．【解析】（1），，，①當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)，時(shí)，，在，上單調(diào)遞增．又，（a），，使，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，從而，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，是函數(shù)的微小值點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)．（2）方程可化為．設(shè)，則原方程又可化為．設(shè)，則．，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；，所以當(dāng)時(shí)，，所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．對于隨意的，．，即，．19．（2024?運(yùn)城模擬）函數(shù)，，其中常數(shù)．（1）若函數(shù)與有相同的極值點(diǎn)，求的值；（2）若，推斷函數(shù)與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】（1），的定義域都為．，令，得；令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以函數(shù)在處取得微小值；又．所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿意題意，故．（2）函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，設(shè)，則．①當(dāng)時(shí)，令，則．令，得；令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．故．則．故在上是增函數(shù)，此時(shí)由，可得函數(shù)有唯一的零點(diǎn)．即函數(shù)與的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，并且對于負(fù)數(shù)，有．又因?yàn)?，所以．所以．所以在區(qū)間，上存在負(fù)數(shù)，使得，則在上，，是增函數(shù)；在區(qū)間上，，是減函數(shù)．則，．所以在上，有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；在區(qū)間上，，（1）且是增函數(shù)所以存在正數(shù)，使得在上，，是減函數(shù)；在上，，是增函數(shù)．于是有，（2）．所以在上，恰有唯一的零點(diǎn)所以當(dāng)時(shí)，在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)．即函數(shù)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)．20．（2024?香坊區(qū)校級三模）已知函數(shù)．（Ⅰ）若為的極大值點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，推斷與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給出證明．【解析】（Ⅰ），，設(shè)，，在遞增，故存在使得，當(dāng)時(shí)，恒成立，故單調(diào)遞增無極值，時(shí)，易得時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得微小值，不滿意題意；時(shí)，易得時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，為極大值點(diǎn)綜上：，（2）由（1）知：①時(shí)，在單調(diào)遞增，（2），（3），有唯一零點(diǎn)；②時(shí)，滿意，，在遞增，在，遞減，在遞增，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，（1），，所以，有唯一零點(diǎn)；③，在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，單