2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語(yǔ)1.1命題及其關(guān)系1.1.21.1.3四種命題四種命題間的相互關(guān)系作業(yè)含解析新人教A版選修1-1

PAGE第一章1.11.1.21.1.3A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．命題“若α＝eq\f(π,4)，則tanα＝1”的逆否命題是(C)A．若α≠eq\f(π,4)，則tanα≠1B．若α＝eq\f(π,4)，則tanα≠1C．若tanα≠1，則α≠eq\f(π,4)D．若tanα≠1，則α＝eq\f(π,4)[解析]將原命題的條件與結(jié)論都否定，再互換即得逆否命題．“若α＝eq\f(π,4)，則tanα＝1”的條件是“α＝eq\f(π,4)”，結(jié)論是“tanα＝1”，故其逆否命題是“若tanα≠1，則α≠eq\f(π,4)”．2.(2024·宜昌一中月考)已知命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”，命題q：“若a不是正數(shù)則它的平方等于0”．則q是p的(B)A．逆命題 B．否命題C．逆否命題 D．否定命題[解析]本題考查四種命題的基本概念．3．命題“若c<0，則方程x2＋x＋c＝0有實(shí)數(shù)解”，則(C)A．該命題的逆命題為真，逆否命題也為真B．該命題的逆命題為真，逆否命題也假C．該命題的逆命題為假，逆否命題為真D．該命題的逆命題為假，逆否命題也為假[解析]如：當(dāng)c＝0時(shí)，方程x2＋x＋c＝0有實(shí)數(shù)解，該命題的逆命題“若方程x2＋x＋c＝0有實(shí)數(shù)解，則c<0”是假命題；若c<0，則Δ＝1－4c>0，命題“若c<0，則方程x2＋x＋c＝0有實(shí)數(shù)解”是真命題，故其逆否命題是真命題．4．已知一個(gè)命題與它的逆命題、否命題、逆否命題，在這四個(gè)命題中(B)A．真命題個(gè)數(shù)肯定是奇數(shù)B．真命題個(gè)數(shù)肯定是偶數(shù)C．真命題個(gè)數(shù)可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)D．以上推斷都不對(duì)[解析]因?yàn)樵}是真命題，則它的逆否命題肯定是真命題，一個(gè)命題的逆命題是真命題，則它的否命題肯定是真命題，故選B．5．下列命題是真命題的是(D)A．“若x＝0，則xy＝0”的逆命題B．“若x＝0，則xy＝0”的否命題C．若x>1，則x>2D．“若x＝2，則(x－2)(x－1)＝0”的逆否命題[解析]A選項(xiàng)的逆命題“若xy＝0，則x＝0”是假命題；B選項(xiàng)的否命題“若x≠0，則xy≠0”沒(méi)有考慮y的取值，為假命題；當(dāng)x＝1.5時(shí)，x>1但不大于2，故為假命題；選項(xiàng)D中命題“若x＝2則(x－2)(x－1)＝0”為真命題，則其逆否命題也為真命題．故選D．6．命題：“若a2＋b2＝0(a、b∈R)，則a＝0且b＝0”的逆否命題是(D)A．若a≠b≠0(a、b∈R)，則a2＋b2≠0B．若a＝b≠0(a、b∈R)，則a2＋b2≠0C．若a≠0且b≠0(a、b∈R)，則a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0(a、b∈R)，則a2＋b2≠0[解析]命題中的條件及結(jié)論的否定分別是a2＋b2≠0，a≠0或b≠0(a、b∈R)，所以命題的逆否命題是“若a≠0或b≠0(a、b∈R)，則a2＋b2≠0”．二、填空題7．命題“若a>b，則2a>2b”的否命題是__若a≤b，則2a≤2b__，為_(kāi)_真__(填“真”或“假”)命題．[解析]指數(shù)函數(shù)y＝2x在R上為增函數(shù)，所以其否命題為真．8．有下列三個(gè)命題：①“全等三角形的面積相等”的否命題；②“若q≤1，則x2＋2x＋q＝0有實(shí)根”的逆命題；③“不等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等”的逆否命題．其中全部真命題的序號(hào)為_(kāi)_②__.[解析]命題①可考慮“全等三角形的面積相等”的逆命題：“面積相等的三角形是全等三角形”，是假命題，因此命題①是假命題；命題②是“若x2＋2x＋q＝0有實(shí)根，則q≤1”，是真命題；命題③是假命題．三、解答題9．寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題．(1)假如一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面；(2)假如x>10，那么x>0；(3)當(dāng)x＝2時(shí)，x2＋x－6＝0.[解析](1)逆命題：假如一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線；否命題：假如一條直線不垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線不垂直于這個(gè)平面；逆否命題：假如一條直線不垂直于一個(gè)平面，那么這條直線不垂直于這個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線．(2)逆命題：假如x>0，那么x>10；否命題：假如x≤10，那么x≤0；逆否命題：假如x≤0，那么x≤10.(3)逆命題：假如x2＋x－6＝0，那么x＝2；否命題：假如x≠2，那么x2＋x－6≠0；逆否命題：假如x2＋x－6≠0，那么x≠2.B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．命題“假如a、b都是奇數(shù)，則ab必為奇數(shù)”的逆否命題是(B)A．假如ab是奇數(shù)，則a、b都是奇數(shù)B．假如ab不是奇數(shù)，則a、b不都是奇數(shù)C．假如a、b都是奇數(shù)，則ab不是奇數(shù)D．假如a、b不都是奇數(shù)，則ab不是奇數(shù)[解析]命題“假如a、b都是奇數(shù)，則ab必為奇數(shù)”的逆否命題是“假如ab不是奇數(shù)，則a、b不都是奇數(shù)”．2．若命題p的否命題為r，命題r的逆命題為s，p的逆命題為t，則s是t的(C)A．逆否命題 B．逆命題C．否命題 D．原命題[解析]解法一：特例：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，p：若∠A＝∠B，則a＝b，r：若∠A≠∠B，則a≠b，s：若a≠b，則∠A≠∠B，t：若a＝b，則∠A＝∠B．故s是t的否命題．解法二：如圖可知，s與t互否．3．(多選題)下列命題是真命題的是(AD)A．“若x＋y＝0，則x、y互為相反數(shù)”的否命題B．“對(duì)頂角相等”的逆命題C．“若x≤－3，則x2－x－6>0”的否命題；D．“直角三角形的兩銳角互為余角”的逆命題[解析]A中“若x＋y≠0，則x與y不是相反數(shù)”是真命題．B中“對(duì)頂角相等”的逆命題是“相等的角是對(duì)頂角”是假命題．C中原命題的否命題是“若x>－3，則x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，當(dāng)x＝4時(shí)，x>－3而x2－x－6＝6>0，故是假命題．D中“若一個(gè)三角形的兩銳角互為余角，則這個(gè)三角形是直角三角形”，真命題故選AD．4．(多選題)原命題“圓內(nèi)接四邊形是等腰梯形”，則下列說(shuō)法不正確的是(ABD)A．原命題是真命題 B．逆命題是假命題C．否命題是真命題 D．逆否命題是真命題[解析]原命題可改寫(xiě)為：若一個(gè)四邊形是圓內(nèi)接四邊形，則該四邊形是等腰梯形，為假命題；逆命題為：若一個(gè)四邊形是等腰梯形，則該四邊形是圓內(nèi)接四邊形，是真命題；原命題的否命題是真命題，逆否命題為假命題，故選ABD．5．給出命題：若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象不過(guò)第四象限，在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是(C)A．3 B．2C．1 D．0[解析]由題意，知原命題為真命題，則逆否命題為真命題．逆命題為“若函數(shù)y＝f(x)的圖象不過(guò)第四象限，則函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)”．若f(x)＝3x2，假命題．則否命題也為假命題．二、填空題6．(2024·河北武邑高二期末)命題“當(dāng)c>0時(shí)，若a>b，則ac>bc.”的逆命題是__當(dāng)c>0時(shí)，若ac>bc，則a>b__.7．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_[3,8)__.[解析]因?yàn)閜(1)是假命題，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命題，所以4＋4－m>0，解得m<8.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[3,8)．三、解答題8．在等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差數(shù)列，則am，am＋2，am＋1成等差數(shù)列．(1)寫(xiě)出這個(gè)命題的逆命題、否命題、逆否命題；(2)推斷這個(gè)命題的逆命題何時(shí)為假，何時(shí)為真，并給出證明．[解析](1)這個(gè)命題的逆命題是在等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，若am，am＋2，am＋1成等差數(shù)列，則Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差數(shù)列．否命題是：在等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差數(shù)列，則am，am＋2，am＋1不成等差數(shù)列．逆否命題是：在等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，若am，am＋2，am＋1不成等差數(shù)列，則Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差數(shù)列．(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則當(dāng)q＝1時(shí)，這個(gè)命題的逆命題為假，證明如下：易知am＝am＋2＝am＋1＝a1≠0，若am，am＋2，am＋1成等差數(shù)列，則Sm＋2－Sm＝2a1，Sm＋1－Sm＋2＝－a1，明顯Sm＋2－Sm≠Sm＋1－Sm＋2.當(dāng)q≠1時(shí)，這個(gè)命題的逆命題為真，證明如下：因?yàn)閍m＝a1qm－1，am＋2＝a1qm＋1，am＋1＝a1qm，若am，am＋2，am＋1成等差數(shù)列，則a1qm－1＋a1qm＝2a1qm＋1，即1＋q＝2q2，