2025年外研銜接版高一數(shù)學(xué)上冊月考試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年外研銜接版高一數(shù)學(xué)上冊月考試卷429考試試卷考試范圍：全部知識點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共5題，共10分)1、以等速度行駛的城際列車，若將速度提高25%，則相同距離的行車時(shí)間可節(jié)省k%，那么k的值是（）A.35B.30C.25D.202、已知α是第三象限角；則sinα+cosα（）

A.大于0

B.小于0

C.有可能等于0

D.不能確定其正負(fù)。

3、【題文】已知a，b為實(shí)數(shù)，則2a>2b是log2a>log2b的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4、設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，則=（）A.8B.4C.2D.15、函數(shù)f(x)=ex+3x

的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(

)

A.(鈭?1,鈭?12)

B.(鈭?12,0)

C.(0,鈭?12)

D.(12,1)

評卷人得分二、填空題(共5題，共10分)6、下列四個(gè)幾何體中，每個(gè)幾何體的三視圖有且僅有兩個(gè)視圖相同的是____7、已知函數(shù)f（x）=x∈R，且則A=____．8、設(shè)向量是相互垂直的單位向量，向量λ+與-2垂直，則實(shí)數(shù)λ=______．9、等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），其前項(xiàng)和為Sn，若S3，S9，S6成等差數(shù)列，則q3=______．10、已知直線l過定點(diǎn)A（1，0），且與圓C：（x-3）2+（y-4）2=4相切，則直線l的方程為______．評卷人得分三、解答題(共7題，共14分)11、設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)（Ⅰ）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，并指出的單調(diào)區(qū)間（不需證明）；（Ⅱ）若方程有兩個(gè)解，求出的取值范圍（只需簡單說明，不需嚴(yán)格證明）.（Ⅲ）設(shè)定義為的函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，求的解析式.12、【題文】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中；D是BC的中點(diǎn)．

(1)若E為A1C1的中點(diǎn)，求證：DE∥平面ABB1A1；

(2)若E為A1C1上一點(diǎn)，且A1B∥平面B1DE，求的值．.13、【題文】在△ABC中，已知．求：

（1）AB的值；（2）的值．14、設(shè)函數(shù)f（x）=

（1）若方程f（x）=m有兩個(gè)不同的解；求實(shí)數(shù)m的值，并解此方程；

（2）當(dāng)x∈（﹣b，b）（b＞0）時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．15、如圖；正方形ABCD的邊長為1，E，F(xiàn)分別為BC，CD上異于端點(diǎn)的點(diǎn)，△ECF的周長為2，∠BAE=α，∠DAF=β．

（Ⅰ）當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)；求tan（α+β）的值；

（Ⅱ）求?的最小值．16、如圖；已知在正四棱錐P鈭?ABCD

中，M

為側(cè)棱PD

的中點(diǎn)。

(1)

證明：PB//

面ACM

(2)

證明：平面ACM隆脥

平面PBD

(3)

設(shè)AB=2

若質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A

沿面PAD

與面PCD

的表面運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C

的最短路徑恰好經(jīng)過點(diǎn)M

求正四棱錐P鈭?ABCD

的體積．17、已知函數(shù)f(x)=Asin(婁脴x+3婁脨4)(A>0,婁脴>0,|婁脮|<婁脨)

的一段圖象如圖所示；

(

Ⅰ)

求函數(shù)f(x)

的解析式；

(

Ⅱ)

求函數(shù)f(x)

的單調(diào)遞增區(qū)間．評卷人得分四、作圖題(共4題，共12分)18、如圖A、B兩個(gè)村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現(xiàn)在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設(shè)管道費(fèi)用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)管道的費(fèi)用最省，并求出其費(fèi)用．19、如圖A、B兩個(gè)村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現(xiàn)在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設(shè)管道費(fèi)用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)管道的費(fèi)用最省，并求出其費(fèi)用．20、作出下列函數(shù)圖象：y=21、畫出計(jì)算1++++的程序框圖．評卷人得分五、證明題(共2題，共20分)22、AB是圓O的直徑，CD是圓O的一條弦，AB與CD相交于E，∠AEC=45°，圓O的半徑為1，求證：EC2+ED2=2．23、如圖；過圓O外一點(diǎn)D作圓O的割線DBA，DE與圓O切于點(diǎn)E，交AO的延長線于F，AF交圓O于C，且AD⊥DE．

（1）求證：E為的中點(diǎn)；

（2）若CF=3，DE?EF=，求EF的長．參考答案一、選擇題(共5題，共10分)1、D【分析】【分析】設(shè)距離為S，原來速度為v．分別表示現(xiàn)在速度、時(shí)間、原來的時(shí)間，根據(jù)“時(shí)間可節(jié)省k%”列方程求解．【解析】【解答】解：設(shè)距離為S，原來速度為v．則原來行車時(shí)間為；現(xiàn)在速度為（1+25%）v，時(shí)間為．

根據(jù)題意得=k%．

解得k=20．

故選D．2、B【分析】

∵α是第三象限角。

∴sinα＜0cosα＜0

∴sinα+cosα＜0

故選：B．

【解析】【答案】根據(jù)α所在的象限；得出sinα和cosα的正負(fù)即可得出答案．

3、B【分析】【解析】若2a>2b,則a>b,由于a,b可能為負(fù)數(shù)，所以log2a>log2b不成立；反之，當(dāng)log2a>log2b時(shí)，a>b,所以2a>2b.【解析】【答案】B4、C【分析】【解答】解：由=16，得||=4，∵=||=4；

而

∴=2

故選C．

【分析】先求出||=4，又因?yàn)?||=2=4，可得答案．5、B【分析】解：隆脽

函數(shù)f(x)=ex+3x

是R

上的連續(xù)函數(shù)；且單調(diào)遞增；

f(鈭?12)=e鈭?12+3隆脕(鈭?12)=1e鈭?32<0f(0)=e0+0=1>0

隆脿f(鈭?12)f(0)<0

隆脿f(x)=ex+3x

的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為(鈭?12,0)

故選：B

．

根據(jù)函數(shù)f(x)=ex+3x

是R

上的連續(xù)函數(shù)，且單調(diào)遞增，f(鈭?12)f(0)<0

結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，可得結(jié)論．

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的概念與零點(diǎn)定理的應(yīng)用，屬于容易題．【解析】B

二、填空題(共5題，共10分)6、略

【分析】【解析】試題分析：①正方體的三個(gè)視圖相同；②圓錐的主視圖與左視圖相同；③三棱臺(tái)沒有相同的視圖；④正四棱錐的主視圖與左視圖相同。故答案為②④?？键c(diǎn)：本題主要考查幾何體的三視圖、直觀圖?！窘馕觥俊敬鸢浮竣冖?、7、略

【分析】

∵=A=A=∴解得A=2．

故答案為2．

【解析】【答案】利用特殊角的三角函數(shù)值即可得出．

8、略

【分析】解：∵向量是相互垂直的單位向量；

∴=0，．

∵λ+與-2垂直；

∴（λ+）?（-2）=λ-2=0．

解得λ=2．

故答案為2．

本題考查了平面向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，根據(jù)向量λ+與-2垂直，令數(shù)量積為零，再根據(jù)向量是相互垂直的單位向量，模為1，數(shù)量積為0，即可求解．【解析】29、略

【分析】解：由題意可得公比q≠1，∵S3，S9，S6成等差數(shù)列，∴2S9=S3+S6；

∴2=+∴2q9-q6-q3=0；

∴2q6-q3-1=0，解得q3=∴q3=-

故答案為-．

由題意可得公比q≠1，根據(jù)S3，S9，S6成等差數(shù)列，可得2S9=S3+S6，把等比數(shù)列的通項(xiàng)公式代入化簡可得2q6-q3-1=0，解方程求得q3的值．

本題考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得到2q6-q3-1=0，是解題的關(guān)鍵．【解析】-10、略

【分析】解：設(shè)切線方程為y=k（x-1）；即kx-y-k=0；

∵圓心（3；4）到切線l的距離等于半徑2；

∴=2，解得k=

∴切線方程為3x-4y-3=0；

當(dāng)過點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí)；其方程為x=1，圓心（3，4）到此直線的距離等于半徑2；

故直線x=1也適合題意．

所以；所求的直線l的方程是x=1或3x-4y-3=0；

故答案為x=1或3x-4y-3=0．

設(shè)出切線方程；求出圓的圓心與半徑，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出k，寫出切線方程即可．

本題考查圓的切線方程的求法，注意直線的斜率存在與不存在情況，是本題的關(guān)鍵．【解析】x=1或3x-4y-3=0三、解答題(共7題，共14分)11、略

【分析】試題分析：（Ⅰ）利用一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象及對稱性可作出圖象，然后根據(jù)圖象可寫單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）考慮直線與函數(shù)的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，寫出滿足的條件；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，由此可得到的解析式，然后利用函數(shù)奇偶性可求得的解析式，又由奇函數(shù)的特性易知進(jìn)而可求得的解析式．試題解析：（Ⅰ）如圖.單增區(qū)間：單減區(qū)間．（Ⅱ）在同一坐標(biāo)系中同時(shí)作出圖象，由圖可知有兩個(gè)解，須或即或．（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以且所以．考點(diǎn)：1、分段函數(shù)的圖象；2、函數(shù)單調(diào)性及奇偶性．【解析】【答案】（Ⅰ）作圖歲詳解．單增區(qū)間：單減區(qū)間（Ⅱ）或（Ⅲ）．12、略

【分析】【解析】(1)證明：取B1C1中點(diǎn)G，連結(jié)EG、GD，則EG∥A1B1，DG∥BB1.又EG∩DG＝G，∴平面DEG∥平面ABB1A1.又DE平面DEG，∴DE∥平面ABB1A1.

(2)解：設(shè)B1D交BC1于點(diǎn)F，則平面A1BC1∩平面B1DE＝EF.因?yàn)锳1B∥平面B1DE，A1B平面A1BC1，所以A1B∥EF.所以因?yàn)樗裕健窘馕觥俊敬鸢浮浚?）見解析（2）13、略

【分析】【解析】

試題分析：（1）中由已知可聯(lián)想到向量運(yùn)算法則得：即可解得所求的長（2）對于所求不難想到可將其運(yùn)用兩角差的正弦三角公式展開得：在三角形中觀察此式結(jié)構(gòu)特征可想到運(yùn)用正弦定理化簡得：此時(shí)可聯(lián)系（1）中所給向量數(shù)量積的定義進(jìn)而可得：邊已求得；這樣問題即可求得．

試題解析：（1）因?yàn)?分。

所以即

亦即故．7分。

（2）10分。

由正弦定理得．14分。

考點(diǎn)：1.向量的數(shù)量積;2.三角化簡;3.正余弦定理的運(yùn)用．【解析】【答案】（1）（2）．14、解：（1）∵f（0）=0，f（1）=0，f（{#mathml#}12

{#/mathml#}）=﹣{#mathml#}14

{#/mathml#}，

當(dāng)x＜0時(shí)，f（﹣{#mathml#}23

{#/mathml#}）=﹣{#mathml#}14

{#/mathml#}；

又∵f（x）在（﹣∞，0）上遞增，在（0，{#mathml#}12

{#/mathml#}）上遞減，在（{#mathml#}12

{#/mathml#}，+∞）上遞增；

∴當(dāng)m=0或m=﹣{#mathml#}14

{#/mathml#}時(shí)，方程f（x）=m有兩個(gè)不同的解．

當(dāng)m=0時(shí)，方程的解為0，1；

當(dāng)m=﹣{#mathml#}14

{#/mathml#}時(shí)，方程的解為{#mathml#}12

{#/mathml#}，﹣{#mathml#}23

{#/mathml#}；

（2）由（1）可知，函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，

①當(dāng)0＜b≤{#mathml#}12

{#/mathml#}時(shí)，

∵f（﹣b）﹣f（b）=﹣{#mathml#}940

{#/mathml#}b（b+1）﹣b（b﹣1）

=﹣{#mathml#}140

{#/mathml#}b（49b﹣31）＞0，

此時(shí)函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋╞（b﹣1），0]；

②當(dāng){#mathml#}12

{#/mathml#}＜b≤{#mathml#}23

{#/mathml#}時(shí)，

∵f（﹣b）≥f（{#mathml#}12

{#/mathml#}），

∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇﹣{#mathml#}14

{#/mathml#}，0]；

③當(dāng){#mathml#}23

{#/mathml#}＜b≤1時(shí)，

∵f（﹣b）＜f（{#mathml#}12

{#/mathml#}），且f（b）≤0；

∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋ī亄#mathml#}940

{#/mathml#}b（b+1），0]；

④當(dāng)b＞1時(shí)，

∵f（﹣b）＜f（{#mathml#}12

{#/mathml#}），且f（b）＞0；

∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋ī亄#mathml#}940

{#/mathml#}b（b+1），b（b﹣1））．

【分析】【分析】（1）可求得f（0）=0，f（1）=0，f（）=﹣f（﹣）=﹣且f（x）在（﹣∞，0）上遞增，在（0，）上遞減，在（+∞）上遞增；從而可得當(dāng)m=0或m=﹣時(shí)；方程f（x）=m有兩個(gè)不同的解．再代入求解即可．

（2）由（1）可知，作出函數(shù)f（x）的圖象，從而以0＜b≤＜b≤＜b≤1，b＞1討論函數(shù)的值域即可．15、略

【分析】

（Ⅰ）根據(jù)解直角三角形；和兩角和正弦公式，即可求出；

（Ⅱ）根據(jù)解三角形和三角形的周長公式，能求出a+β=再根據(jù)向量的數(shù)量積，以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出。

本題考查了解三角形的有關(guān)問題，以及三角函數(shù)的化簡，以及向量的數(shù)量積公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．【解析】解：（Ⅰ）∵E為BC中點(diǎn)；

∴CE=

在Rt△ECF中；設(shè)CF=t；

則EF=

∵△ECF的周長為2；

∴+t+==2；

解得t=即CF=

在Rt△ABE中，AB=1，BE=∠BAE=α；

∴tanα=

在Rt△ADF中，AD=1，DF=∠DAF=β；

∴tanβ=（2分）

∴tan（α+β）==1（3分）

（Ⅱ）在Rt△ABE中，AB=1，BE=∠BAE=α；

∴BE=tanα∈（0，1），AE=

在Rt△ADF中，AD=1，DF=∠DAF=β；

∴DF=tanβ∈（0，1），AF=（4分）

∴在Rt△ECF中；CE=1-tanα，CF=1-tanβ；

∴EF=

∵△ECF的周長為2；

∴1-tanα+1-tanβ+=2（5分）

化簡得tanα+tanβ=1-tanαtanβ；

∴tan（α+β）==1（6分）

又∵0＜α+β＜

∴a+β=（7分）

∴∠EAF=-（α+β）=

∴?=||?||?cos∠EAF=??cos（8分）

==（10分）

∵0＜α＜

∴＜2α+＜（11分）

∴當(dāng)2α+=即a=時(shí)，sin（2α+）取得最大值1；

即取得最小值=2（-1）．（12分）16、略

【分析】

(1)

設(shè)AC隆脡BD=O

連結(jié)OM

推導(dǎo)出OM//PB

由此能證明PB//

平面ACM

．

(2)

推導(dǎo)出BD隆脥AC

從而AC隆脥

平面PBD

由此能證明平面ACM隆脥

平面PBD

(3)

推導(dǎo)出鈻?PAD

和鈻?PCD

是全等的等邊三角形；AD=CD=PA=PB=PC=PD=2

由此能出正四棱錐P鈭?ABCD

的體積．

本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查正四棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．【解析】證明：(1)

設(shè)AC隆脡BD=O

連結(jié)OM

隆脽

正四棱錐P鈭?ABCD

中；ABCD

是正方形，隆脿O

是BD

中點(diǎn)；

隆脽M

為側(cè)棱PD

的中點(diǎn)；隆脿OM//PB

隆脽PB?

平面ACMOM?

平面ACM

隆脿PB//

平面ACM

．

(2)隆脽

正四棱錐P鈭?ABCD

中；AC隆脡BD=O

隆脿PO隆脥ACBD隆脥AC

隆脽PO隆脡BD=O隆脿AC隆脥

平面PBD

隆脽AC?

平面ACM隆脿

平面ACM隆脥

平面PBD

解：(3)隆脽AB=2

若質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A

沿面PAD

與面PCD

的表面運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C

的最短路徑恰好經(jīng)過點(diǎn)M

隆脿鈻?PAD

和鈻?PCD

是全等的等邊三角形；隆脿AD=CD=PA=PB=PC=PD=2

隆脿AO=12AC=4+4=2PO=PA2鈭?AO2=2

S脮媒路陸脨脦ABCD=2隆脕2=4

隆脿

正四棱錐P鈭?ABCD

的體積：

V=13S脮媒路陸脨脦ABCD隆脕PO=13隆脕4隆脕2=423

．17、略

【分析】

(

Ⅰ)

利用函數(shù)的圖象求出A

和函數(shù)的周期；求出婁脴

即可求函數(shù)f(x)

的解析式；

(

Ⅱ)

利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間直接求解函數(shù)f(x)

的單調(diào)增區(qū)間；

本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的單調(diào)性，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【解析】解：(

Ⅰ)

由題意知：A=2T=2隆脕(3婁脨8+婁脨8)=婁脨=2婁脨蠅

可得：婁脴=2

可得：f(x)=2sin(2x+3婁脨4)

．

(

Ⅱ)

由2k婁脨鈭?婁脨2鈮?2x+3婁脨4鈮?2k婁脨+婁脨2,k隆脢Z

得：k婁脨鈭?5婁脨8鈮?x鈮?k婁脨鈭?婁脨8k隆脢Z

可得函數(shù)f(x)

的單調(diào)遞增區(qū)間為：[k婁脨鈭?5婁脨8,k婁脨鈭?婁脨8],k隆脢Z

．四、作圖題(共4題，共12分)18、略

【分析】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于河CD的對稱點(diǎn)A′，當(dāng)水廠位置O在線段AA′上時(shí)，鋪設(shè)管道的費(fèi)用最省．【解析】【解答】解：作點(diǎn)A關(guān)于河CD的對稱點(diǎn)A′；連接A′B，交CD與點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為水廠位置，此時(shí)鋪設(shè)的管道長度為OA+OB．

∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于CD對稱；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

過點(diǎn)A′作A′E⊥BE于E；則∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：鋪設(shè)管道的最省費(fèi)用為10000元．19、略

【分析】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于河CD的對稱點(diǎn)A′，當(dāng)水廠位置O在線段AA′上時(shí)，鋪設(shè)管道的費(fèi)用最?。窘馕觥俊窘獯稹拷猓鹤鼽c(diǎn)A關(guān)于河CD的對稱點(diǎn)A′；連接A′B，交CD與點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為水廠位置，此時(shí)鋪設(shè)的管道長度為OA+OB．

∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于CD對稱；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

過點(diǎn)A′作A′E⊥BE于E；則∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：鋪設(shè)管道的最省費(fèi)用為10000元．20、【解答】冪函數(shù)y={#mathml#}x32

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