2024-2025學年新教材高中數(shù)學第五章統(tǒng)計與概率5.3概率5.3.3古典概型知識基礎練含解析新人教B版必修第二冊

PAGE5.3.3古典概型必備學問基礎練進階訓練第一層學問點一樣本點個數(shù)的計算1.4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的全部樣本點的個數(shù)為()A．2B．3C．4D．62．做試驗“從0,1,2這3個數(shù)字中，不放回地取兩次，每次取一個，構成有序數(shù)對(x，y)，x為第1次取到的數(shù)字，y為第2次取到的數(shù)字”．(1)寫出這個試驗的樣本空間；(2)求出這個試驗的樣本點的總數(shù)；(3)寫出“第1次取出的數(shù)字是2”學問點二古典概型的推斷3.下列問題中是古典概型的是()A．種下一粒楊樹種子，求其能長成大樹的概率B．擲一個質地不勻稱的骰子，求出現(xiàn)1點的概率C．在區(qū)間[1,4]上任取一個數(shù)，求這個數(shù)大于1.5的概率D．同時擲兩個質地勻稱的骰子，求向上的點數(shù)之和是5的概率4．下列概率模型：①在平面直角坐標系內，從橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的全部點中任取一點；②某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)；③某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講；④一只運用中的燈泡的壽命長短；⑤中秋節(jié)前夕，某市工商部門調查轄區(qū)內某品牌的月餅質量，給該品牌月餅評“優(yōu)”或“差”．其中屬于古典概型的是________.學問點三古典概型概率的計算5.一個盒子里裝有標號為1,2,3,4的4張形態(tài)、大小完全相同的標簽，先后隨機地選取2張標簽，依據下列條件，分別求2張標簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率．(1)標簽的選取是無放回的；(2)標簽的選取是有放回的．6．某旅游愛好者安排從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游．(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率．關鍵實力綜合練進階訓練其次層一、選擇題1．下列有關古典概型的四種說法：①試驗中全部樣本點的個數(shù)只有有限個；②每個事務出現(xiàn)的可能性相等；③每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等；④已知樣本點總數(shù)為n，若隨機事務A包含k個樣本點，則事務A發(fā)生的概率P(A)＝eq\f(k,n).其中全部正確說法的序號是()A．①②④B．①③C．③④D．①③④2．從數(shù)字1,2,3中任取兩個不同的數(shù)字構成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)大于23的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,4)3．將一個骰子先后拋擲2次，視察向上的點數(shù)，則點數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率是()A.eq\f(1,9)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,3)4．甲、乙兩人有三個不同的學習小組A，B，C可以參與，若每人必需參與并且僅能參與一個學習小組(兩人參與各小組的可能性相同)，則兩人參與同一個學習小組的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)5．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)雙方各出上、中、下等馬各一匹分組分別進行一場競賽，勝兩場及以上者獲勝，若雙方均不知道對方馬的出場依次，則田忌獲勝的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)6．甲、乙二人玩猜數(shù)字嬉戲，先由甲任想一數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜出的數(shù)字記為b，且a，b∈{1,2,3,4}，若|a－b|≤1，則稱甲乙“心有靈犀”．現(xiàn)隨意找兩個人玩這個嬉戲，則他們“心有靈犀”的概率為()A.eq\f(3,8)B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,16)D.eq\f(5,16)二、填空題7．甲、乙、丙三名同學上臺領獎，從左到右按甲、乙、丙的依次排列，則三人全都站錯位置的概率是________．8．一個袋子中有5個紅球，3個白球，4個綠球，8個黑球，假如隨機摸出一個球，記A＝{摸出紅球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出綠球}，D＝{摸出黑球}，則P(A)＝________；P(B)＝________；P(C∪D)＝________.9．一個三位自然數(shù)百位、十位、個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當且僅當有兩個數(shù)字的和等于第三個數(shù)字時稱為“有緣數(shù)”(如213,134等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率是________．三、解答題10．(探究題)從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的3件產品中每次任取1件，連續(xù)取兩次．(1)若每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的產品中恰有一件是次品的概率．(2)若每次取出后又放回，求取出的兩件產品中恰有一件是次品的概率．學科素養(yǎng)升級練進階訓練第三層1．(多選題)甲、乙兩人做嬉戲，下列嬉戲中公允的是()A．拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)則甲獲勝，向上的點數(shù)為偶數(shù)則乙獲勝B．同時拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面對上則甲獲勝，兩枚都正面對上則乙獲勝C．從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色的則甲獲勝，撲克牌是黑色的則乙獲勝D．甲、乙兩人各寫1或2中的一個數(shù)字，假如兩人寫的數(shù)字相同則甲獲勝，否則乙獲勝2．一次擲兩枚骰子，得到的點數(shù)為m和n，則關于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0無實數(shù)根的概率是________．3．(學科素養(yǎng)—數(shù)學建模)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動．參與活動的兒童需轉動如圖所示的轉盤兩次，每次轉動后，待轉盤停止轉動時，記錄指針所指區(qū)域中的數(shù)．設兩次記錄的數(shù)分別為x，y.嘉獎規(guī)則如下：①若xy≤3，則嘉獎玩具一個；②若xy≥8，則嘉獎水杯一個；③其余狀況嘉獎飲料一瓶．假設轉盤質地勻稱，四個區(qū)域劃分勻稱．小亮打算參與此項活動．(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．5．3.3古典概型必備學問基礎練1．解析：用列舉法列舉出“數(shù)字之和為奇數(shù)”的樣本點為：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4個．答案：C2．解析：(1)這個試驗的樣本空間Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．(2)樣本點的總數(shù)為6.(3)“第1次取出的數(shù)字是2”3．解析：A，B兩項中的樣本點的發(fā)生不是等可能的；C項中樣本點的總數(shù)是無限的；D項中每個樣本點的發(fā)生是等可能的，且樣本點總數(shù)有限．故選D.答案：D4．解析：①不屬于，緣由是全部橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點有無限多個，不滿意有限性；②不屬于，緣由是命中0環(huán)，1環(huán)，…，10環(huán)的概率不肯定相同，不滿意等可能性；③屬于，緣由是滿意有限性，且任選1人與學生的性別無關，是等可能的；④不屬于，緣由是燈泡的壽命是任何一個非負實數(shù)，有無限多種可能，不滿意有限性；⑤不屬于，緣由是該品牌月餅被評為“優(yōu)”或“差”的概率不肯定相同，不滿意等可能性．答案：③5．解析：記事務A為“選取的2張標簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)”．(1)從4張標簽中無放回地隨機選取2張，則試驗的樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，共有12個樣本點，這12個樣本點出現(xiàn)的可能性是相等的，A＝{(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)}，包含6個樣本點．由古典概型的概率計算公式知P(A)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，故無放回地選取2張標簽，其上數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率為eq\f(1,2).(2)從4張標簽中有放回地隨機選取2張，則試驗的樣本空間Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共有16個樣本點，這16個樣本點出現(xiàn)的可能性是相等的．A＝{(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)}，包含6個樣本點，由古典概型的概率計算公式知P(A)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)，故有放回地選取2張標簽，其上數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率為eq\f(3,8).6．解析：(1)由題意知，從6個國家中任選2個國家，其一切可能的結果組成的樣本空間為Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15個．所選2個國家都是亞洲國家的事務所包含的基本領件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3個，則所求事務的概率為P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，其一切可能的結果組成的樣本空間為Ω＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9個．包括A1但不包括B1的事務所包含的基本領件有(A1，B2)，(A1，B3)，共2個，則所求事務的概率為P＝eq\f(2,9).關鍵實力綜合練1．解析：②中所說的事務不肯定是基本領件，所以②不正確；依據古典概型的特點及計算公式可知①③④正確．故選D.答案：D2．解析：這個試驗的樣本空間Ω＝{12,13,21,23,31,32}，共包含6個樣本點，這6個樣本點發(fā)生的可能性是相等的，因此是古典概型．其中“大于23”包含的樣本點有31,32，共2個，所以所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：A3．解析：這個試驗的樣本空間中共包含36個樣本點，且這36個樣本點發(fā)生的可能性是相等的，“點數(shù)之和為3的倍數(shù)”包含的樣本點有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共12個，因此所求概率為eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).答案：D4．解析：甲、乙兩人參與學習小組，若以(A，B)表示甲參與學習小組A，乙參與學習小組B，則基本領件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9種情形，其中兩人參與同一個學習小組共有3種情形，依據古典概型概率公式得P＝eq\f(1,3).答案：A5．解析：設齊王的下等馬、中等馬、上等馬分別為a1，a2，a3，田忌的下等馬、中等馬、上等馬分別為b1，b2，b3.齊王與田忌賽馬，其狀況有：(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齊王獲勝；(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齊王獲勝；(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齊王獲勝；(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，齊王獲勝；(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，田忌獲勝；(a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齊王獲勝．共6種狀況，且這6種狀況發(fā)生的可能性是相等的．其中田忌獲勝的只有一種情形，即(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，則田忌獲勝的概率為eq\f(1,6).故選D.答案：D6．解析：兩人分別從1,2,3,4四個數(shù)中任取一個，這個試驗共包含16個樣本點，這16個樣本點發(fā)生的可能性是相等的，其中“|a－b|≤1”包含的樣本點有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10個，故他們“心有靈犀”的概率為eq\f(10,16)＝eq\f(5,8).答案：B7．解析：基本領件為甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲，共6個；三人全部站錯的有乙丙甲，丙甲乙，共2個，故所求事務的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．解析：球的總個數(shù)為5＋3＋4＋8＝20個，P(A)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(3,20)，P(C＋D)＝eq\f(4＋8,20)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(1,4)eq\f(3,20)eq\f(3,5)9．解析：由1,2,3組成的三位自然數(shù)為123,132,213,231,312,321，共6個；同理，由1,2,4組成的三位自然數(shù)為6個，由1,3,4組成的三位自然數(shù)為6個，由2,3,4組成的三位自然數(shù)為6個，共有24個，且組成這24個自然數(shù)的可能性是相等的．由1,2,3或1,3,4組成的三位自然數(shù)為“有緣數(shù)”，共12個，所以組成的三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率為eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)10．解析：(1)每次取一件，取后不放回地連續(xù)取兩次，樣本空間為Ω＝{(a1，a2),(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，其中小括號內左邊的字母表示第1次取出的產品，右邊的字母表示第2次取出的產品．由6個基本領件組成，而且可以認為這些基本領件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“取出的兩件中恰好有一件次品”這一事務，則A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事務A由4個基本領件組成．因而P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)有放回地連續(xù)取出兩件，樣本空間為Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1),(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}共9個基本領件．由于每一件產品被取到的機會均等，因此可以認為這些基本領件的出現(xiàn)是等可能的．用B表示“恰有一件次品”這一事務，則B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事務B由4個基本領件組成，因而P(B)＝eq\f