2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系章末知識(shí)方法專題小結(jié)學(xué)案含解析新人教A版必修2

PAGE其次章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系章末學(xué)問(wèn)方法專題小結(jié)一、空間中的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系：相交、平行、異面．(2)空間中直線與平面的位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、直線與平面平行、直線與平面相交．(3)兩個(gè)平面的位置關(guān)系：平行、相交．[例1]下面四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()①假如a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何一個(gè)平面；②假如直線a和平面α滿意a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；③假如直線a，b滿意a∥α，b∥α，則a∥b；④假如直線a與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線平行，那么直線a必平行于平面α.A．0B．1C．2D．3[解析][答案]A[點(diǎn)評(píng)]長(zhǎng)方體中體現(xiàn)了空間中的線線、線面關(guān)系，通過(guò)視察在圖中可以找到本題中四個(gè)命題的很多反例．解決這類題經(jīng)常將空間點(diǎn)、線、面的關(guān)系放置于長(zhǎng)方體中考慮．二、平行與垂直關(guān)系1．平行包括線線平行、線面平行、面面平行，這三種平行關(guān)系之間可以相互轉(zhuǎn)化．即應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到與平面外直線平行的直線，應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理解題的關(guān)鍵是利用已知條件作協(xié)助平面，然后把已知中的線面平行轉(zhuǎn)化為直線和交線平行．2．垂直關(guān)系包括線線垂直、線面垂直、面面垂直，這三種垂直關(guān)系之間也可以相互轉(zhuǎn)化．即在立體幾何中，證明線線垂直，往往須要證明線面垂直，這是證明線線垂直的重要方法．[例2]如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)證明：PA∥平面EDB；(2)證明：PB⊥平面EFD.[證明](1)如下圖，連接AC，AC交BD于O，連接EO.∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO.而EO?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC.∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形．而DE是斜邊PC的中線，∴DE⊥PC.①同樣，由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC.∴BC⊥平面PDC.而DE?平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB?平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD.[點(diǎn)評(píng)]與平行、垂直有關(guān)的問(wèn)題，肯定要仔細(xì)考慮平行與垂直的判定定理及性質(zhì)定理．三、空間角(1)空間角一般指兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角．(2)空間角的一般求法①異面直線所成的角的求法一般有如下兩種：a．平移相交法．即依據(jù)定義，把異面直線中的一條或兩條進(jìn)行平移，并使其相交，作出異面直線所成的角，然后利用三角形邊角關(guān)系求角的大?。産．線面垂直法．在有些狀況下，可以通過(guò)推斷一條直線與另一條直線所在的平面垂直，從而得到兩異面直線所成的角為直角．②直線與平面所成的角：定義法．③二面角的平面角的求法：a．定義法；b.作棱的垂面法．[例3]如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO與A′C′所成角的度數(shù)；(2)AO與平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)．[解](1)∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC.∵OC⊥OB，AB⊥平面BC′，∴OC⊥AB且AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.又∵OA?平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，sin∠OAC＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠OAC＝30°.即AO與A′C′所成角的度數(shù)為30°.(2)如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，連接AE，平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∠OAE為OA與平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\r(12＋\f(1,2)2)＝eq\f(\r(5),2)，∴tan∠OAE＝eq\f(OE,AE)＝eq\f(\r(5),5).(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB.又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB與平面AOC所成的角為90°.[點(diǎn)評(píng)]本題包含了線線角、線面角和面面角三類問(wèn)題，求角度問(wèn)題主要是求兩條異面直線所成的角(0，eq\f(π,2)]，直線和平面所成的角[0，eq\f(π,2)]，二面角[0，π]三種，求角度問(wèn)題解題的一般步驟是：(1)找出這個(gè)角；(2)證明該角符合題意；(3)作出這個(gè)角所成的三角形，求出角．求角度問(wèn)題不論哪種狀況都?xì)w結(jié)到兩條直線所成角的問(wèn)題，即在線線成角中找到答案．四、立體幾何中的探究性問(wèn)題探究問(wèn)題一般是對(duì)命題的條件進(jìn)行探究，常見問(wèn)法是問(wèn)：在什么條件下命題成立或是否存在使問(wèn)題成立的條件．這種題目對(duì)學(xué)生的要求更高，屬中檔偏上的題．[例4]如圖，在直角梯形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB<CD，SD⊥平面ABCD，AB＝AD＝a，SD＝eq\r(2)a.(1)求證：平面SAB⊥平面SAD；(2)設(shè)SB的中點(diǎn)為M，當(dāng)eq\f(CD,AB)為何值時(shí)，能使DM⊥MC？請(qǐng)給出證明．[解](1)證明：∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD.又SD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴SD⊥AB.∴AB⊥平面SAD.又AB?平面SAB，∴平面SAB⊥平面SAD.(2)當(dāng)eq\f(CD,AB)＝2時(shí)，能使DM⊥MC.證明：如圖，連接BD，∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝a，∴BD＝eq\r(2)a.∴SD＝BD，∠BDA＝45°.又M為SB的中點(diǎn)，∴DM⊥SB.①設(shè)CD的中點(diǎn)為P，連接BP，則DP∥AB，且DP＝AB，∴