2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)第四章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算理

PAGEPAGE1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算1．導(dǎo)數(shù)的概念(1)一般地，函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)改變率是eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，我們稱它為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(2)假如函數(shù)y＝f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)y＝f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)．簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，記作f′(x)或y′.2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．5．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．概念方法微思索1．依據(jù)f′(x)的幾何意義思索一下，|f′(x)|增大，曲線f(x)的形態(tài)有何改變？提示|f′(x)|越大，曲線f(x)的形態(tài)越來(lái)越陡峭．2．直線與曲線相切，是不是直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)？提示不肯定．1．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）函數(shù)的圖象在點(diǎn)，（1）處的切線方程為A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，（1），又（1），函數(shù)的圖象在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，即．故選．2．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）若直線與曲線和圓都相切，則的方程為A． B． C． D．【答案】D【解析】直線與圓相切，那么圓心到直線的距離等于半徑，四個(gè)選項(xiàng)中，只有，滿意題意；對(duì)于選項(xiàng)：與聯(lián)立，可得，此時(shí)無(wú)解；對(duì)于選項(xiàng)：與聯(lián)立，可得，此時(shí)解得；直線與曲線和圓都相切，方程為，故選．3．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）曲線在點(diǎn)處的切線方程為A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．故選．4．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】的導(dǎo)數(shù)為，由在點(diǎn)處的切線方程為，可得，解得，又切點(diǎn)為，可得，即，故選．5．（2024?全國(guó)）若函數(shù)圖象上點(diǎn)，（1）處的切線平行于直線，則A． B．0 C． D．1【答案】D【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得點(diǎn)，（1）處的切線斜率為，由點(diǎn)，（1）處的切線平行于直線，可得，解得，故選．6．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)函數(shù)．若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)，若為奇函數(shù)，，．所以：可得，所以函數(shù)，可得，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為：1，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為：．故選．7．（2024?山東）若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線相互垂直，則稱具有性質(zhì)．下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線相互垂直，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點(diǎn)，使這點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值乘積為，當(dāng)時(shí)，，滿意條件；當(dāng)時(shí)，恒成立，不滿意條件；當(dāng)時(shí)，恒成立，不滿意條件；當(dāng)時(shí)，恒成立，不滿意條件；故選．8．（2024?四川）設(shè)直線，分別是函數(shù)圖象上點(diǎn)，處的切線，與垂直相交于點(diǎn)，且，分別與軸相交于點(diǎn)，，則的面積的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的斜率，的斜率，與垂直，且，，即．直線，．取分別得到，，．聯(lián)立兩直線方程可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，．函數(shù)在上為減函數(shù)，且，，則，．的面積的取值范圍是．故選．9．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)函數(shù)，若（1），則__________．【答案】1【解析】函數(shù)，，若（1），，則，故答案為：1．10．（2024?全國(guó)）若函數(shù)，，則__________．【答案】3【解析】由，得，，，．故答案為：3．11．（2024?天津）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則（1）的值為_(kāi)_________．【答案】e【解析】函數(shù)，則；（1）．故答案為：．12．（2024?天津）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則的值為_(kāi)_________．【答案】3【解析】，，．故答案為：3．13．（2024?上海）已知函數(shù)，是的反函數(shù)，則__________．【答案】【解析】由，得，把與互換，可得的反函數(shù)為．故答案為：．14．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點(diǎn)為，可得，解得，即有切點(diǎn)，則切線的方程為，即，故答案為：．15．（2024?天津）曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】由題意，可知：，．曲線在點(diǎn)處的切線方程：，整理，得：．故答案為：．16．（2024?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在曲線上，且該曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．【答案】【解析】設(shè)，，由，得，，則該曲線在點(diǎn)處的切線方程為，切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，即，則．點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：．17．（2024?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值是__________．【答案】4【解析】由，得，設(shè)斜率為的直線與曲線切于，，由，解得．曲線上，點(diǎn)到直線的距離最小，最小值為．故答案為：4．18．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】，，當(dāng)時(shí)，，在點(diǎn)處的切線斜率，切線方程為：．故答案為：．19．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】，，當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．故答案為：．20．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則__________．【答案】【解析】曲線，可得，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，可得：，解得．故答案為：．21．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】，，當(dāng)時(shí)，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．故答案為：．22．（2024?全國(guó)）若曲線的切線與直線平行，則的方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】設(shè)切點(diǎn)為，可得，的導(dǎo)數(shù)為，由切線與直線平行，可得，解得，即有切點(diǎn)為，可得切線的方程為，即為．故答案為：．23．（2024?天津）已知，設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)，（1）處的切線為，則在軸上的截距為_(kāi)_________．【答案】1【解析】函數(shù)，可得，切線的斜率為：（1），切點(diǎn)坐標(biāo)，切線方程為：，在軸上的截距為：．故答案為：1．24．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】曲線，可得，切線的斜率為：．切線方程為：，即：．故答案為：．25．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是__________．【答案】【解析】為偶函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，即有時(shí)，，，可得（1），（1），則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即為．故答案為：．26．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是__________．【答案】【解析】已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，，則，（1）．曲線在點(diǎn)處的切線方程是．即．故答案為：．27．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則__________．【答案】【解析】設(shè)與和的切點(diǎn)分別為，、，；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，得再由切點(diǎn)也在各自的曲線上，可得聯(lián)立上述式子解得；從而得出．故答案為：．28．（2024?江蘇）記，分別為函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿意且，則稱為函數(shù)與的一個(gè)“點(diǎn)”．（1）證明：函數(shù)與不存在“點(diǎn)”；（2）若函數(shù)與存在“點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的值；（3）已知函數(shù)，．對(duì)隨意，推斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點(diǎn)”，并說(shuō)明理由．【解析】（1）證明：，，則由定義得，得方程無(wú)解，則與不存在“點(diǎn)”；（2），，，由得，得，，得；（3），，，由，假設(shè)，得，得，由，得，得，令，，設(shè)，，則，（1），得（1），又的圖象在上不間斷，則在上有零點(diǎn)，則在上有零點(diǎn)，則存在，使與在區(qū)間內(nèi)存在“”點(diǎn)．29．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在，（1）處的切線方程；（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【解析】當(dāng)時(shí)，．（1），即點(diǎn)為，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則（1），即函數(shù)的切線斜率（1），則曲線在處的切線方程為；，，，，，在上單調(diào)遞增，（1）．①，（1），在上單調(diào)遞增，（1），滿意題意；②，存在，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，由（1），可得存在，，不合題意．綜上所述，．另解：若當(dāng)時(shí)，，可得，即為，由的導(dǎo)數(shù)為，由的導(dǎo)數(shù)為，函數(shù)在遞增，可得，則函數(shù)在遞增，則，可得恒成立，即有．30．（2024?北京）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．【解析】（Ⅰ）的導(dǎo)數(shù)，令切點(diǎn)為，可得切線的斜率為，，，切線的方程為；（Ⅱ）曲線在點(diǎn)，處的切線的斜率為，切線方程為，令，可得，令，可得，，由，可知為偶函數(shù)，不妨設(shè)，則，，由，得，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減，則在和處取得微小值，且為最小值32，所以的最小值為32．31．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)，處的切線與軸垂直．（1）求；（2）若有一個(gè)肯定值不大于1的零點(diǎn)，證明：全部零點(diǎn)的肯定值都不大于1．【解析】（1）由，得，，即；（2）證明：設(shè)為的一個(gè)零點(diǎn)，依據(jù)題意，，且，則，且，令，，當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，可知在，，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．又，（1），，，．設(shè)為的零點(diǎn)，則必有，即，，得，即．全部零點(diǎn)的肯定值都不大于1．32．（2024?北京）設(shè)函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（2）設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求的取值范圍；（3）求證：是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件．【解析】（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得在點(diǎn)，處的切線斜率為，切點(diǎn)為，可得切線的方程為；（2）設(shè)，即有，由，可得，由的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)或時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減．即有在處取得極大值，且為0；在處取得微小值，且為．由函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，可得，解得，則的取值范圍是；（3）證明：若有三個(gè)不同零點(diǎn)，令，可得的圖象與軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)．即有有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，即為導(dǎo)數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可得△，即，即為；若，即有導(dǎo)數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，滿意，即有，圖象與軸交于，，則的零點(diǎn)為2個(gè)．故是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件．強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2024?西湖區(qū)校級(jí)模擬）已知某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y′，則這個(gè)函數(shù)可能是（）A．y＝ln B．y＝ln C．y＝ln（1﹣x） D．y＝ln【答案】A【解析】對(duì)選項(xiàng)求導(dǎo)．A、（ln）′（）′，符合；對(duì)于B，∵，∴，不符合；對(duì)于C，，不符合；對(duì)于D，∵y＝﹣ln（x﹣1）∴，不符合；故選A．2．（2024?重慶模擬）函數(shù)f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為2，則的最小值是（）A．10 B．9 C．8 D．【答案】B【解析】由f（x）＝ax2+bx，得f′（x）＝2ax+b，又f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為2，所以f′（1）＝2a+b＝2，即．則．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“＝”成立．所以的最小值是9．故選B．3．（2024?西湖區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)f（x）＝cosx（sinx+1）的導(dǎo)數(shù)是（）A．cos2x+sinx B．cos2x﹣sinx C．cos2x+cosx D．cos2x﹣cosx【答案】B【解析】f′（x）＝﹣sinx（sinx+1）+cosx?cosx＝cos2x﹣sin2x﹣sinx＝cos2x﹣sinx．故選B．4．（2024?西湖區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)f（x）＝cosx+sinx，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】f′（x）＝cosx﹣sinx，∴．故選C．5．（2024?西湖區(qū)校級(jí)模擬）下列運(yùn)算正確的是（）A．（3x）′＝3xlnx B． C． D．（log2x）′【答案】D【解析】（3x）′＝3xln3，，，．故選D．6．（2024?新疆模擬）已知f（x）＝x3﹣x2f'（﹣1）﹣1，則f'（﹣1）＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【答案】A【解析】f（x）＝x3﹣x2f'（﹣1）﹣1，則f'（x）＝3x2﹣2xf'（﹣1），則f'（﹣1）＝3+2f'（﹣1），解得f'（﹣1）＝﹣3故選A．7．（2024?懷化三模）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)數(shù)f'（x），若存在x0使得f（x0）＝f'（x0），則稱x0是f（x）的一個(gè)“巧值點(diǎn)”．給出下列五個(gè)函數(shù)：①f（x）＝x2，②f（x）＝e﹣x，③f（x）＝lnx，④f（x）＝tanx，其中有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】依據(jù)題意，依次分析所給的函數(shù)：①、若f（x）＝x2；則f′（x）＝2x，由x2＝2x，得x＝0或x＝2，這個(gè)方程明顯有解，故①符合要求；②、若f（x）＝e﹣x；則f′（x）＝﹣e﹣x，即e﹣x＝﹣e﹣x，此方程無(wú)解，②不符合要求；③、f（x）＝lnx，則f′（x），若lnx，利用數(shù)形結(jié)合可知該方程存在實(shí)數(shù)解，③符合要求；④、f（x）＝tanx，則f′（x）＝（）′，即sinxcosx＝1，變形可sin2x＝2，無(wú)解，④不符合要求；故選B．8．（2024?濱州三模）函數(shù)y＝lnx的圖象在點(diǎn)x＝e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線方程為（）A．x+ey﹣1+e＝0 B．x﹣ey+1﹣e＝0 C．x+ey＝0 D．x﹣ey＝0【答案】D【解析】y＝lnx的導(dǎo)數(shù)為y′，可得函數(shù)y＝lnx的圖象在點(diǎn)x＝e處的切線斜率為k，且切點(diǎn)為（e，1），則切線的方程為y﹣1（x﹣e），化為x﹣ey＝0．故選D．9．（2024?鏡湖區(qū)校級(jí)模擬）若曲線y＝ex在x＝0處的切線也是曲線y＝lnx+2b的切線，則實(shí)數(shù)b＝（）A．﹣1 B．1 C．2 D．e【答案】B【解析】曲線y＝ex的導(dǎo)數(shù)為y′＝ex，可得在x＝0處的切線斜率為k＝1，切點(diǎn)為（0，1），則切線的方程為y＝x+1，設(shè)直線y＝x+1與y＝lnx+2b相切的切點(diǎn)為（m，2b+lnm），由y＝lnx+2b的導(dǎo)數(shù)為y′，可得切線的斜率為，則1，2b+lnm＝m+1，解得m＝1，b＝1，故選B．10．（2024?香坊區(qū)校級(jí)一模）過(guò)直線y＝x上一點(diǎn)P可以作曲線f（x）＝x﹣lnx兩條切線，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)t的取值范圍為（）A．t＜1 B．t＜0 C．0＜t＜1 D．【答案】C【解析】設(shè)切點(diǎn)為（m，m﹣lnm），m＞0，由f（x）＝x﹣lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝1，可得切線的斜率為1，又P（t，t），可得1，化為t＝m﹣mlnm，設(shè)g（x）＝x﹣xlnx，可得g′（x）＝1﹣（1+lnx）＝﹣lnx，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增．可得g（x）在x＝1處取得最大值1，g（x）的圖象如右圖，由題意可得當(dāng)0＜t＜1時(shí)，方程t＝m﹣mlnm有兩解，故選C．11．（2024?南崗區(qū)校級(jí)四模）曲線f（x）＝f′（1）ex﹣（e﹣1）x在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的斜率為（）A．2﹣e B． C．1 D．4﹣2e【答案】A【解析】f（x）＝f′（1）ex﹣（e﹣1）x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝f′（1）ex﹣（e﹣1），可得f′（1）＝f′（1）e﹣（e﹣1），解得f′（1）＝1，所以f（x）＝ex﹣（e﹣1）x，f′（x）＝ex﹣（e﹣1），則在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的斜率為k＝f′（0）＝e0﹣（e﹣1）＝2﹣e，故選A．12．（2024?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）＝sinx在x＝0處的切線與y＝aex相切，則a的值為（）A．1 B．e C． D．e2【答案】C【解析】函數(shù)f（x）＝sinx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝cosx，可得函數(shù)f（x）＝sinx在x＝0處的切線斜率為k＝1，由切點(diǎn)（0，0），可得切線的方程為y＝x，又切線與y＝aex相切，設(shè)此時(shí)的切點(diǎn)為（m，aem），y＝aex的導(dǎo)數(shù)為y′＝aex，可得aem＝m＝1，解得a，故選C．13．（2024?來(lái)賓模擬）設(shè)函數(shù)f（x）＝alnx+bx2（a＞0，b＞0），若函數(shù)f（x）的圖象在x＝1處的切線與直線x+y﹣2e＝0垂直，則的最小值為（）A．1 B． C．3﹣2 D．3+2【答案】D【解析】函數(shù)f（x）＝alnx+bx2的導(dǎo)數(shù)為f′（x）2bx，可得函數(shù)f（x）的圖象在x＝1處的切線斜率為a+2b，由切線與直線x+y﹣2e＝0垂直，可得a+2b＝1，（a＞0，b＞0），則（a+2b）（）＝1+23+23+2，當(dāng)且僅當(dāng)即ab1時(shí)，取得等號(hào)，則的最小值為3+2，故選D．14．（2024?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知曲線在x＝x1處的切線為l1，曲線y＝lnx在x＝x2處的切線為l2，且l1⊥l2，則x2﹣x1的取值范圍是（）A． B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，0） D．【答案】B【解析】由，得，則，由y＝lnx，得y′，則，∵l1⊥l2，∴，即．∵x2＞0，∴x1＞1，又，令h（x），x＞1．則h′（x）．當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，y＝2﹣x﹣ex為減函數(shù)，故2﹣x﹣ex＜2﹣1﹣e＜0．∴h′（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，故h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，則h（x）＜h（1）＝﹣1．又當(dāng)x＞1時(shí)，，∴h（x）的取值范圍為（﹣∞，﹣1）．即x2﹣x1的取值范圍是（﹣∞，﹣1）．故選B．15．（2024?吉林模擬）已知函數(shù)在（0，+∞）上的最小值為3，直線l在y軸上的截距為﹣1，則下列結(jié)論正確個(gè)數(shù)是（）①實(shí)數(shù)a＝1；②直線l的斜率為1時(shí)，l是曲線y＝f（x）的切線；③曲線y＝f（x）與直線l有且僅有一個(gè)交點(diǎn)．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】因?yàn)閒（x）＝2x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝2，當(dāng)0＜x，f′（x）＜0，f（x）遞減；x時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．可得f（）為最小值，且為3，即23，解得a＝1，故①正確；設(shè)切點(diǎn)A為（m，2m），又因?yàn)閒′（x）＝2，所以21，解得m，由切線方程y＝x﹣1可得切點(diǎn)為（，1），代入f（x）＝2x不成立，所以直線l不是曲線y＝f（x）的切線，故②錯(cuò)誤；又設(shè)直線l：y＝kx﹣1，則曲線y＝f（x）與直線l的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)為方程2xkx﹣1的根的個(gè)數(shù)．由2xkx﹣1可得k＝2，令t，可得k＝t3+t+2，t∈R，t≠0，設(shè)h（t）＝t3+t+2，t∈R，h′（t）＝3t2+1＞0，所以h（t）在R上遞增，且h（t）∈R，而方程k＝t3+t+2，t∈R，t≠0，所以當(dāng)k＝h（0）＝2時(shí)，k＝t3+t+2無(wú)實(shí)數(shù)根；當(dāng)k≠2時(shí)，k＝t3+t+2有且只有一個(gè)根．故k＝2時(shí)，曲線y＝f（x）與直線l沒(méi)有交點(diǎn)；而當(dāng)k≠2時(shí)，曲線y＝f（x）與直線l有且只有一個(gè)交點(diǎn)．故③錯(cuò)誤．故選B．16．（2024?來(lái)賓模擬）曲線y＝x3+x+3上隨意一點(diǎn)處的切線的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】y＝x3+x+3的導(dǎo)數(shù)為y′＝3x2+1，可得曲線y＝x3+x+3上隨意一點(diǎn)處的切線的斜率k≥1，設(shè)傾斜角為θ，可得tanθ≥1，可得銳角θ滿意θ，故選A．17．（2024?榆林四模）若函數(shù)f（x）3ax的圖象在x＝1處的切線與直線x+4y＝0垂直，則a＝（）A．﹣1 B．1 C． D．【答案】D【解析】f（x）3ax的導(dǎo)數(shù)為f′（x）3a，可得f（x）的圖象在x＝1處的切線斜率為﹣1﹣3a，由切線與直線x+4y＝0垂直，可得﹣1﹣3a＝4，解得a．故選D．18．（2024?碑林區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣2m，g（x）＝3lnx﹣x，若y＝f（x）與y＝g（x）在公共點(diǎn)處的切線相同，則m＝（）A．﹣3 B．1 C．2 D．5【答案】B【解析】設(shè)兩曲線y＝f（x）與y＝g（x）的公共點(diǎn)（a，b）（a＞0），f（x）＝x2﹣2m，其導(dǎo)數(shù)f′（x）＝2x，則切線的斜率k＝f′（a）＝2a，g（x）＝3lnx﹣x，其導(dǎo)數(shù)g′（x），則切線的斜率k＝g′（a），則有2a，解可得a＝1或（舍），則b＝3ln1﹣1＝﹣1，則公共點(diǎn)為（1，﹣1），則有﹣1＝1﹣2m，解得m＝1．故選B．19．（2024?河南模擬）曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率為，則該切線的方程為（）A．3x+2y﹣1＝0 B．3x+2y+1＝0 C．6x+4y﹣5＝0 D．12x+8y﹣7＝0【答案】D【解析】的導(dǎo)數(shù)為y′＝x，設(shè)切點(diǎn)為（m，n），m＞0，可得切線的斜率為m，解得m（﹣2舍去），可得切點(diǎn)為（，），則切線的方程為y（x），化為12x+8y﹣7＝0．故選D．20．（2024?福州三模）曲線y＝（1﹣x）ex在x＝1處的切線方程為（）A．ex﹣y﹣e＝0 B．ex+y﹣e＝0 C．x+ey﹣1＝0 D．x﹣ey﹣1＝0【答案】B【解析】由已知：y|x＝1＝0，y′＝ex（1﹣x﹣1）＝﹣xex．所以k＝﹣e，故切線為y＝﹣e（x﹣1），即ex+y﹣e＝0．故選B．21．（2024?桃城區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線2x+ay+1＝0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．﹣2 B． C． D．2【答案】A【解析】由題意得，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率k1＝﹣1，又直線2x+ay+1＝0的斜率，由k1k2＝﹣1，解得a＝﹣2，故選A．22．（2024?讓胡路區(qū)校級(jí)三模）曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為（）A．y＝x+1 B．y＝2x C．y＝3x﹣1 D．【答案】A【解析】設(shè)，則，所以f'（1）＝1，所以切線方程為y﹣2＝x﹣1，即y＝x+1．故選A．23．（2024?臨汾模擬）已知曲線f（x）＝lnx+ax+b在x＝1處的切線是x軸，若方程f（x）＝m（m∈R）有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，則x1+x2的取值范圍是（）A．（0，） B．（0，1） C．（2，+∞） D．（4，+∞）【答案】C【解析】易知，切點(diǎn)為（1，0），切線斜率為0，而．∴，解得a＝﹣1，b＝1．∴f（x）＝lnx﹣x+1（x＞0）．∵，易知f′（1）＝0，且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0．∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，故若方程f（x）＝m（m∈R）有兩個(gè)不等實(shí)根x1＜x2，則必有0＜x1＜1＜x2，則2﹣x1＞1．∵f（x1）＝f（x2），∴f（x2）﹣f（2﹣x1）＝f（x1）﹣f（2﹣x1），令g（x）＝f（x）﹣f（2﹣x）＝lnx﹣x﹣1﹣[ln（2﹣x）﹣（2﹣x）﹣1]＝lnx﹣ln（2﹣x）﹣2x+2，x∈（0，1），∵（0＜x＜1），∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，而g（1）＝0，故g（x）＜0在（0，1）上恒成立，∴f（x2）﹣f（2﹣x1）＜0恒成立，即f（x2）＜f（2﹣x1）恒成立而此時(shí)x2，2﹣x1∈（1，+∞），且f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，∴x2＞2﹣x1，即x1+x2＞2．故選C．24．（2024?河南模擬）設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)f（x）＝2ex﹣f′（0）x+f′（1）圖象上的隨意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)f（x）＝2ex﹣f′（0）x+f′（1）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝2ex﹣f′（0），令x＝0，可得f′（0）＝2e0﹣f′（0），解得f′（0）＝1，則f（x）＝2ex﹣x+f′（1），f′（x）＝2ex﹣1，設(shè)P（m，n），可得k＝2em﹣1＞﹣1，則tanα＞﹣1，即﹣1＜tanα＜0或tanα≥0，由0≤α或α＜π，可得傾斜角α滿意：α＜π或0≤α，故選B．25．（2024?黑龍江二模）若曲線y＝lnx在x＝1處的切線也是y＝ex+b的切線，則b＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．﹣e【答案】B【解析】由y＝lnx得，故y′|x＝1＝1，切點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），故切線方程為y＝x﹣1．設(shè)y＝ex+b的切點(diǎn)為B（m，em+b），∵y′＝ex，∴em＝1，所以m＝0，將m＝0代入切線方程得B（0，﹣1），將B（0，﹣1）代入y＝em+b得：﹣1＝e0+b，得b＝﹣2．故選B．26．（2024?河南模擬）過(guò)原點(diǎn)引y＝ex+t的切線，若切線斜率為，則t＝（）A．﹣e B． C．2e D．【答案】D【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則，又．故選D．27．（2024?福建模擬）函數(shù)f（x）＝x在x＝1處的切線方程為2x﹣y+b＝0，則a+b＝（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1【答案】A【解析】函數(shù)f（x）＝x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝1，可得函數(shù)f（x）＝x在x＝1處的切線的斜率為k＝1﹣a，由切線方程為2x﹣y+b＝0，可得1﹣a＝2，即a＝﹣1，則f（x）＝x，可得切點(diǎn)為（1，0），可得2﹣0+b＝0，即b＝﹣2，則a+b＝﹣3，故選A．28．（2024?河南模擬）已知：過(guò)點(diǎn)M（m，0）可作函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+t圖象的兩條切線l1，l2，且l1⊥l2，則t＝（）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】設(shè)切點(diǎn)為（n，n2﹣2n+t），∵f′（x）＝2x﹣2，故切線斜率為2n﹣2．所以切線方程：y﹣（n2﹣2n+t）＝（2n﹣2）（x﹣n），將（m，0）代入整理得：n2﹣2mn+2m﹣t＝0，設(shè)l1，l2的切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為n1，n2，則：n1+n2＝2m，n1n2＝2m﹣t．因?yàn)閘1⊥l2，所以f′（n1）f′（n2）＝（2n1﹣2）（2n2﹣2）＝4n1n2﹣4（n1+n2）+4＝﹣1①．結(jié)合韋達(dá)定理得4×（2m﹣t）﹣4×2m+4＝﹣1，解得．故選B．29．（2024?益陽(yáng)模擬）已知函數(shù)f（x）＝x2lnx+1﹣f'（1）x，則函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為（）A． B． C．3e D．3e【答案】A【解析】函數(shù)f（x）＝x2lnx+1﹣f'（1）x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝2xlnx+x﹣f′（1），令x＝1，則f′（1）＝0+1﹣f′（1），可得f′（1），則函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為，故選A．30．（2024?三模擬）函數(shù)f（x）＝3sinx+4cosx的圖象在點(diǎn)T（0，f（0））處的切線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由f（x）＝3sinx+4cosx，得f'（x）＝3cosx﹣4sinx，∴f'（0）＝3，又f（0）＝4，∴切線l的方程為3x﹣y+4＝0，取x＝0，解得切線l在y軸上的截距b＝4，取y＝0，解得切線l在x軸上的截距，∴直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積|a||b|．故選D．31．（2024?陜西模擬）曲線f（x）＝f′（1）ex﹣x2+2在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的斜率等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】f（x）＝f′（1）ex﹣x2+2，可得f′（x）＝f′（1）ex﹣2x，可令x＝1，可得f′（1）＝f′（1）e﹣2，解得f′（1），則f′（x）ex﹣2x，可得曲線f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的斜率為f′（0），故選B．32．（2024?赤峰模擬）設(shè)函數(shù)f（x）＝ex﹣x，直線y＝ax+b是曲線y＝f（x）的切線，則a+b的最大值是（）A．1 B．1 C．e﹣1 D．e2﹣2【答案】C【解析】由題得f′（x）＝ex﹣1，設(shè)切點(diǎn)（t，f（t）），則f（t）＝etx，f′（t）＝et﹣1；則切線方程為：y﹣（et﹣t）＝（et﹣1）（x﹣t），即y＝（et﹣1）x+et（1﹣t），又因?yàn)閥＝ax+b，所以a＝et﹣1，b＝et（1﹣t），則a+b＝﹣1+2et﹣tet，令g（t）＝﹣1+2et﹣tet，則g′（t）＝（1﹣t）et，則有t＞1，g′（t）＜0；t＜1，g′（t）＞0，所以t＝1時(shí)，g（x）取最大值，所以a+b的最大值為g（1）＝﹣1+2e﹣e＝e﹣1．故選C．33．（2024?四川模擬）曲線上隨意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為（）A．3 B．2 C． D．1【答案】A【解析】由x＞0，f（x）x3+2lnx的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立，可得曲線上隨意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為3．故選A．34．（2024?南開(kāi)區(qū)二模）函數(shù)y＝xcosx在x處的導(dǎo)數(shù)值是__________．【答案】【解析】y′＝x′cosx+x（cosx）′＝cosx﹣xsinx所以y＝xcosx在處的導(dǎo)數(shù)值是故答案為．35．（2024?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)，則__________．【答案】【解析】∵，∴，解得．故答案為：．36．（2024?香坊區(qū)校級(jí)二模）已知函數(shù)，則__________．【答案】1【解析】由已知，∴．∴．∴．∴．故答案為：1．37．（2024?河南模擬）已知函數(shù)f（x）＝2ex﹣f′（0）sinx，則f'（0）＝__________．【答案】1【解析】f′（x）＝2ex﹣f′（0）cosx，∴f′（0）＝2﹣f′（0），解得f′（0）＝1．故答案為：1．38．（2024?荔灣區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f'（x），且滿意f（x）＝f′（1）x3﹣2x，則f（1）＝__________．【答案】ln2﹣2【解析】依據(jù)題意，f（x）＝f′（1）x3﹣2x，則f′（x）＝3f′（1）x2﹣2xln2，當(dāng)x＝1時(shí)，有f′（1）＝3f′（1）﹣2ln2，解可得f′（1）＝ln2，則f（x）＝ln2×x3﹣2x，故f（1）＝ln2﹣2；故答案為：ln2﹣2．39．（2024?遂寧模擬）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿意關(guān)系式f（x）＝3xf′（2）+lnx，則f（1）的值等于__________．【答案】【解析】依