2024-2025學年高中數(shù)學第2章隨機變量及其分布2.4正態(tài)分布練習新人教A版選修2-3

PAGE4正態(tài)分布[綜合訓練·實力提升]一、選擇題（每小題5分，共30分）1．若f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(（x－1）2,2)(x∈R)，則下列推斷正確的是A．有最大值，也有最小值B．有最大值，無最小值C．無最大值，有最小值D．無最大值，也無最小值解析f(x)是μ＝1，σ＝1的正態(tài)分布密度函數(shù)，所以在x＝1時取得最大值，無最小值．答案B2．已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，則P(－2≤ξ≤2)＝A．0.447B．0.628C．0.954D．0.977解析因為隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(0，σ2)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝0對稱．又P(ξ>2)＝0.023，所以P(ξ<－2)＝0.023.所以P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.答案C3設(shè)X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對隨意正數(shù)t，P(X≤t)≤P(Y≤t)D．對隨意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)解析由題圖可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A錯；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B錯；當t為隨意正數(shù)時，由題圖可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正確，D錯．答案C4．已知隨機變量X聽從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，則P(X≤0)＝A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84解析由X～N(2，σ2)，可知其正態(tài)曲線如圖所示，對稱軸為直線x＝2，則P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.答案A5．若隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,\r(2π))·e－eq\f(x2,2)，X在區(qū)間(－2，－1)和(1，2)內(nèi)取值的概率分別為p1，p2，則p1，p2的關(guān)系為A．p1>p2B．p1<p2C．p1＝p2D．不確定解析由正態(tài)曲線的對稱性及題意知：μ＝0，σ＝1，所以曲線關(guān)于直線x＝0對稱，所以p1＝p2.答案C6．假如提出統(tǒng)計假設(shè)：某工廠制造的零件尺寸X聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，當隨機抽取某一個測量值α時，可以說明假設(shè)不成立的是下列中的A．α∈(μ－3σ，μ＋3σ)B．α?(μ－3σ，μ＋3σ)C．α∈(μ－2σ，μ＋2σ)D．α?(μ－2σ，μ＋2σ)解析由生產(chǎn)實際中的3σ原則可知：P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974，故α?(μ－3σ，μ＋3σ)幾乎為不行能事務(wù)．答案B二、填空題（每小題5分，共15分）7．某班有50名學生，一次考試后數(shù)學成果X(X∈R)聽從正態(tài)分布N(100，102)，已知P(90≤X≤100)＝0.3，估計該班學生數(shù)學成果在110分以上的人數(shù)為________．解析由題意知P(X>110)＝eq\f(1－2P（90≤X≤100）,2)＝0.2，所以該班學生數(shù)學成果在110分以上的人數(shù)為0.2×50＝10.答案108．一批燈泡的運用時間X(單位：小時)聽從正態(tài)分布N(10000，4002)，則這批燈泡運用時間在(9200，10800]內(nèi)的概率是________．解析μ＝10000，σ＝400，P(9200<X≤10800)＝P(10000－2×400<X≤10000＋2×400)＝0.9544.答案0.95449．設(shè)X～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，則P(－1<X<1)的值為________．解析由題意可知，μ＝0，σ＝eq\f(1,2)，故P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝P(－1<X<1)＝0.9544.答案0.9544三、解答題（本大題共3小題，共35分）10．（10分）某年級的一次信息技術(shù)測驗成果近似聽從正態(tài)分布N(70，102)，假如規(guī)定低于60分為不及各，求：(1)成果不及格的人數(shù)占多少？(2)成果在80～90分內(nèi)的學生占多少？解析(1)設(shè)學生的得分狀況為隨機變量X，X～N(70，102)，則μ＝70，σ＝10.在60～80分之間的學生的比例為P(70－10<X≤70＋10)＝0.6826，所以不及格的學生的比例為eq\f(1,2)(1－0.6826)＝0.1587，即成果不及格的學生占15.87%.(2)成果在80～90分內(nèi)的學生的比例為eq\f(1,2)[P(70－2×10<X≤70＋2×10)－P(70－10<X≤70＋10)]＝eq\f(1,2)(0.9544－0.6826)＝0.1359，即成果在80～90分內(nèi)的學生占13.59%.答案(1)15.87%(2)13.59%11．（12分）如圖是一個正態(tài)曲線．試依據(jù)圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，并求出總體隨機變量的均值和方差．解析從正態(tài)曲線的圖象可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝20對稱，最大值為eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20，eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,2\r(π))，解得σ＝eq\r(2).于是概率密度函數(shù)的解析式為φμ，σ(x)＝eq\f(1,2\r(π))e－eq\f(（x－20）2,4)，x∈(－∞，＋∞)．總體隨機變量的均值是μ＝20，方差是σ2＝(eq\r(2))2＝2.答案20212．（13分）已知隨機變量X聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（μ－2σ<X≤μ＋2σ）＝0.9544，,P（μ－σ<X≤μ＋σ）＝0.6826.))(1)若μ＝4，σ＝1，求P(5<X≤6)的值；(2)若P(X>4)＝P(X≤2)＝0.1587，求μ，σ的值．解析(1)依據(jù)正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x＝4對稱得P(5<X≤6)＝eq\f(1,2)[P(2<X≤6)－P(3<X≤5)]＝eq\f(1,2)×（0.9544－0.6826）＝0.1359.(2)由P(X>4)＝P(X≤2)知正態(tài)曲線關(guān)于直線x