2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第7章概率章末綜合提升學(xué)案含解析北師大版必修第一冊

PAGE1-概率[鞏固層·學(xué)問整合][提升層·題型探究]互斥事務(wù)與對立事務(wù)【例1】某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得，1000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事務(wù)分別為A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．[解](1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).故事務(wù)A，B，C的概率分別為eq\f(1,1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1,20).(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設(shè)“1張獎券中獎”這個事務(wù)為M，則M＝A∪B∪C.∵A、B、C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1張獎券的中獎概率為eq\f(61,1000).(3)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事務(wù)N，則事務(wù)N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事務(wù)，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為eq\f(989,1000).互斥事務(wù)、對立事務(wù)的概念與計算(1)互斥事務(wù)是不行能同時發(fā)生的兩個事務(wù)；對立事務(wù)除要求這兩個事務(wù)不同時發(fā)生外，還要求二者必需有一個發(fā)生．因此對立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)，但互斥事務(wù)不肯定是對立事務(wù)，對立事務(wù)是互斥事務(wù)的特別狀況．(2)若A1，A2，…，An互斥，則P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).對立事務(wù)概率由公式可得P(A)＝1－P(eq\x\to(A))(這里eq\x\to(A)是A的對立事務(wù)).eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．調(diào)查一批黃種人群，其中各種血型的人所占的比例如下：血型ABABO該血型的人所占比例(%)2829835已知同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任一種血型的人，其他不同血型的人不能相互輸血，張三是B型血，若張三因病須要輸血，問：(1)任找一個人，其血可以輸給張三的概率是多少？(2)任找一個人，其血不能輸給張三的概率是多少？[解](1)對任一人，其血型為A，B，AB，O的事務(wù)分別記為A′，B′，C′，D′，由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35，因為B，O型血可以輸給張三，所以“任找一人，其血可以輸給張三”為事務(wù)B′∪D′.依據(jù)互斥事務(wù)概率的加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)法一：由于A，AB型血不能輸給B型血的人，所以“任找一人，其血不能輸給張三”為事務(wù)A′∪C′，依據(jù)互斥事務(wù)概率的加法公式，有P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.法二：因為事務(wù)“任找一人，其血可以輸給張三”與事務(wù)“任找一人，其血不能輸給張三”是對立事務(wù)，所以由對立事務(wù)的概率公式，有，P(A′∪C′)＝1－P(B′∪D′)＝1－P(B′)－P(D′)＝1－0.64＝0.36.古典概型【例2】某校高三學(xué)生體檢后，為了解高三學(xué)生的視力狀況，該校從高三六個班的300名學(xué)生中以班為單位(每班學(xué)生50人)，每班按隨機(jī)抽樣方法抽取了8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)．其中高三(1)班抽取的8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)與人數(shù)見下表：視力數(shù)據(jù)4.04.14.24.34.44.54.64.74.84.95.05.15.25.3人數(shù)22211(1)用上述樣本數(shù)據(jù)估計高三(1)班學(xué)生視力的平均值；(2)已知其余五個班學(xué)生視力的平均值分別為4.3，4.4，4.5，4.6，4.8.若從這六個班中隨意抽取兩個班學(xué)生視力的平均值作比較，求抽取的兩個班學(xué)生視力的平均值之差的肯定值不小于0.2的概率．[解](1)高三(1)班學(xué)生視力的平均值為eq\f(4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.1,8)＝4.7，故用上述樣本數(shù)據(jù)估計高三(1)班學(xué)生視力的平均值為4.7.(2)從這六個班中隨意抽取兩個班學(xué)生視力的平均值作比較，全部的取法共有15種，而滿意抽取的兩個班學(xué)生視力的平均值之差的肯定值不小于0.2的取法有：(4.3，4.5)，(4.3，4.6)，(4.3，4.7)，(4.3，4.8)，(4.4，4.6)，(4.4，4.7)，(4.4，4.8)，(4.5，4.7)，(4.5，4.8)，(4.6，4.8)，共有10種，故抽取的兩個班學(xué)生視力的平均值之差的肯定值不小于0.2的概率為P＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).古典概型概率的計算(1)古典概型是一種最基本的概率模型，也是學(xué)習(xí)其他概率模型的基礎(chǔ)，在高考題中，常常出現(xiàn)此種概率模型的題目．解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性．(2)在應(yīng)用公式P(A)＝eq\f(m,n)時，關(guān)鍵是正確理解試驗的發(fā)生過程，求出試驗的樣本空間的樣本點總數(shù)n和事務(wù)A的樣本點個數(shù)m.eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．有7位歌手(1至7號)參與一場歌頌競賽，由500名大眾評委現(xiàn)場投票確定歌手名次，依據(jù)年齡將大眾評委分為五組，各組的人數(shù)如下：組別ABCDE人數(shù)5010015015050(1)為了調(diào)查大眾評委對7位歌手的支持狀況，現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干名大眾評委，其中從B組中抽取了6人．請將其余各組抽取的人數(shù)填入下表；組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)6(2)在(1)中，若A，B兩組被抽到的大眾評委中各有2人支持1號歌手，現(xiàn)從這兩組被抽到的大眾評委中分別任選1人，求這2人都支持1號歌手的概率．[解](1)由題設(shè)知，分層抽樣的抽取比例為6%，所以各組抽取的人數(shù)如下表：組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)36993(2)記從A組抽到的3個評委為a1，a2，a3，其中a1，a2支持1號歌手；從B組抽到的6個評委為b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1號歌手．從{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的全部結(jié)果為由以上樹狀圖知全部結(jié)果共18種，其中2人都支持1號歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4種，故所求概率P＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9).頻率與概率【例3】某射擊運動員為備戰(zhàn)下屆奧運會，在相同條件下進(jìn)行射擊訓(xùn)練，結(jié)果如下：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455擊中靶心的頻率0.80.950.880.920.890.91(1)該射擊運動員射擊一次，擊中靶心的概率大約是多少？(2)假設(shè)該射擊運動員射擊了300次，則擊中靶心的次數(shù)大約是多少？(3)假如該射擊運動員射擊了300次，前270次都擊中靶心，那么后30次肯定都擊不中靶心嗎？[解](1)由題意，得擊中靶心的頻率與0.9接近，故概率約為0.9.(2)擊中靶心的次數(shù)大約為300×0.9＝270(次).(3)由概率的意義，可知概率是個常數(shù)，不因試驗次數(shù)的改變而改變．后30次中，每次擊中靶心的概率仍是0.9，所以不肯定不擊中靶心．1．假如該射擊運動員射擊了10次，前9次中有8次擊中靶心，那么第10次肯定擊中靶心嗎？(只做出推斷，不必說明理由)[解]不肯定．2．利用例3(1)得到的該運動員射擊一次擊中靶心的概率，估計該運動員連續(xù)射擊3次，其中有2次擊中靶心的概率．[解]由例3(1)可得運動員射擊一次擊中靶心概率約為0.9，那么連續(xù)射擊3次，其中有2次擊中靶心的概率為0.9×0.9×(1－0.9)＋0.9×(1－0.9)×0.9＋(1－0.9)×0.9×0.9＝0.243.對于概率的定義應(yīng)留意以下幾點(1)求一個事務(wù)的概率的基本方法是通過大量的重復(fù)試驗．(2)只有當(dāng)頻率在某個常數(shù)旁邊搖擺時，這個常數(shù)才叫做事務(wù)A的概率．(3)概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值．(4)概率反映了隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性的大小．(5)必定事務(wù)的概率為1，不行能事務(wù)的概率為0，故0≤P(A)≤1.eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．對一批優(yōu)盤進(jìn)行抽檢，結(jié)果如下表：抽出件數(shù)a50100200300400500次品件數(shù)b345589次品頻率eq\f(b,a)(1)計算表中次品的頻率；(2)從這批優(yōu)盤中任抽一個是次品的概率約是多少？(3)為保證買到次品的顧客能夠剛好更換，要銷售2000個優(yōu)盤，至少需進(jìn)貨多少個優(yōu)盤？[解](1)表中次品頻率從左到右依次為0.06，0.04，0.025，0.017，0.02，0.018.(2)當(dāng)抽取件數(shù)a越來越大時，出現(xiàn)次品的頻率在0.02旁邊搖擺，所以從這批優(yōu)盤中任抽一個是次品的概率約是0.02.(3)設(shè)須要進(jìn)貨x個優(yōu)盤，為保證其中有2000個正品優(yōu)盤，則x(1－0.02)≥2000，因為x是正整數(shù)，所以x≥2041，即至少需進(jìn)貨2041個優(yōu)盤．事務(wù)的獨立性【例4】某射擊隊為備戰(zhàn)奧運會進(jìn)行驚慌艱苦的訓(xùn)練，訓(xùn)練項目完成后，教練總會設(shè)計支配一些放松、消遣性復(fù)原活動．在一次速射“飛碟”的嬉戲活動中，教練制定如下規(guī)則：每次飛碟飛行過程中只允許射擊三次，依據(jù)飛碟飛行的規(guī)律，隊員甲在飛行距離為50米遠(yuǎn)處命中的概率為eq\f(2,3).(1)假如隊員甲一共參與了三次射擊飛碟的嬉戲，試求隊員甲在這三次嬉戲中第一次至少有一次擊中的概率；(2)假如隊員甲射擊飛行距離為50米遠(yuǎn)處的飛碟，假如第一次未命中，則進(jìn)行其次次射擊，同時其次次射擊時飛碟飛行距離變?yōu)?00米；假如其次次未命中，則進(jìn)行第三次射擊，第三次射擊時飛碟飛行距離變?yōu)?50米(此后飛碟不在射程之內(nèi)).已知，命中的概率與飛碟飛行距離的平方成反比，求隊員甲在一次嬉戲中命中飛碟的概率．[解](1)記“隊員甲在三次嬉戲中，第一次至少有一次命中”為事務(wù)A，則P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝eq\f(26,27).即隊員甲在這三次嬉戲中第一次至少有一次擊中的概率為eq\f(26,27).(2)記“在一次嬉戲中，第i次擊中飛碟”為事務(wù)Bi(i＝1，2，3)，“隊員甲在一次嬉戲中命中飛碟”為事務(wù)B.P(B1)＝eq\f(2,3)，P(B2)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(2)＝eq\f(1,6)，P(B3)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up8(2)＝eq\f(2,27).又Bi是相互獨立事務(wù)，所以P(B)＝P(B1)＋P(eq\x\to(B)1B2)＋P(eq\a\vs4\al(\x\to(B)1)eq\a\vs4\al(\x\to(B)2)B3)＝P(B1)＋P(eq\x\to(B)1)·P(B2)＋P(eq\x\to(B)1)·P(eq\x\to(B)2)·P(B3)＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)×eq\f(5,6)×eq\f(2,27)＝eq\f(361,486).即隊員甲在一次嬉戲中命中飛碟的概率為eq\f(361,486).相互獨立事務(wù)的概率通常和互斥事務(wù)的概率綜合在一起考查，這類問題具有一個明顯的特征，那就是在題目的條件中已經(jīng)出現(xiàn)一些概率值，解題時先要推斷事務(wù)的性質(zhì)(是互斥還是相互獨立)，再選擇相應(yīng)的公式計算求解．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])4．拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的硬幣，A＝{第一枚為正面對上}，B＝{其次枚為正面對上}，則事務(wù)C＝{兩