2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章計數(shù)原理1.1基本計數(shù)原理學(xué)案新人教B版選修2-3

PAGEPAGE11．1基本計數(shù)原理1.了解兩個計數(shù)原理的特征．2.理解兩個計數(shù)原理的概念和區(qū)分．3.駕馭兩個計數(shù)原理的應(yīng)用．1．分類加法計數(shù)原理做一件事，完成它有n類方法，在第一類方法中有m1種不同的方法，在其次類方法中有m2種不同的方法……在第n類方法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計數(shù)原理做一件事，完成它須要分成n個步驟，做第一個步驟有m1種不同的方法，做其次個步驟有m2種不同的方法……做第n個步驟有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．1．推斷(對的打“√”，錯的打“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．()(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事．()(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．()(4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情若是分兩步完成的，那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有兩個步驟都完成后，這件事情才算完成．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．從甲地到乙地一天之中有三次航班、兩趟火車，某人利用這兩種交通工具在當(dāng)天從甲地趕往乙地的方法有()A．2種 B．3種C．5種 D．6種答案：C3．某乒乓球隊里有男隊員6人，女隊員5人，從中選取男、女隊員各一人組成混合雙打隊，不同的組隊方法有()A．11種 B．30種C．56種 D．65種答案：B4．某學(xué)生去書店，發(fā)覺2本好書，確定至少買其中一本，則購買方式共有________種．答案：3利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)高二(1)班有學(xué)生50人，其中男生30人，女生20人；高二(2)班有學(xué)生60人，其中男生30人，女生30人；高二(3)班有學(xué)生55人，其中男生35人，女生20人．(1)從高二(1)班或(2)班或(3)班中選一名學(xué)生任校學(xué)生會主席，有多少種不同的選法？(2)從高二(1)班、(2)班男生中或從高二(3)班女生中選一名學(xué)生任校學(xué)生會體育部長，有多少種不同的選法？【解】(1)從高二(1)班中選一名學(xué)生任校學(xué)生會主席，有50種選法；從高二(2)班中選一名學(xué)生任校學(xué)生會主席，有60種選法；從高二(3)班中選一名學(xué)生任校學(xué)生會主席，有55種選法，由分類加法計數(shù)原理得，從高二(1)班或(2)班或(3)班中選一名學(xué)生任校學(xué)生會主席，有50＋60＋55＝165種選法．(2)從高二(1)班男生中選一名學(xué)生任校學(xué)生會體育部長有30種選法；從高二(2)班男生中選一名學(xué)生任校學(xué)生會體育部長有30種選法；從高二(3)班女生中選一名學(xué)生任校學(xué)生會體育部長有20種選法，由分類加法計數(shù)原理得，從高二(1)班、(2)班男生中或從高二(3)班女生中選一名學(xué)生任校學(xué)生會體育部長，不同的選法有30＋30＋20＝80種．eq\a\vs4\al()利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程若x，y∈N＋，且x＋y≤6，試求有序自然數(shù)對(x，y)的個數(shù)．解：按x的取值進(jìn)行分類，x＝1時，y＝1，2，…，5，共構(gòu)成5個有序自然數(shù)對．x＝2時，y＝1，2，…，4，共構(gòu)成4個有序自然數(shù)對．……x＝5時，y＝1共構(gòu)成1個有序自然數(shù)對．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15個有序自然數(shù)對．利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)[學(xué)生用書P2]從－2，－1，0，1，2，3這六個數(shù)字中任選3個不重復(fù)的數(shù)字作為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)a，b，c，則可以組成拋物線的條數(shù)為多少？掃一掃進(jìn)入91導(dǎo)學(xué)網(wǎng)(91daoxue)分步乘法計數(shù)原理【解】由題意知a不能為0，故a的值有5種選法；b的值也有5種選法；c的值有4種選法．由分步乘法計數(shù)原理得：5×5×4＝100條．1．若本例中的二次函數(shù)圖象開口向下，則可以組成多少條拋物線？解：需分三步完成，第一步確定a有兩種方法，其次步確定b有5種方法，第三步確定c有4種方法，故可組成2×5×4＝40條拋物線．2．若從本例的六個數(shù)字中選2個作為橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的參數(shù)m，n，則可以組成橢圓的個數(shù)是多少？解：據(jù)條件知m>0，n>0，且m≠n，故需分兩步完成，第一步確定m，有3種方法，其次步確定n，有2種方法，故確定橢圓的個數(shù)為3×2＝6個．eq\a\vs4\al()利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程1.如圖，小明從街道的E處動身，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參與志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．9解析：選B.由題意可知E→F共有6種走法，F(xiàn)→G共有3種走法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有6×3＝18種走法，故選B.2．從集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取三個不同元素分別作為直線方程Ax＋By＋C＝0中的A，B，C，所得直線經(jīng)過坐標(biāo)原點的有________條．解析：該題實質(zhì)上就是給A，B，C賦值．但首先要搞清晰直線過原點所隱含的條件，即C＝0，所以，下面只需支配A，B.從1，2，3，5，7，11這6個數(shù)中任取2個作為A，B的值，分為兩步：第一步取一個數(shù)作為A，有6種；其次步從剩下的5個數(shù)中取一個數(shù)作為B，有5種．所以由分步乘法計數(shù)原理得：直線的條數(shù)為6×5＝30.答案：30兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用甲同學(xué)有5本不同的數(shù)學(xué)書、4本不同的物理書、3本不同的化學(xué)書，現(xiàn)在乙同學(xué)向甲同學(xué)借書，(1)若借1本書，則有多少種借法？(2)若每科各借1本書，則有多少種借法？(3)若任借2本不同學(xué)科的書，則有多少種借法？【解】(1)需完成的事情是“借1本書”，所以借給乙數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)書中的任何1本，都可以完成這件事情．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有5＋4＋3＝12種借法．(2)需完成的事情是“每科各借1本書”，意味著要借給乙3本書，只有從數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科中各借1本，才能完成這件事情．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有5×4×3＝60種借法．(3)需完成的事情是“從三種學(xué)科的書中借2本不同學(xué)科的書”，可分三類：第1類，借1本數(shù)學(xué)書和1本物理書，只有2本書都借，事情才能完成，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有5×4＝20種借法；第2類，借1本數(shù)學(xué)書和1本化學(xué)書，有5×3＝15種借法；第3類，借1本物理書和1本化學(xué)書，有4×3＝12種借法．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有20＋15＋12＝47種借法．eq\a\vs4\al()利用兩個計數(shù)原理解題時的三個留意點(1)當(dāng)題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法．(2)分類時標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時要恰當(dāng)畫出示意圖或樹形圖，使問題的分析更直觀、清晰，便于探究規(guī)律．(3)綜合問題一般是先分類再分步．在7名學(xué)生中，有3名會下象棋但不會下圍棋，有2名會下圍棋但不會下象棋，另2名既會下象棋又會下圍棋，現(xiàn)在從7人中選2人分別參與象棋競賽和圍棋競賽，共有多少種不同的選法？解：選參與象棋競賽的學(xué)生有兩種方法：在只會下象棋的3人中選或在既會下象棋又會下圍棋的2人中選；選參與圍棋競賽的學(xué)生也有兩種選法：在只會下圍棋的2人中選或在既會下象棋又會下圍棋的2人中選．相互搭配，可得四類不同的選法．從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參與象棋競賽，同時從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參與圍棋競賽有3×2＝6種選法；從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參與象棋競賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參與圍棋競賽有3×2＝6種選法；從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參與圍棋競賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參與象棋競賽有2×2＝4種選法；2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生分別參與象棋競賽和圍棋競賽有2種選法．所以共有6＋6＋4＋2＝18種選法．所以共有18種不同的選法．————————————————————————————————————————————————1．假如完成一件事有兩類方案，這兩類方案彼此之間是相互獨立的，無論哪一類方案中的哪一種方法都能單獨完成這件事，求能完成這件事的方法種數(shù)就用分類加法計數(shù)原理．2．假如完成一件事須要分成多個步驟，各個步驟都是不行缺少的，須要依次完成全部步驟，才能完成這件事，而完成每一個步驟有若干種不同的方法，求能完成這件事的方法種數(shù)就用分步乘法計數(shù)原理．用兩個計數(shù)原理解決詳細(xì)問題時，首先要分清是“分類”還是“分步”，其次要清晰“分類”或“分步”的詳細(xì)標(biāo)準(zhǔn)，在“分類”時要做到“不重不漏”，在“分步”時要正確設(shè)計“分步”的程序，留意步與步之間的連續(xù)性．1．已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面的個數(shù)是()A．40 B．13C．10 D．16解析：選B.直線a與b上的8個點可分別確定8個不同的平面；直線b與a上的5個點可分別確定5個不同的平面．故可確定5＋8＝13個不同的平面．2．一個學(xué)習(xí)小組有4名男生，5名女生，任選1名當(dāng)組長，共有__________種選法；選男、女生各1名當(dāng)組長，共有____________種選法．解析：選1名當(dāng)組長分為兩類：第一類，從4名男生中選1名共有4種選法，其次類，從5名女生中選1名共有5種選法，一共有4＋5＝9種選法；選男、女生各1名當(dāng)組長可分為兩步：第一步是選1名男生，有4種選法，其次步是選1名女生，有5種選法，則有4×5＝20種選法．答案：9203．在一塊并排共10壟的田地上，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植1壟，為了有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法有________種(結(jié)果用數(shù)字作答)．解析：把空的6壟看作一個整體，A、B兩種作物可在其余4壟上種植，不同的選壟方法為(3＋2＋1)×2＝12種．答案：12[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．從A地到B地要經(jīng)過C地和D地，從A地到C地有3條路，從C地到D地有2條路，從D地到B地有4條路，則從A地到B地不同走法的種數(shù)是()A．3＋2＋4＝9 B．1C．3×2×4＝24 D．1＋1＋1＝3解析：選C.由題意從A地到B地需過C、D兩地，實際就是分三步完成任務(wù)，用分步乘法計數(shù)原理．2．在由0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的有()A．512個B．192個C．240個D．108個解析：選D.能被5整除的四位數(shù)，可分為兩類：一類是末位為0，由分步乘法計數(shù)原理，共有5×4×3＝60個．二類是末位為5，由分步乘法計數(shù)原理共有4×4×3＝48個．由分類加法計數(shù)原理得60＋48＝108個．3．若三角形三邊均為正整數(shù)，其中一邊長為4，另外兩邊長分別為b，c，且滿意b≤4≤c，則這樣的三角形有()A．10個 B．14個C．15個 D．21個解析：選A.當(dāng)b＝1時，c＝4；當(dāng)b＝2時，c＝4，5；當(dāng)b＝3時，c＝4，5，6；當(dāng)b＝4時，c＝4，5，6，7.故共有10個這樣的三角形．4．將1，2，3，…，9這9個數(shù)字填在如圖的9個空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大．當(dāng)3，4固定在圖中的位置時，填寫空格的方法為()A．6種 B．12種C．18種 D．24種解析：選A.因為每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大，數(shù)字1、2、9只有一種填法，5只能填在右上角或左下角，5填好后與之相鄰的空格可填6、7、8任一個；余下兩個數(shù)字按從小到大只有一種方法．共有2×3＝6種結(jié)果，故選A.5．如圖，用五種不同的顏色分別給A，B，C，D四個區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必需涂不同顏色，若允許同一種顏色多次運(yùn)用，則不同的涂色方法共有多少種()A．280 B．180C．96 D．60解析：選B.按區(qū)域分四步：第一步：A區(qū)域有5種顏色可選；其次步：B區(qū)域有4種顏色可選；第三步：C區(qū)域有3種顏色可選；第四步：由于可重復(fù)運(yùn)用區(qū)域A中已有過的顏色，故也有3種顏色可選用．由分步乘法計數(shù)原理，共有5×4×3×3＝180種涂色方法．6．有10本不同的數(shù)學(xué)書，9本不同的語文書，8本不同的英語書，從中任取兩本不同類的書，共有________種不同的取法．解析：分三類，第一類：取數(shù)學(xué)和語文書，有10×9＝90種；其次類：取數(shù)學(xué)書和英語書，有10×8＝80種；第三類：取語文書和英語書，有9×8＝72種，故共有90＋80＋72＝242種．答案：2427．現(xiàn)要排一份5天的值班表，每天支配1個人值班，共有5個人，每個人可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不能由同1個人值班，此值班表共有________種不同的排法．解析：分5步進(jìn)行：第1步，排第1天，可排5個人中的任何1個人，有5種排法；第2步，排第2天，此時排剩余4個人中的任何1個人，有4種排法；第3步到第5步，也就是第3天至第5天，每天的值班排法數(shù)都與第2天的排法數(shù)相同．只有上述5個步驟都完成后，才能完成排值班表這件事，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有5×4×4×4×4＝1280種不同的排法．答案：12808．甲、乙、丙、丁4名同學(xué)爭奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)3門學(xué)科學(xué)問競賽的冠軍，且每門學(xué)科只有1名冠軍產(chǎn)生，則有________種不同的冠軍獲得狀況．解析：可先舉例說出其中的一種狀況，如數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)3門學(xué)科學(xué)問競賽的冠軍分別是甲、甲、丙，可見探討的對象是“3門學(xué)科”，只有3門學(xué)科各產(chǎn)生1名冠軍，才算完成了這件事，而4名同學(xué)不肯定每人都能獲得冠軍，故完成這件事分三步：第1步，產(chǎn)生第1個學(xué)科冠軍，它肯定被其中1名同學(xué)獲得，有4種不同的獲得狀況；第2步，產(chǎn)生第2個學(xué)科冠軍，因為奪得第1個學(xué)科冠軍的同學(xué)還可以去爭奪第2個學(xué)科的冠軍，所以第2個學(xué)科冠軍也是由4名同學(xué)去爭奪，有4種不同的獲得狀況；第3步，同理，產(chǎn)生第3個學(xué)科冠軍，也有4種不同的獲得狀況．由分步乘法計數(shù)原理知，共有4×4×4＝43＝64種不同的冠軍獲得狀況．答案：649．如圖所示，一只螞蟻沿著長方體的棱，從頂點A爬到相對頂點C1，求其中經(jīng)過三條棱的路途有多少條？解：分三類：第一類，經(jīng)過AB，有2×1＝2條；其次類，經(jīng)過AD，有2×1＝2條；第三類，經(jīng)過AA1，有2×1＝2條．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有2＋2＋2＝6條路途．10．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，a，b∈M，P(a，b)表示平面上的點．(1)P可表示平面上多少個不同的點？(2)P可表示平面上多少個其次象限內(nèi)的點？(3)P可表示多少個不在直線y＝x上的點？解：(1)確定平面上的點P(a，b)可分兩步完成：第一步，確定a的值，共有6種方法；其次步，確定b的值，也有6種方法．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求點的個數(shù)是6×6＝36個．(2)確定其次象限內(nèi)的點，可分兩步完成：第一步，確定a的值，由于a<0，所以有3種方法；其次步，確定b的值，由于b>0，所以有2種方法．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，其次象限內(nèi)的點的個數(shù)是3×2＝6個．(3)點P(a，b)在直線y＝x上的充要條件是a＝b.因此a和b必需在集合M中取同一元素，共有6種取法，即在直線y＝x上的點有6個．結(jié)合(1)可得不在直線y＝x上的點共有36－6＝30個．[B實力提升]11．用1，2，3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必需全部運(yùn)用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有()A．36個 B．18個C．9個 D．6個解析：選B.分3步完成，1，2，3這三個數(shù)中必有某一個數(shù)字被重復(fù)運(yùn)用2次．第1步，確定哪一個數(shù)字被重復(fù)運(yùn)用2次，有3種方法；第2步，把這2個相同的數(shù)字排在四位數(shù)不相鄰的兩個位置上，有3種方法；第3步，將余下的2個數(shù)字排在四位數(shù)余下的兩個位置上，有2種方法．故有3×3×2＝18個不同的四位數(shù)．12．某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，有________種不同的選法．解析：共分三類：第一類，當(dāng)選出的會英語的人既會英語又會日語時，選會日語的人有2種選法；其次類，當(dāng)選出的會日語的人既會英語又會日語時，選會英語的人有6種選法；第三類，當(dāng)既會英語又會日語的人不參與選擇時，則需從只會日語和只會英語的人中各選一人，有2×6＝12種選法．故共有2＋6＋12＝20種選法．答案：2