重慶市巴渝學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

重慶市巴渝學(xué)校高二年級(jí)2024—2025學(xué)年上學(xué)期期中測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．測(cè)試范圍：空間向量與立體幾何+直線和圓的方程+橢圓.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先將直線方程化為斜截式，即可求出斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可得解.【詳解】直線的方程為，即，所以直線的斜率，設(shè)傾斜角為，則，因?yàn)?，所?故選：B.2.已知，則A，B兩點(diǎn)間的距離為（）A. B. C.12 D.24【答案】B【解析】【分析】由空間兩點(diǎn)間距離公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B3.經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是（）A.8 B.9 C.10 D.20【答案】D【解析】【分析】為焦點(diǎn)三角形，周長(zhǎng)等于兩個(gè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，再根據(jù)橢圓方程，即可求出的周長(zhǎng)．【詳解】為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，周長(zhǎng)為．故選：D．4.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則圓在點(diǎn)P處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求的值,然后求圓心坐標(biāo)，接著求圓心與點(diǎn)連線的斜率，最后求圓在點(diǎn)處的切線方程.【詳解】因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)點(diǎn)，將點(diǎn)代入圓的方程可得：.即，所以，則圓的方程為.對(duì)于圓，其圓心坐標(biāo)為，所以此圓的圓心.：根據(jù)斜率公式，這里，，則.因?yàn)閳A的切線與圓心和切點(diǎn)連線垂直，若兩條垂直直線的斜率分別為和，則.已知，所以切線的斜率.又因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式方程（這里），可得切線方程為.整理得.故選：A.5.圓與圓的公切線有（）條A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由兩圓位置關(guān)系，可確定公切線條數(shù).【詳解】由題可得圓圓心，半徑為2；圓圓心2,3，半徑為3.則兩圓圓心距為，注意到，則兩圓相交，故兩圓有2條公切線.故選：B6.如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的加法及減法運(yùn)算法則進(jìn)行線性運(yùn)算，逐步表示即可得到結(jié)果.【詳解】∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∴.故選：B.7.已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求得圓心關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，圓的圓心坐標(biāo)為，圓和圓的半徑均為1，設(shè)圓心關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D8.已知圓：，點(diǎn)在橢圓：運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，依題意可得切點(diǎn)弦方程為，取的中點(diǎn)，連接，則，利用點(diǎn)到直線的距離公式及的范圍計(jì)算可得.【詳解】設(shè)，，，設(shè)切線上任意一點(diǎn)為，則，所以，即，即切線的方程為，同理可得切線的方程為，所以且，所以直線的方程為，取的中點(diǎn)，連接，則，，又，即，所以，因?yàn)?，所以，則，所以.故選：A二、多選選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知空間向量，，，則（）A. B.C. D.是共面向量【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與表示，共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算，共面向量定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由向量，可得，，所以A、B正確；設(shè)，可得，所以，此時(shí)方程組無(wú)解，所以向量與向量不共線，所以C錯(cuò)誤；設(shè)，可得，所以，解得，所以共面，所以D正確.故選：ABD.10.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則下列說(shuō)法正確的是（）A.與的距離為B.當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，C.當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為D.點(diǎn)到直線的距離的最小值為【答案】BC【解析】【分析】找出直線與的公垂線段，并求其長(zhǎng)度，可判斷A選項(xiàng)；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷BCD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，同理可得，所以，與的距離為，A錯(cuò)；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，取，可得y=-1，，所以為平面的一個(gè)法向量，此時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，其中，，所以，點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故點(diǎn)到直線的最短距離為，D錯(cuò).故選：BC.11.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，則下列描述正確的有（）A.若的周長(zhǎng)為6，則B.若當(dāng)時(shí)，的內(nèi)切圓半徑為，則C.若存在點(diǎn)，使得，則D.若的最大值為2b，則【答案】ABD【解析】【分析】利用焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)求得，可求判斷A；利用余弦定理求得焦點(diǎn)三角形的面積，可得，求解可判斷B；若，則以為圓心，為半徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，則，求解可判斷C；，利用二次函數(shù)的最值可求得的范圍判斷D.【詳解】對(duì)于A,由橢圓，可得，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為6，所以，解得，因?yàn)椋裕獾茫蔄正確；對(duì)于B，由，可得，當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得，則，解得，所以，又的內(nèi)切圓半徑為，所以，所以，所以，解得（舍去）或，所以，故B正確；對(duì)于C，若，則以為圓心，為半徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，則，所以，所以，解得，所以存在點(diǎn)，使得，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，，又因?yàn)椋驗(yàn)橄马旤c(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為2b，又的最大值為2b，故時(shí)取最大值，所以，解得，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：橢圓中焦點(diǎn)三角形有關(guān)結(jié)論（1）焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為；（2）當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，為最大.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線與直線平行，則它們之間的距離是______．【答案】【解析】【分析】首先將直線化為，再由兩平行線間的距離公式計(jì)算可得.【詳解】直線即，所以平行直線與直線的距離.故答案為：13.如圖，在正方體中，M，N分別為DB，的中點(diǎn)，則直線和BN的夾角的余弦值為_(kāi)_____【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用異面直線空間向量夾角公式進(jìn)行求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，故和BN的夾角的余弦值為.故答案為：14.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為_(kāi)_____________.【答案】【解析】【分析】連接，，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得四邊形為平行四邊形，再利用橢圓定義得到AF2=23a，，在中，由余弦定理可得，即可求得.【詳解】解：設(shè)是橢圓右焦點(diǎn)，連接，，由對(duì)稱(chēng)性可知：，，則四邊形為平行四邊形，則，即，且，因?yàn)椋瑒tAF2=2在中，由余弦定理可得，即，解得，所以橢圓的離心率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，15題13分，16、17題各15分，18、19題各17分，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.（1）求邊所在的直線方程；（2）求的面積.【答案】（1）（2）15【解析】【分析】（1）由B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得直線的兩點(diǎn)式方程，化簡(jiǎn)得一般式方程；（2）用兩點(diǎn)間距離公式求B，C兩點(diǎn)間的距離，計(jì)算點(diǎn)A到直線BC的距離可得三角形的高，得三角形的面積.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以BC所在的直線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】B，C兩點(diǎn)間的距離為，點(diǎn)A到直線BC的距離，所以的面積為.16.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，，求平面和夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）若為中點(diǎn)，連接，易證是平行四邊形，有，再由線面平行判定證結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】若為中點(diǎn)，連接，又為棱的中點(diǎn)，，所以，且，即是平行四邊形，所以，面，面，則面【小問(wèn)2詳解】由平面，，構(gòu)建如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由，，，則，顯然面的一個(gè)法向量為，所以，若面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面和夾角的余弦值為.17.已知，，圓是以線段為直徑的圓，圓．（1）求圓的方程；（2）判斷圓與圓的位置關(guān)系并說(shuō)明理由：若相交，求兩圓公共弦的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）相交，【解析】【分析】（1）首先求出的中點(diǎn)坐標(biāo)及AB，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出圓心距，即可判斷兩圓相交，再兩圓方程作差，即可求出公共弦方程.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以的中點(diǎn)為，且，因?yàn)閳A是以線段為直徑的圓，即圓心為，半徑，所以圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】圓的圓心，半徑；圓：的圓心，半徑；又，所以，所以兩圓相交，則兩圓方程作差得到公共弦方程為.18.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，，，，，是棱的中點(diǎn)．（1）求證：面；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線和平面所成角為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在；或【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積為0即可證明線線垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理證明即可；（2）求出直線與的方向向量，利用空間向量求異面直線的夾角即可；（3）求出平面的法向量，假設(shè)通過(guò)空間向量的線性運(yùn)算求得，利用已知條件列出等式求解即可得到的值，進(jìn)而可求的值.【小問(wèn)1詳解】以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，,,，且平面平面【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，異面直線與所成角的余弦值為．【小問(wèn)3詳解】由（1）得，,．設(shè)平面的法向量n=x,y,z由得，，令，則，設(shè)，．整理得，，解得或存在點(diǎn)或．19.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為且焦距為2，上頂點(diǎn)為，且直線的斜率之積為.（1）求橢圓的方程：（2）設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn)，(i)證明：直線過(guò)定點(diǎn)；(ii)設(shè)為①中點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交于橢圓于兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）（i）;(ii)【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與的斜率之積得到，故，結(jié)合焦距得到，，得到橢圓方程；（2）（i）設(shè)直線,橢圓方程整理為,利用直線的方程將橢圓的方程齊次化，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的方程，此方程的兩根為.利用橢圓的性質(zhì)，結(jié)合已知條件得到，進(jìn)而利用韋達(dá)定理求得，從而得到直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；（ii）設(shè)，利用弦長(zhǎng)公式求得，同理得,利用由對(duì)角線及其夾角所表示的四邊形的面積公式得到四邊形面積關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而進(jìn)行變換，利用基本不等式和函數(shù)單調(diào)性求得其面積的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意有，，設(shè)，，化簡(jiǎn)得，結(jié)合，可得，由橢圓焦距為2，有，得，，橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】(i)由題意可知直線不過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，故可設(shè)直線①,橢圓方程整理為,整理得：②,聯(lián)立①②得：③，設(shè),這兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足方程③，,