專題09 四邊形-5年（2020-2024）中考1年模擬數(shù)學(xué)分類匯編（河北專用）

PAGE1試卷第=page22頁，共=sectionpages6464頁專題09四邊形1．（2022·河北·中考真題）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為，，則正確的是（

）A． B．C． D．無法比較與的大小【答案】A【分析】多邊形的外角和為，△ABC與四邊形BCDE的外角和均為，作出選擇即可．【詳解】解：∵多邊形的外角和為，∴△ABC與四邊形BCDE的外角和與均為，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的外角和定理，注意多邊形的外角和為是解答本題的關(guān)鍵．2．（2024·河北·中考真題）直線l與正六邊形的邊分別相交于點(diǎn)M，N，如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，正多邊形的每個內(nèi)角，鄰補(bǔ)角，熟練掌握知識點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．先求出正六邊形的每個內(nèi)角為，再根據(jù)六邊形的內(nèi)角和為即可求解的度數(shù)，最后根據(jù)鄰補(bǔ)角的意義即可求解．【詳解】解：正六邊形每個內(nèi)角為：，而六邊形的內(nèi)角和也為，∴，∴，∵，∴，故選：B．3．（2020·河北·中考真題）如圖，從筆直的公路旁一點(diǎn)出發(fā)，向西走到達(dá)；從出發(fā)向北走也到達(dá)．下列說法錯誤的是（

）A．從點(diǎn)向北偏西45°走到達(dá)B．公路的走向是南偏西45°C．公路的走向是北偏東45°D．從點(diǎn)向北走后，再向西走到達(dá)【答案】A【分析】根據(jù)方位角的定義及勾股定理逐個分析即可．【詳解】解：如圖所示，過P點(diǎn)作AB的垂線PH，選項(xiàng)A：∵BP=AP=6km，且∠BPA=90°，∴△PAB為等腰直角三角形，∠PAB=∠PBA=45°，又PH⊥AB，∴△PAH為等腰直角三角形，∴PH=km，故選項(xiàng)A錯誤；選項(xiàng)B：站在公路上向西南方向看，公路的走向是南偏西45°，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：站在公路上向東北方向看，公路的走向是北偏東45°，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：從點(diǎn)向北走后到達(dá)BP中點(diǎn)E，此時EH為△PEH的中位線，故EH=AP=3，故再向西走到達(dá)，故選項(xiàng)D正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了方位角問題及等腰直角三角形、中位線等相關(guān)知識點(diǎn)，方向角一般以觀測者的位置為中心，所以觀測者不同，方向就正好相反，但角度不變．4．（2023·河北·中考真題）綜合實(shí)踐課上，嘉嘉畫出，利用尺規(guī)作圖找一點(diǎn)C，使得四邊形為平行四邊形．圖1~圖3是其作圖過程．（1）作的垂直平分線交于點(diǎn)O；（2）連接，在的延長線上截??；

（3）連接，，則四邊形即為所求．

在嘉嘉的作法中，可直接判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（

）A．兩組對邊分別平行 B．兩組對邊分別相等C．對角線互相平分 D．一組對邊平行且相等【答案】C【分析】根據(jù)作圖步驟可知，得出了對角線互相平分，從而可以判斷．【詳解】解：根據(jù)圖1，得出的中點(diǎn)，圖2，得出，可知使得對角線互相平分，從而得出四邊形為平行四邊形，判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是：對角線互相平分，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握基本的作圖方法及平行四邊形的判定定理．5．（2024·河北·中考真題）下面是嘉嘉作業(yè)本上的一道習(xí)題及解答過程：已知：如圖，中，，平分的外角，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接．求證：四邊形是平行四邊形．證明：∵，∴．∵，，，∴①______．又∵，，∴（②______）．∴．∴四邊形是平行四邊形．若以上解答過程正確，①，②應(yīng)分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】本題考查平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊對等角得，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義可得，證明，得到，再結(jié)合中點(diǎn)的定義得出，即可得證．解題的關(guān)鍵是掌握：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【詳解】證明：∵，∴．∵，，，∴①．又∵，，∴（②）．∴．∴四邊形是平行四邊形．故選：D．6．（2022·河北·中考真題）依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，下列一定為平行四邊形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的判定及性質(zhì)定理判斷即可；【詳解】解：平行四邊形對角相等，故A錯誤；一組對邊平行不能判斷四邊形是平行四邊形，故B錯誤；三邊相等不能判斷四邊形是平行四邊形，故C錯誤；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故D正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2021·河北·中考真題）如圖1，中，，為銳角．要在對角線上找點(diǎn)，，使四邊形為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（

）A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是【答案】A【分析】甲方案：利用對角線互相平分得證；乙方案：由，可得,即可得，再利用對角線互相平分得證；丙方案:方法同乙方案．【詳解】連接交于點(diǎn)甲方案：四邊形是平行四邊形四邊形為平行四邊形．乙方案：四邊形是平行四邊形，，又(AAS)四邊形為平行四邊形．丙方案:四邊形是平行四邊形，，，又分別平分，即（ASA）四邊形為平行四邊形．所以甲、乙、丙三種方案都可以．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊的性質(zhì)與判定，三角形全等的性質(zhì)和判定，角平分線的概念等知識，能正確的利用全等三角的證明得到線段相等，結(jié)合平行四邊形的判定是解題關(guān)鍵．8．（2020·河北·中考真題）如圖，將繞邊的中點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)180°．嘉淇發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)后的與構(gòu)成平行四邊形，并推理如下：點(diǎn)，分別轉(zhuǎn)到了點(diǎn)，處，而點(diǎn)轉(zhuǎn)到了點(diǎn)處．∵，∴四邊形是平行四邊形．小明為保證嘉淇的推理更嚴(yán)謹(jǐn)，想在方框中“∵，”和“∴四邊形……”之間作補(bǔ)充．下列正確的是（

）A．嘉淇推理嚴(yán)謹(jǐn)，不必補(bǔ)充 B．應(yīng)補(bǔ)充：且，C．應(yīng)補(bǔ)充：且 D．應(yīng)補(bǔ)充：且，【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”即可作答．【詳解】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CB=AD，AB=CD，∴四邊形ABDC是平行四邊形；故應(yīng)補(bǔ)充“AB=CD”，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，牢記旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．9．（2024·河北·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把一個點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值稱為該點(diǎn)的“特征值”．如圖，矩形位于第一象限，其四條邊分別與坐標(biāo)軸平行，則該矩形四個頂點(diǎn)中“特征值”最小的是（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【答案】B【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，分式的值的大小比較，設(shè)，，，可得，，，再結(jié)合新定義與分式的值的大小比較即可得到答案．【詳解】解：設(shè)，，，∵矩形，∴，，∴，，，∵，而，∴該矩形四個頂點(diǎn)中“特征值”最小的是點(diǎn)B；故選：B．10．（2023·河北·中考真題）如圖，直線，菱形和等邊在，之間，點(diǎn)A，F(xiàn)分別在，上，點(diǎn)B，D，E，G在同一直線上：若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，由平角的定義求得，由外角定理求得，，根據(jù)平行性質(zhì)，得，進(jìn)而求得．【詳解】如圖，∵∴∵∴∵∴∵∴

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，平角的定義，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角定理，根據(jù)相關(guān)定理確定角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．（2021·河北·中考真題）如圖，點(diǎn)為正六邊形對角線上一點(diǎn)，，，則的值是（

）A．20 B．30C．40 D．隨點(diǎn)位置而變化【答案】B【分析】連接AC、AD、CF，AD與CF交于點(diǎn)M，可知M是正六邊形的中心，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出，再求出正六邊形面積即可．【詳解】解：連接AC、AD、CF，AD與CF交于點(diǎn)M，可知M是正六邊形的中心，∵多邊形是正六邊形，∴AB=BC，∠B=∠BAF=120°，∴∠BAC=30°，∴∠FAC=90°，同理，∠DCA=∠FDC=∠DFA=90°，∴四邊形ACDF是矩形，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是連接對角線，根據(jù)正六邊形的面積公式求解．12．（2020·河北·中考真題）正六邊形的一個內(nèi)角是正邊形一個外角的4倍，則．【答案】12【分析】先根據(jù)外角和定理求出正六邊形的外角為60°，進(jìn)而得到其內(nèi)角為120°，再求出正n邊形的外角為30°，再根據(jù)外角和定理即可求解．【詳解】解：由多邊形的外角和定理可知，正六邊形的外角為：360°÷6=60°，故正六邊形的內(nèi)角為180°-60°=120°，又正六邊形的一個內(nèi)角是正邊形一個外角的4倍，∴正n邊形的外角為30°，∴正n邊形的邊數(shù)為：360°÷30°=12．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的外角與內(nèi)角的知識，熟練掌握正多邊形的內(nèi)角和和外角和定理是解決此類題目的關(guān)鍵．13．（2024·河北·中考真題）情境

圖1是由正方形紙片去掉一個以中心O為頂點(diǎn)的等腰直角三角形后得到的．該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數(shù)據(jù)如圖所示．（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）操作

嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形．如圖3，嘉嘉沿虛線，裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照圖4所示進(jìn)行拼接．根據(jù)嘉嘉的剪拼過程，解答問題：（1）直接寫出線段的長；（2）直接寫出圖3中所有與線段相等的線段，并計(jì)算的長．探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形．請你按照淇淇的說法設(shè)計(jì)一種方案：在圖5所示紙片的邊上找一點(diǎn)P（可以借助刻度尺或圓規(guī)），畫出裁剪線（線段）的位置，并直接寫出的長．【答案】（1）；（2），；的長為或．【分析】本題考查的是正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的混合運(yùn)算，本題要求學(xué)生的操作能力要好，想象能力強(qiáng)，有一定的難度．（1）如圖，過作于，結(jié)合題意可得：四邊形為矩形，可得，由拼接可得：，可得，，為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，設(shè)，則，再進(jìn)一步解答即可；（2）由為等腰直角三角形，；求解，再分別求解；可得答案，如圖，以為圓心，為半徑畫弧交于，交于，則直線為分割線，或以圓心，為半徑畫弧，交于，交于，則直線為分割線，再進(jìn)一步求解的長即可．【詳解】解：如圖，過作于，結(jié)合題意可得：四邊形為矩形，∴，由拼接可得：，由正方形的性質(zhì)可得：，∴，，為等腰直角三角形，∴為等腰直角三角形，設(shè)，∴，∴，，∵正方形的邊長為，∴對角線的長，∴，∴，解得：，∴；（2）∵為等腰直角三角形，；∴，∴，∵，，∴；如圖，以為圓心，為半徑畫弧交于，交于，則直線為分割線，此時，，符合要求，或以圓心，為半徑畫弧，交于，交于，則直線為分割線，此時，，∴，綜上：的長為或．14．（2024·河北邯鄲·三模）如圖所示，兩個邊長相等的正六邊形的公共邊為，點(diǎn)A，B，C在同一直線上，點(diǎn)，分別為兩個正六邊形的中心．則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系以及銳角三角函數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵．連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)E，設(shè)正六邊形的邊長為a，分別計(jì)算出和即可得到答案．【詳解】解：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)E，設(shè)正六邊形的邊長為a，則，在直角三角形中，，，∴，∴，∴，故選：C．15．（2024·石家莊模擬）如圖，點(diǎn)是正五邊形的邊延長線上的一點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了正多邊形的外角，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)正多邊形的每個外角相等求出，再由等腰三角形的性質(zhì)得到，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解，掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵多邊形是正五邊形，∴，∵，∴，∴，故選：．16．（2024·河北滄州·二模）用“箏形”和“鏢形”兩種不同的瓷磚鋪設(shè)成如圖所示的地面，則“箏形”瓷磚中的內(nèi)角的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，根據(jù)5個“箏形”組成一個正十邊形，結(jié)合多邊形內(nèi)角和定理求解即可【詳解】解；由圖可知，5個“箏形”組成一個正十邊形，∴，故選：C17．（2024·河北石家莊·二模）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長為的正六邊形的頂點(diǎn)處．兩枚跳棋跳動規(guī)則是：紅跳棋按順時針方向秒鐘跳個頂點(diǎn)，黑跳棋按逆時針方向秒鐘跳個頂點(diǎn)，兩枚跳棋同時跳動，經(jīng)過秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是（

）A．4 B． C．2 D．0【答案】B【分析】本題主要考查了圖形規(guī)律問題、勾股定理、含角的直角三角形的性質(zhì)、正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握圖形規(guī)律問題、正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由題意分別求出經(jīng)過秒后，紅黑兩枚跳棋的位置，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴經(jīng)過秒后，紅跳棋落在點(diǎn)處，黑跳棋落在點(diǎn)處，如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，在正六邊形中，，，∴，，，∴，∴，∴，故選：B．18．（2024·河北唐山·三模）將正六邊形和正方形按如圖所示的方式放置，點(diǎn)為正六邊形的中心，與交于點(diǎn)，記七邊形的面積為，四邊形的面積為，五邊形的面積為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，連接，過點(diǎn)O作于G，證明，求出，再求出和即可判斷，正確理解正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【詳解】如圖，連接，過點(diǎn)O作于G，設(shè)正六邊形的邊長為1，則正六邊形的面積為，∵點(diǎn)為正六邊形的中心，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴A，B，C均錯誤，D正確；故選：D19．（2024·河北邯鄲·二模）如圖，在矩形鐵片上，截下一個正六邊形，其中點(diǎn)、在邊上，點(diǎn)在矩形的內(nèi)部，點(diǎn)、在邊上，點(diǎn)在邊上，若，則的長可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查正多邊形，連接分別相交于點(diǎn)，由正六邊形的性質(zhì)求出得證明，得，解直角三角形求出，同理可得，得到，故可得結(jié)論【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，∴∴∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，如圖，連接分別相交于點(diǎn)，則四邊形與四邊形是矩形，∴，∵∴，∴同理可得，，∴∵點(diǎn)在矩形的內(nèi)部，∴故選：D20．（2024·河北石家莊·二模）如圖，在平行四邊形中，為對角線，，，，則長為（

）A． B．3 C．9 D．【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形，得到，繼而得到，結(jié)合得到，結(jié)合證明，列出比例式解答即可．本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得，故，故選A．21．（2024·河北石家莊·二模）在四邊形中，，，．則的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，分四邊形為平行四邊形和等腰梯形，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：在四邊形中，，，分兩種情況，當(dāng)四邊形為平行四邊形時：則：；當(dāng)四邊形為等腰梯形時，則：，，∴，

故選C．22．（2024·河北唐山·三模）對于題目：如圖1，在鈍角中，，，邊上的中線，求的面積．李明想到了如圖2和圖3所示的兩種作輔助線的方法．則下列說法正確的是（

）A．只有方法一可行 B．只有方法二可行C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行【答案】C【分析】圖2中，證明，則，，，證明四邊形是平行四邊形，則，由，可知是直角三角形，，則；可判斷方法一可行；圖3中，由題意知，是的中位線，則，由，可知是直角三角形，，則；可判斷方法二可行．【詳解】解：圖2中，∵，，，∴，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴是直角三角形，，∴；方法一可行；圖3中，由題意知，是的中位線，∴，∵，∴，∴是直角三角形，，∴；方法二可行；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，中位線等知識．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，中位線是解題的關(guān)鍵．23．（2024·河北張家口·三模）如圖，將正六邊形紙片的空白部分剪下，得到三部分圖形，記Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面積分別為，，．給出以下結(jié)論：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一個菱形；②Ⅲ中最大的內(nèi)角是；③．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】由六邊形是正六邊形，得，，從而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一個菱形，故①正確；由，，故Ⅲ中最大的內(nèi)角是，故②說法錯誤；證明，得，故③說法正確．【詳解】解：如圖所示：

∵六邊形是正六邊形，∴，，∴，Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一個菱形，故①正確；∴，，∴Ⅲ中最大的內(nèi)角是，故②說法錯誤；∵六邊形是正六邊形，∴，，，，∴，和都是等邊三角形，∴，∵，∴，同理可證，，∴，故③說法正確；故選．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形與圓的含義，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，弧、弦的關(guān)系，熟練的把正六邊形分割為6個全等三角形是解本題的關(guān)鍵．24．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測）圖1是一組鄰邊分別為，（），一個內(nèi)角為的平行四邊形，圖中的虛線是其對邊中點(diǎn)的連線，用剪刀沿虛線把它剪成四個四邊形，把這四個四邊形按圖2拼成一個六邊形，則中間空白部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意表示出與，作出輔助線，求出的值，根據(jù)平行四邊形的判定，判斷出四邊形為平行四邊形，進(jìn)而求出平行四邊形的面積，即為中間空白部分的面積．【詳解】解：如圖，由題意可知，，，，∴是等邊三角形，∴，∵，，，過點(diǎn)K作于T，則，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴．故選：D．25．（2024·河北邢臺·模擬預(yù)測）已知（如圖1），求作：平行四邊形．如圖2、圖3是嘉琪的作圖方案，其依據(jù)是（

）A．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形C．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 D．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【答案】B【命題意圖】本題考查了復(fù)雜的尺規(guī)作圖、平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是理解尺規(guī)作圖的隱含條件和根據(jù)平行四邊形的判定解答．根據(jù)作圖過程分析進(jìn)行判斷即可．【詳解】由圖可知先作的垂直平分線，則點(diǎn)O為的中點(diǎn)，然后以為半徑作圖．由作圖可知，可得：，，（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），進(jìn)而得出四邊形是平行四邊形，故選：B．26．（2024·河北邯鄲·三模）在四邊形中，，其中部分線段的長已標(biāo)記在圖中，要使四邊形為平行四邊形，有如下三種添加條件的方案：甲：應(yīng)添加條件“”；乙：應(yīng)添加條件“”；丙：應(yīng)添加條件“”．其中正確的是（

）．A．甲和丙 B．甲和乙 C．只有乙 D．甲、乙和丙【答案】D【分析】此題考查了平行四邊形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定定理．首先根據(jù)得到，然后分別利用全等三角形的性質(zhì)和判定以及平行四邊形的判定定理求解即可．【詳解】∵∴若添加條件“”∴∵∴∴∵∴四邊形是平行四邊形，故甲正確；若添加條件“”∴∵∴∴∵∴四邊形是平行四邊形，故乙正確；若添加條件“”∴∵∴四邊形是平行四邊形，故丙正確；綜上所述，其中正確的是甲、乙和丙．故選：D．27．（2024·河北石家莊·二模）某數(shù)學(xué)小組的同學(xué)利用尺規(guī)完成“過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的作圖，嘉嘉給出了如下作圖過程，嘉嘉的作法中，可以直接判定兩直線平行的依據(jù)是（

）

A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．平行公理 D．平行四邊形的性質(zhì)【答案】D【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，根據(jù)題意證明出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得到．【詳解】根據(jù)作圖可得，，∴四邊形是平行四邊形∴∴可以直接判定兩直線平行的依據(jù)是平行四邊形的性質(zhì)．故選：D．28．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）如圖，在正方形木框中，，將其變形，使，則點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，連接，由，，可得為等邊三角形，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴為等邊三角形，∴，故選：．29．（2024·河北廊坊·二模）如圖，在平行四邊形中，對角線，，，為的中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，連結(jié)，．下列結(jié)論不成立的是（

）A．四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為矩形C．若，則四邊形F為菱形D．若，則四邊形為正方形【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及判定定理，以及特殊平行四邊形的判定定理進(jìn)行逐一判斷即可得解．【詳解】A.∵四邊形是平行四邊形∴∴∵為的中點(diǎn)∴在與中∴∴又∵∴四邊形為平行四邊形，故選項(xiàng)正確；假設(shè)∵，，∴∴∴∵∴則當(dāng)時，∵四邊形為平行四邊形∴四邊形為矩形，故選項(xiàng)正確；∵，∴是中點(diǎn)∵∴∵四邊形為平行四邊形∴四邊形為菱形，故選項(xiàng)正確；當(dāng)時與時矛盾，則不垂直于，則四邊形不為矩形，則也不可能為正方形，故選項(xiàng)錯誤，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)及判定定理，以及特殊平行四邊形的判定定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理的幾何證明方法是解決本題的關(guān)鍵．30．（2024·河北石家莊·三模）綜合實(shí)踐課上，嘉嘉設(shè)計(jì)的“利用直角三角形作矩形”的尺規(guī)作圖過程如下分別以點(diǎn)為圓心，以大于長為半徑作弧，兩泒相交于點(diǎn)，作直線，直線交于點(diǎn)；作射線，在上截取，使得；連接，則四邊形就是所求作的矩形．根據(jù)嘉嘉尺規(guī)作圖痕跡，完成下面的證明．證明：，，四邊形是平行四邊形（①__________）（填推理依據(jù)）．又：，四邊形是矩形（②__________）（填推理依據(jù)）．①②應(yīng)該填的內(nèi)容分別是（

）A．有一個角是直角的平行四邊形是矩形、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B．對角線相等的平行四邊形是矩形、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形、對角線相等的平行四邊形是矩形D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形、有一個角是直角的平行四邊形是矩形【答案】D【分析】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定，先由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可得證，熟練掌握矩形的判定與平行四邊形的判定是解此題的關(guān)鍵．【詳解】證明：，，四邊形是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）又：，四邊形是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形），故選：D．31．（2024·河北唐山·二模）綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們利用尺規(guī)借助直角三角形作矩形，如圖是甲、乙、丙三名同學(xué)作的矩形，其中正確的是（

）A．甲和丙 B．乙和丙 C．甲和乙 D．都正確【答案】D【分析】本題主要考查矩形的判定定理，甲利用對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；乙和丙先構(gòu)造出平行四邊形，再利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形得以證明．【詳解】甲：對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．乙：根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，再結(jié)合有一個角是直角，說明是矩形．丙：先利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，再結(jié)合有一個角是直角，說明是矩形．A、甲、丙都符合矩形的判定定理，少乙，該選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；B、乙、丙都符合矩形的判定定理，少甲，該選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；C、甲、乙都符合矩形的判定定理，少丙，該選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；D、甲、乙、丙都正確，故該選項(xiàng)說法正確，符合題意；故選：D．32．（2024·河北滄州·二模）如圖，四邊形是平行四邊形，對角線相交于點(diǎn)O，添加下列一個條件后，不能判定四邊形是菱形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了菱形的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)菱形的判定方法分別對各個選項(xiàng)進(jìn)行判定，即可得出結(jié)論，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、當(dāng)時，平行四邊形是菱形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、當(dāng)時，平行四邊形是菱形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、四邊形是平行四邊形，，，，平行四邊形是矩形，故C符合題意；D、四邊形是平行四邊形，，，平行四邊形是菱形，故選項(xiàng)D不符合題意，故選：C．33．（2024·河北邯鄲·二模）已知：在四邊形中，，如圖，求證，四邊形是菱形．證明：，，四邊形是平行四邊形，又…………，四邊形是菱形在以上證明過程中，“…………”可以表示的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)菱形的定義判定即可，“有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形”，熟練掌握菱形的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)“有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形”，可得“…………”可以表示的是．故選C．34．（2024·河北唐山·二模）已知下列選項(xiàng)中圖形均為菱形，所標(biāo)數(shù)據(jù)有誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，A、∵菱形的四邊相等，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵菱形的四邊相等，∴，∴，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵四邊形是菱形，∴，∴，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵四邊形是菱形，∴，故本選項(xiàng)符合題意，故選：D．35．（2024·河北唐山·三模）如圖，在菱形中，，平分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意易得，從而證明，即，即可得出的值．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分交于點(diǎn)，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，故選．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、多邊形內(nèi)角和的應(yīng)用、全等三角形的性質(zhì)的知識，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．36．（2024·河北保定·一模）如圖，菱形中，，分別是，的中點(diǎn)，是邊上的動點(diǎn)，，交于點(diǎn)，連接，，設(shè)，，則與的函數(shù)圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線間的距離、三角形的中位線定理，連接，則的面積是定值，由，分別是，的中點(diǎn)，得到，根據(jù)平行線間的距離處處相等可得到的底和底邊上的高都是定值，即可求解．解題的關(guān)鍵是掌握平行線間的距離、三角形的中位線定理．【詳解】解：如圖，連接，則的面積是定值．，分別是，的中點(diǎn)，，的底和底邊上的高都是定值，四邊形的面積是定值，與的函數(shù)圖象是平行于軸的線段．故選：．37．（2024·河北石家莊·二模）平行四邊形中，經(jīng)過兩條對角線的交點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，，在上通過作圖得到點(diǎn)，，如圖1，圖2，下面關(guān)于以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形形狀說法正確的是（

）以點(diǎn)為圓心，以為半徑作弧，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)A．都為矩形 B．都為菱形C．圖1為矩形，圖2為菱形 D．圖1為矩形，圖2為平行四邊形【答案】D【分析】本題主要考查了矩形的判定和平行四邊形的性質(zhì)和判定，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)易證，可得，由圖1作圖可知，即可得證；在圖2中證明，可得，即可得證．【詳解】解：在平行四邊形中，，∴，在和中，，∴，∴，由圖1作圖可得，∴圖1以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形；由圖2作圖可得，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴圖2以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，故選：D．38．（2024·河北邯鄲·三模）在中，對角線相交于點(diǎn)O，E是近上的一個動點(diǎn)（不與A、B重合）連接并延長，交于點(diǎn)F，連接，下列四個結(jié)論中：甲：對于動點(diǎn)E，四邊形始終是平行四邊形；乙：若，則至少存在一個點(diǎn)E，使得四邊形是矩形；丙：若，則至少存在一個點(diǎn)E，使得四邊形是菱形；?。喝?，，則至少存在一個點(diǎn)E，使得四邊形是正方形．以上所有正確說法的序號是（

）A．甲、丙、丁正確，乙錯誤 B．甲、乙、丙、丁都正確C．甲、乙、丙正確，丁錯誤 D．甲、乙、丙錯誤，丁正確【答案】A【分析】本題主要考查平行四邊形以及幾種特殊平行四邊形的判定．熟悉平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此題的關(guān)鍵．由于經(jīng)過平行四邊形的中心，故四邊形一定也是平行四邊形，這可以通過證明與相等來說明．然后只要讓平行四邊形再滿足適當(dāng)?shù)奶厥鈼l件就可以變成對應(yīng)的特殊平行四邊形．【詳解】解：如圖1，∵四邊形為平行四邊形，對角線與交于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，又：∵，∴四邊形為平行四邊形，即在上任意位置(不與、重合)時，四邊形形為平行四邊形，故選項(xiàng)甲正確；如圖2，如圖3，當(dāng)時，點(diǎn)不在邊上，故選項(xiàng)乙錯誤．當(dāng)時，四邊形為菱形，故選項(xiàng)丙正確．由丙知，若，則至少存在一個點(diǎn)，使得四邊形是菱形，∵，∴，∴，∴若，則至少存在一個點(diǎn)，使得四邊形是正方形，故選項(xiàng)丁正確．故選：A．39．（2024·河北石家莊·二模）我們知道平行四邊形有很多性質(zhì)．如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，那么會發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論．題目：在中，已知，，將沿翻折至，連接．當(dāng)長為多少時，是直角三角形？對于其答案，甲答：；乙答：；丙答：．則下列結(jié)論正確的是（

）

A．甲、丙答案合在一起才完整 B．甲、乙答案合在一起才完整C．甲、乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起也不完整【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，利用證明，得到，設(shè)相交于點(diǎn)E，根據(jù)平行線的判定證明，分“當(dāng)，時”，“當(dāng)時”，“當(dāng)時”，“當(dāng)，時”，四種情況畫出圖形，解直角三角形，討論求解即可【詳解】解：如圖，設(shè)、相交于點(diǎn)，

∵四邊形是平行四邊形，，∴，，，∵將沿翻折至，∴，，，∴，，，在和中，，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，，又∵，∴，∴，如圖，當(dāng)，時，

∵四邊形是平行四邊形，，∴，∴，∵將沿翻折至，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；如圖，當(dāng)時，

∵，，∴，∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵將沿翻折至，∴，，，∴，，，在和中，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，，∴；如圖，當(dāng)時，

∵，，∴，∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵將沿翻折至，∴，，，∴，，，在和中，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，，∴；如圖，當(dāng)，時，延長交于點(diǎn)，

∵，，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴是的中點(diǎn)，在中，，∴；∴當(dāng)?shù)拈L為或或或時，是直角三角形，又∵甲答：；乙答：；丙答：，∴三人答案合在一起也不完整，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識，靈活運(yùn)用知識點(diǎn)推理證明、分類討論、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．40．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)M，N分別在，邊上，且，將，分別沿，折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)A，在的同側(cè)，連接，．甲，乙兩人有如下說法：甲：當(dāng)時，；乙：當(dāng)時，．則下列正確的是（

）A．甲錯，乙對 B．甲對，乙錯 C．甲、乙都正確 D．甲、乙都錯誤【答案】C【分析】本題考查了矩形與折疊，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)等知識，當(dāng)時，延長交于點(diǎn)H，延長交于點(diǎn)K，利用證明，可得出，，利用證明，求出，利用勾股定理求出，即可求出；當(dāng)于點(diǎn)O時，連接、，利用證明，得出．證明四邊形是平行四邊形，求出，利用勾股定理求出，即可求出．【詳解】如解圖①，當(dāng)時，延長交于點(diǎn)H，延長交于點(diǎn)K，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，．，，，，，，，，．故甲的說法正確．如解圖②，當(dāng)于點(diǎn)O時，連接、，在矩形中，，，．，，，．．．又，四邊形是平行四邊形．，，．故乙的說法正確．故選：C．41．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）八年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有如下問題：如圖，的對角線，交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)，為圓心，，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接，．請說明當(dāng)?shù)膶蔷€滿足什么條件時，四邊形是正方形？嘉嘉說：添加；淇淇說：添加；請判斷以下結(jié)論，(

)是正確的．A．嘉嘉說的對 B．淇淇說的對C．嘉嘉和淇淇合在一起才對 D．無法判斷【答案】C【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，正方形的判定，由平行四邊形的性質(zhì)得出，，結(jié)合作圖可得，，得出四邊形為平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)正方形的判定定理，即可求解．【詳解】四邊形為平行四邊形，，，以點(diǎn)，為圓心，，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形；當(dāng)，時，四邊形為正方形．，，，，，，四邊形為平行四邊形，四邊形為正方形．故選：C．42．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）已知正方形的邊長為4，點(diǎn)P為邊上任意一點(diǎn)，連接，以為邊，在的右側(cè)做正方形，連接，在點(diǎn)P由B運(yùn)動到C的過程中，下列判斷正確的是嘉嘉說：有最小值，最小值為琪琪說：點(diǎn)E所走的路程為

A．只有嘉嘉說的對 B．只有琪琪說的對C．嘉嘉、琪琪說的都對 D．嘉嘉、琪琪說的都不對【答案】C【分析】在線段上取點(diǎn)，使得，連接，，由，，，得到，，由，，得到是等腰直角三角形，進(jìn)而得到，，當(dāng)時，取得最小值，此時是等腰直角三角形，，即可判斷嘉嘉的說法，由是等腰直角三角形，得到，由點(diǎn)P為邊上任意一點(diǎn)，得到，進(jìn)而得到，點(diǎn)E所走的路程為，即可判斷琪琪的說法，本題考查了，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，特殊角三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是：連接輔助線構(gòu)造全等三角形．【詳解】解：在線段上取點(diǎn)，使得，連接，，

∵，，∴，即：，∵，，∴，，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，當(dāng)時，取得最小值，此時是等腰直角三角形，，故嘉嘉說得對，∵是等腰直角三角形，∴，∵點(diǎn)P為邊上任意一點(diǎn)，∴，∴，點(diǎn)E所走的路程為，故琪琪說的對，故選：C．43．（2024·河北滄州·三模）七巧板是一種開發(fā)智力的玩具，為提高學(xué)生的感知能力，老師投影演示如下：在正方形紙板中，為對角線，，分別為，的中點(diǎn)，分別交，于，兩點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，連接，，沿圖中實(shí)線剪開即可得到一副七巧板．通過觀察演示過程，甲同學(xué)得出：圖中的三角形都是等腰直角三角形；乙同學(xué)得出：四邊形是菱形；丙同學(xué)得出：四邊形的面積占正方形面積的．則正確的是（

）A．只有甲答的對 B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【答案】B【分析】本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確識別圖形是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形中位線的定義與性質(zhì)證明圖中所有三角形是等腰直角三角形，再證明四邊形是平行四邊形但不是菱形，最后再證明即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，，∴、是等腰直角三角形，∵，∴，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴是的中位線，，，∴，，，∴，，又∵，∴、、是等腰直角三角形，∴，，∴，∴點(diǎn)是正方形的對稱中心，∴點(diǎn)、、、在同一直線上，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，，∴，如圖，延長到點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴四邊形是正方形，∴，，∴、是等腰直角三角形，∴圖中的三角形都是等腰直角三角形，故甲同學(xué)正確，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，，在中，，∴，∴四邊形不是菱形，故乙同學(xué)錯誤，∵，，∴，即，∴，又∵，∴，∴，故丙同學(xué)正確，綜上所述，正確的是甲同學(xué)和丙同學(xué)，故選：B．44．（2024·河北邯鄲·三模）如圖，過正五邊形的點(diǎn)E作，分別交，的延長線于點(diǎn)N，M．（1）與是否平行？（填“是”或“否”）；（2）．【答案】是【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用正多邊形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出和即可判定；（2）利用求出，再利用三角形外角即可求解．【詳解】解：（1）∵正五邊形的內(nèi)角度數(shù)為，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：是；（2）∵，∴，∴，故答案為：．45．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）如圖，在正五邊形中，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)P在邊上（不與點(diǎn)C重合），將沿折疊得到．（1）．

（2）當(dāng)點(diǎn)Q落在上時，．（3）的最小值為．【答案】108°/108度45/【分析】本題考查正五邊形的性質(zhì)、軸對稱性質(zhì)、三角形相似，考查推理能力、幾何直觀、運(yùn)算能力．（1）先求出五邊形的內(nèi)角和，再求出每一個內(nèi)角，利用折疊的性質(zhì)可得；（2）利用軸對稱的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可求出；（3）點(diǎn)Q在以D為圓心，2為半徑的圓上，連接，交圓D于點(diǎn)Q，此時最短．【詳解】解：（1）∵五邊形的內(nèi)角和為．故答案為：；（2）如圖1，由圖形的軸對稱可知，．，故答案為：；（3）∵，∴點(diǎn)Q在以D為圓心，2為半徑的圓上，如圖2，連接，交圓D于點(diǎn)Q，此時最短，此時點(diǎn)B，P重合，，，，故答案為：．46．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）如圖，矩形中，，點(diǎn)為射線上的一個動點(diǎn)，將沿翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為．（1）若點(diǎn)落在邊上，則．（2）若，則線段的長為．【答案】210或．【分析】（1）設(shè)，則，利用勾股定理計(jì)算即可．（2）根據(jù)，分點(diǎn)在射線內(nèi)側(cè)和外側(cè)兩種情況計(jì)算即可．本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（1）設(shè)，則，矩形中，，，沿翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，，，，解得，故答案為：2．（2）當(dāng)點(diǎn)在射線內(nèi)側(cè)時，矩形中，，，沿翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，，，，，是等邊三角形，；當(dāng)點(diǎn)在射線外側(cè)時，矩形中，，，沿翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，∴，，，，，∵∴∴，∵∴是等邊三角形∴，，，；故答案為：10或．47．（2024·河北石家莊·二模）如圖，正方形和邊長分別是a和b()，點(diǎn)B，C，E在同一直線上，點(diǎn)C，G，D在同一直線上，如果在這個圖形基礎(chǔ)上再畫一個正方形，使得新正方形（陰影部分）的面積等于正方形和面積之和，下列四個正方形(陰影部分)的面積符合要求的是（填寫序號即可）．

【答案】①③④【分析】設(shè)陰影正方形的邊長為c，其面積設(shè)為S，且，根據(jù)題意，得，，由勾股定理，得即得到，判斷①正確；根據(jù)題意，得即，判定②錯誤；據(jù)題意，得即，得到，判定③正確；根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明，得到，繼而得到即得到，判定④正確，解答即可．本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等是解題的關(guān)鍵．【詳解】設(shè)陰影正方形的邊長為c，其面積設(shè)為S，且，根據(jù)題意，得，，由勾股定理，得即得到，故①正確；根據(jù)題意，得，故，故②錯誤；據(jù)題意，得即，得到，故③正確；根據(jù)正方形的性質(zhì)，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴即，得到，故④正確，

．故答案為：①③④．48．（2024·河北邯鄲·三模）如圖，已知正方形的邊長為8，點(diǎn)E在邊上，的中點(diǎn)為G，繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)得，若，則：（1）當(dāng)時，的長為；（2）在x的變化過程中，的最小值是．【答案】5【分析】（1）首先根據(jù)勾股定理求出，然后得到，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解即可；（2）過點(diǎn)F作交的延長線于點(diǎn)M，證明出，得到，然后代數(shù)求出，，然后利用勾股定理得到，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）∵正方形的邊長為8，∴當(dāng)時，∴∵的中點(diǎn)為G，∴∵繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)得，∴；（2）如圖所示，過點(diǎn)F作交的延長線于點(diǎn)M∵的中點(diǎn)為G，∴∵繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)得∴，∴，∵∴∴∴，即∴，∴∴∴當(dāng)時，的最小值為．故答案為：5，．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的最值，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．49．（2024·河北唐山·二模）如圖，在正方形中，，點(diǎn)分別是邊上的動點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時，連接，取的中點(diǎn)，則的長為．（2）點(diǎn)之間的距離的最小值為．【答案】【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)，由三角形全等