2024-2025學年高中數(shù)學第3章概率§22.2建立概率模型教師用書教案北師大版必修3

PAGE1-2.2建立概率模型學習目標核心素養(yǎng)1.進一步駕馭古典概型的概率計算公式．(重點)2．對于一個實際問題，嘗試建立不同的概率模型來解決．(重點、難點)1.通過進一步運用古典概型的概率計算公式求解概率，提升數(shù)學運算素養(yǎng)．2．通過實際問題嘗試建立不同的概率模型來解決，培育數(shù)學建模素養(yǎng).由概率模型相識古典概型(1)一般來說，在建立概率模型時，把什么看作是一個基本領件是人為規(guī)定的．假如每次試驗有一個并且只有一個基本領件出現(xiàn)，只要基本領件的個數(shù)是有限的，并且它們的發(fā)生是等可能的，就是一個古典概型．(2)從不同的角度去考慮一個實際問題，可以將問題轉化為不同的古典概型來解決，而所得到的古典概型的全部可能的結果數(shù)越少，問題的解決就變得越簡潔．(3)樹狀圖是進行列舉的一種常用方法．思索：若一個試驗是古典概型，它須要具備什么條件？[提示]若一個試驗是古典概型，需具備以下兩點：(1)有限性：首先推斷試驗的基本領件是否是有限個，若基本領件無限個，即不行數(shù)，則試驗不是古典概型．(2)等可能性：其次考查基本領件的發(fā)生是不是等可能的，若基本領件發(fā)生的可能性不一樣，則試驗不是古典概型．1．一個家庭有兩個小孩，則這兩個小孩性別不同的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)B[這兩個小孩的全部可能狀況是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，共4種，其中性別不同的有兩種，所以兩個小孩性別不同的概率為eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).]2．一對年輕夫婦和其兩歲的孩子做嬉戲，讓孩子把分別寫有“1”“3”“1”“4”的四張卡片隨機排成一行，若卡片按從左到右的依次排成“1314A.eq\f(1,12)B.eq\f(5,12)C.eq\f(7,12)D.eq\f(5,6)A[由題意知基本領件個數(shù)有12個，滿意條件的基本領件個數(shù)就一個，故所求概率為P＝eq\f(1,12).]3．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲獲勝的概率是eq\f(1,3)，則甲不輸?shù)母怕蕿?)A.eq\f(5,6) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,3)A[先確定甲不輸包含的基本領件，再依據概率公式計算．事務“甲不輸”包含“和棋”和“甲獲勝”這兩個互斥事務，所以甲不輸?shù)母怕蕿閑q\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).]4．某班打算到郊外野營，為此向商店訂了帳篷，假如下雨與不下雨是等可能的，能否準時收到帳篷也是等可能的，只要帳篷如期運到，他們就不會淋雨，則下列說法正確的是()A．肯定不會淋雨 B．淋雨機會為eq\f(3,4)C．淋雨機會為eq\f(1,2) D．淋雨機會為eq\f(1,4)D[用A、B分別表示下雨和不下雨，用a、b表示帳篷運到和運不到，則全部可能情形為(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，則當(A，b)發(fā)生時就會被雨淋到，∴淋雨的概率為P＝eq\f(1,4).]“有放回”與“不放回”的古典概型【例1】從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的3件產品中每次任取1件，連續(xù)取兩次．(1)若每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的產品中恰有一件是次品的概率；(2)若每次取出后又放回，求取出的兩件產品中恰有一件是次品的概率．[解](1)每次取一件，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結果為(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括號內左邊的字母表示第1次取出的產品，右邊的字母表示第2次取出的產品．由6個基本領件組成，而且可以認為這些基本領件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“取出的兩件中恰好有一件次品”這一事務，則A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事務A由4個基本領件組成，因而P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)有放回地連續(xù)取出兩件，其一切可能的結果為(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)共9個基本領件．由于每一件產品被取到的機會均等，因此可以認為這些基本領件的出現(xiàn)是等可能的．用B表示“恰有一件次品”這一事務，則B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事務B由4個基本領件組成，因而P(B)＝eq\f(4,9).1．“有放回”與“無放回”問題的區(qū)分在于：對于某一試驗，若采納“有放回”抽樣，則同一個個體可能被重復抽取，而采納“不放回”抽樣，則同一個個體不行能被重復抽?。?．無論是“有放回”還是“無放回”抽取，每一件產品被取出的機會都是均等的．eq\O([跟進訓練])1．一個袋子中有紅、白、藍三種顏色的球共24個，除顏色外其他特征完全相同，已知藍色球3個．若從袋子中隨機取出1個球，取到紅色球的概率是eq\f(1,6).(1)求紅色球的個數(shù)；(2)若將這三種顏色的球分別進行編號，并將1號紅色球，1號白色球，2號藍色球和3號藍色球這四個球裝入另一個袋子中，甲、乙兩人先后從這個袋子中各取一個球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的編號比乙大的概率．[解](1)設紅色球有x個，依題意得eq\f(x,24)＝eq\f(1,6)，解得x＝4，所以紅色球有4個．(2)記“甲取出的球的編號比乙的大”為事務A，全部的基本領件有(紅1，白1)，(紅1，藍2)，(紅1，藍3)，(白1，紅1)，(白1，藍2)，(白1，藍3)，(藍2，紅1)，(藍2，白1)，(藍2，藍3)，(藍3，紅1)，(藍3，白1)，(藍3，藍2)，共12個．事務A包含的基本領件有(藍2，紅1)，(藍2，白1)，(藍3，紅1)，(藍3，白1)，(藍3，藍2)，共5個，所以P(A)＝eq\f(5,12).“有序”與“無序”問題【例2】將一顆骰子(它的六個面分別標有點數(shù)1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次，視察向上的點數(shù)．(1)求兩數(shù)之積是6的倍數(shù)的概率；(2)設第一次、其次次拋擲向上的點數(shù)分別為x，y，則logx(2y)＝1的概率是多少？[解](1)此問題中含有36個等可能基本領件，記“向上的兩數(shù)之積是6的倍數(shù)”為事務A，則由圖①可知，事務A中含有其中的15個等可能基本領件，所以P(A)＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12)，即兩數(shù)之積是6的倍數(shù)的概率為eq\f(5,12).6612182430365510152025304481216202433691215182246810121123456積123456①(2)此問題中含有36個等可能基本領件，記“第一次，其次次拋擲向上的點數(shù)分別為x，y，且logx(2y)＝1”為事務B，則滿意logx(2y)＝1的x，y有(2,1)，(4,2)，(6,3)三種狀況，所以P(B)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，即第一次、其次次拋擲向上的點數(shù)分別為x，y且滿意logx(2y)＝1的概率是eq\f(1,12).若問題與依次有關，則a1，a2與a2，a1為兩個不同的基本領件；若問題與依次無關，則a1，a2與a2，a1表示同一個基本領件.eq\O([跟進訓練])2．隨意投擲兩枚質地勻稱，六個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6的骰子．(1)求出現(xiàn)的點數(shù)相同的概率；(2)求出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率．[解](1)隨意投擲兩枚骰子，由于骰子質地勻稱，因此可以看成是等可能事務．其結果可表示為數(shù)組(i，j)(i，j＝1,2，…，6)，其中i，j分別表示兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)，共有6×6＝36(種)，其中點數(shù)相同的數(shù)組為(i，i)(i＝1,2，…，6)，共有6種結果，故出現(xiàn)點數(shù)相同的概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)法一出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)由數(shù)組(奇，偶)、(偶，奇)組成(如(1,2)，(2,3)等)．由于每枚骰子的點數(shù)中有3個偶數(shù)，3個奇數(shù)，因此出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)的數(shù)組有3×3＋3×3＝18(個)，從而所求概率為eq\f(18,36)＝eq\f(1,2).法二由于每枚骰子的點數(shù)分奇、偶數(shù)各3個，而按第1枚、第2枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)順次寫時有(奇數(shù)，奇數(shù))、(奇數(shù)，偶數(shù))、(偶數(shù)，奇數(shù))、(偶數(shù)，偶數(shù))這四種等可能結果，因此出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率為eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).建立概率模型[探究問題]1．擲一粒勻稱的骰子，若考慮向上的點數(shù)是多少，則這個隨機試驗的基本領件是什么？有多少個基本領件？其概率是多少？提示：基本領件為出現(xiàn)1,2,3,4,5,6點，共6個基本領件，這6個基本領件出現(xiàn)的可能性相同，其概率都為eq\f(1,6).2．擲一粒勻稱的骰子，若考慮向上的點數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，則這個隨機試驗的基本領件是什么？有多少個基本領件？其概率是多少？提示：基本領件為“向上的點數(shù)是奇數(shù)”和“向上的點數(shù)是偶數(shù)”，有2個基本領件，這2個基本領件是等可能性的，所以發(fā)生的概率都為0.5.3．在古典概型中，同一個試驗中基本領件的個數(shù)是不是恒久肯定的呢？為什么？提示：不肯定，因為一般來說，在建立概率模型時，把什么看作是一個基本領件(即一個試驗的結果)是人為規(guī)定的．只要基本領件的個數(shù)是有限的，每次試驗只有一個基本領件出現(xiàn)，且發(fā)生是等可能的，就是一個古典概型．【例3】有A，B，C，D四位貴賓，應分別坐在a，b，c，d四個席位上，現(xiàn)在這四人均未留意，在四個席位上隨意就座．(1)求這四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求這四人恰好都沒坐在自己的席位上的概率；(3)求這四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．[思路探究]用樹形圖表示所求事務的可能性，利用概率模型計算便可．[解]將A，B，C，D四位貴賓就座狀況用如圖所示的圖形表示出來，等可能基本領件共有24個．(1)設事務A為“這四人恰好都坐在自己的席位上”，則事務A只包含1個基本領件，所以P(A)＝eq\f(1,24).(2)設事務B為“這四人恰好都沒坐在自己的席位上”，則事務B包含9個基本領件，所以P(B)＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8).(3)設事務C為“這四人恰有一位坐在自己的席位上”，則事務C包含8個基本領件，所以P(C)＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).1．解答古典概型時，要抓住問題實質，建立合適的模型，以簡化運算．2．本題屬于對號入座問題，狀況較為困難，所包含的基本領件較多，為清晰地列舉出全部可能的基本領件，可借助于樹形圖處理．eq\O([跟進訓練])3．甲、乙、丙、丁四名學生按隨意次序站成一排，試求下列事務的概率．(1)甲在邊上；(2)甲和乙都在邊上；(3)甲和乙都不在邊上．[解]利用樹狀圖來列舉基本領件，如圖所示．由樹狀圖可看出共有24個基本領件．(1)甲在邊上有12種情形：(甲，乙，丙，丁),(甲，乙，丁，丙),(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙),(甲，丁，乙，丙),(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲),(乙，丁，丙，甲),(丙，乙，丁，甲)，(丙，丁，乙，甲),(丁，乙，丙，甲),(丁，丙，乙，甲)，故甲在邊上的概率為P＝eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).(2)甲和乙都在邊上有4種情形：(甲，丙，丁，乙),(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲),(乙，丁，丙，甲)，故甲和乙都在邊上的概率為P＝eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).(3)甲和乙都不在邊上有4種情形：(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙),(丁，乙，甲，丙)，故甲和乙都不在邊上的概率為P＝eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).對古典概型的相識一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——有限性和等可能性，例如，在相宜的條件下種下一粒種子，視察它是否發(fā)芽，這個試驗的基本領件只有兩個：發(fā)芽、不發(fā)芽．而“發(fā)芽”和“不發(fā)芽”這兩種結果出現(xiàn)的機會一般是不均等的，所以它不屬于古典概型．又如，從規(guī)格直徑為300±0.6mm的一批合格產品中隨意抽取一件，測量其直徑d，測量值可能是從299.4mm到300.6mm之間的任何一個值，全部可能的結果有無限多個，因此這個試驗也不屬于古典概型.1．思索辨析(1)古典概型中全部的基本領件的個數(shù)是有限個． ()(2)樹狀圖是進行列舉的一種常用方法． ()(3)在建立概率模型時，所得的結果越少，問題越困難． ()(4)計算基本領件總數(shù)和事務A所包含的基本領件的個數(shù)時，所選擇的視察角度必需統(tǒng)一． ()[解析](1)√，由古典概型的特征知(1)正確．(2)√，用樹狀圖進行列舉直觀形象．(3)×，結果越多問題就越困難．(4)√，由古典概型的概率公式易知正確．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．甲、乙兩人隨意入住兩間空房，則兩人各住一間房的概率是________．eq\f(1