2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步單元質(zhì)量評估1習(xí)題含解析北師大版必修2

其次章單元質(zhì)量評估(一)eq\o(\s\up7(時(shí)間：120分鐘滿分：150分),\s\do5())一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的)1．直線ax＋2y－1＝0與x＋(a－1)y＋2＝0平行，則a等于(D)A.eq\f(3,2)B．2C．－1D．2或－1解析：由a·(a－1)－2×1＝0得a2－a－2＝0，所以a＝2或－1，經(jīng)檢驗(yàn)均適合題意．2．點(diǎn)P(－1,2)到直線y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(5,2)的距離為(B)A．2B.eq\f(1,2)C．1D.eq\f(7,2)解析：將y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(5,2)化為一般式為8x－6y＋15＝0，則點(diǎn)P到直線的距離d＝eq\f(|－8－12＋15|,\r(82＋－62))＝eq\f(1,2)，故選B.3．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是(B)A．相切B．相交但直線不過圓心C．直線過圓心D．相離解析：圓心(0,0)到直線y＝x＋1的距離d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)<1，所以直線與圓相交，圓心不在y＝x＋1上．4．△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(3,1,1)、B(－5,2,1)、Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，2，3))，則它在yOz平面上的射影圖形的面積是(D)A．4B．3C．2D．1解析：△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C在yOz平面上的射影點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,1,1)、(0,2,1)、(0,2,3)，它在yOz平面上是一個(gè)直角三角形，簡單求出它的面積為1.故選D.5．與直線y＝－2x＋3平行，且與直線y＝3x＋4交于x軸上的同一點(diǎn)的直線方程是(C)A．y＝－2x＋4B．y＝eq\f(1,2)x＋4C．y＝－2x－eq\f(8,3)D．y＝eq\f(1,2)x－eq\f(8,3)解析：y＝3x＋4與x軸交點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，0))，又與直線y＝－2x＋3平行，故所求直線方程為y＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,3)))，即y＝－2x－eq\f(8,3)，故選C.6．不論m為何實(shí)數(shù)，直線(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒過定點(diǎn)(A)A．(－2,3)B．(2，－3)C．(1,0)D．(0，－2)解析：直線(m－1)x－y＋2m＋1＝0可化為m(x＋2)－(x＋y－1)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,x＋y－1＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3，))所以直線過定點(diǎn)(－2,3)．7．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿意(x－2)2＋y2＝3，那么eq\f(y,x)的最大值是(D)A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)解析：如圖所示，設(shè)過原點(diǎn)的直線方程為y＝kx，則與圓有交點(diǎn)的直線中，kmax＝eq\r(3)，所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3).故選D.8．過點(diǎn)(5,2)，且在x軸上的截距(直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo))是在y軸上的截距的2倍的直線方程是(D)A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0解析：當(dāng)截距為0，即直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為y＝kx，∴k＝eq\f(2,5)，∴y＝eq\f(2,5)x，即2x－5y＝0.當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，∴eq\f(5,2a)＋eq\f(2,a)＝1，∴a＝eq\f(9,2)，∴eq\f(x,9)＋eq\f(2y,9)＝1，即x＋2y－9＝0.9．過點(diǎn)P(4,2)作圓x2＋y2＝4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的外接圓方程是(A)A．(x－2)2＋(y－1)2＝5B．(x－4)2＋(y－2)2＝20C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20解析：由條件O，A，B，P四點(diǎn)共圓，從而OP的中點(diǎn)(2,1)為所求圓的圓心，半徑r＝eq\f(1,2)|OP|＝eq\r(5)，故所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.10．已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0.設(shè)該圓過點(diǎn)(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為(B)A．10eq\r(6)B．20eq\r(6)C．30eq\r(6)D．40eq\r(6)解析：圓的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25，∴其圓心為(3,4)，半徑R＝5.該圓過點(diǎn)(3,5)的最長弦為圓的直徑，所以AC＝10，過點(diǎn)(3,5)的最短弦為垂直于該點(diǎn)與圓心連線的弦，所以BD＝2eq\r(52－12)＝4eq\r(6)，所以四邊形ABCD的面積為eq\f(1,2)AC·BD＝20eq\r(6).11．已知直線l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直線l2與l1關(guān)于直線l對稱，則直線l2的方程是(B)A．x－2y＋1＝0B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋2y－1＝0解析：因?yàn)閘1與l2關(guān)于l對稱，所以l1上任一點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)都在l2上，故l與l1的交點(diǎn)(1,0)在l2上．又易知(0，－2)為l1上一點(diǎn)，設(shè)它關(guān)于l的對稱點(diǎn)為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋0,2)－\f(y－2,2)－1＝0，,\f(y＋2,x)×1＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))即(1,0)，(－1，－1)為l2上兩點(diǎn)，可得l2的方程為x－2y－1＝0，故選B.12．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分別是圓C1，C2上的動點(diǎn)，P為x軸上的動點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為(A)A．5eq\r(2)－4B.eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2)D.eq\r(17)解析：由題意知，圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圓心分別為C1(2,3)，C2(3,4)，且|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4，點(diǎn)C1(2,3)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|＝|PC|＋|PC2|≥|CC2|＝5eq\r(2)，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5eq\r(2)－4.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案填寫在題中橫線上)13．已知點(diǎn)A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，則△ABC中，BC邊上的中線長為10.解析：BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋0,2)，\f(3＋1,2)))，即(－1,2)，所以BC邊上的中線長為eq\r(2＋12＋1－22)＝eq\r(10).14．l1，l2是分別經(jīng)過A(1,1)，B(0，－1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，直線l1的方程是x＋2y－3＝0.解析：當(dāng)兩條平行直線與A，B兩點(diǎn)連線垂直時(shí)兩條平行直線的距離最大．因?yàn)锳(1,1)，B(0，－1)，kAB＝eq\f(－1－1,0－1)＝2，所以兩平行線的斜率為k＝－eq\f(1,2)，直線l1的方程是y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.15．若垂直于直線2x＋y＝0，且與圓x2＋y2＝5相切的切線方程為ax＋2y＋c＝0，則ac的值為±5.解析：已知直線斜率為－2，直線ax＋2y＋c＝0的斜率為－eq\f(a,2).因?yàn)閮芍本€垂直，所以(－2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝－1，得a＝－1.圓心到切線的距離為eq\r(5)，即eq\f(|c|,\r(5))＝eq\r(5)，所以c＝±5，故ac＝±5.16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是eq\f(4,3).解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋y2＝1，圓心為(4,0)．由題意知(4,0)到kx－y－2＝0的距離應(yīng)不大于2，即eq\f(|4k－2|,\r(k2＋1))≤2.整理，得3k2－4k≤0，解得0≤k≤eq\f(4,3).故k的最大值是eq\f(4,3).三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)已知兩條直線l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，求當(dāng)m為何值時(shí)，l1與l2滿意下列條件．(1)相交；(2)平行；(3)重合．解：當(dāng)m＝0時(shí)，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，∴l(xiāng)1∥l2.當(dāng)m＝2時(shí)，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，∴l(xiāng)1與l2相交．當(dāng)m≠0且m≠2時(shí)，由eq\f(1,m－2)＝eq\f(m2,3m)得m＝－1或m＝3，由eq\f(1,m－2)＝eq\f(6,2m)得m＝3.故(1)當(dāng)m≠－1且m≠3且m≠0時(shí)，l1與l2相交．(2)當(dāng)m＝－1或m＝0時(shí)，l1∥l2.(3)當(dāng)m＝3時(shí)，l1與l2重合．18．(12分)當(dāng)m為何值時(shí)，直線(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m(1)傾斜角為45°；(2)在x軸上的截距為1.解：(1)傾斜角為45°，則斜率為1.所以－eq\f(2m2＋m－3,m2－m)＝1，解得m＝－1，m＝1(舍去)，直線方程為2x－2y－5＝0符合題意，所以m＝－1.(2)當(dāng)y＝0時(shí)，x＝eq\f(4m－1,2m2＋m－3)＝1，解得m＝－eq\f(1,2)，或m＝2，當(dāng)m＝－eq\f(1,2)，m＝2時(shí)都符合題意，所以m＝－eq\f(1,2)或m＝2.19．(12分)已知圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及點(diǎn)Q(－2,3)．(1)P(a，a＋1)在圓上，求線段PQ的長及直線PQ的斜率．(2)若M為圓C上任一點(diǎn)，求|MQ|的最大值和最小值．解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(a，a＋1)在圓上，所以a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，所以a＝4，P(4,5)，所以|PQ|＝eq\r(4＋22＋5－32)＝2eq\r(10)，kPQ＝eq\f(3－5,－2－4)＝eq\f(1,3).(2)因?yàn)閳A心C坐標(biāo)為(2,7)，所以|QC|＝eq\r(2＋22＋7－32)＝4eq\r(2)，圓的半徑是2eq\r(2)，點(diǎn)Q在圓外，所以|MQ|max＝4eq\r(2)＋2eq\r(2)＝6eq\r(2)，|MQ|min＝4eq\r(2)－2eq\r(2)＝2eq\r(2).20．(12分)一束光線l自A(－3,3)發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射后與圓C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0有公共點(diǎn)．(1)求反射光線通過圓心C時(shí)，光線l所在直線的方程．(2)求在x軸上，反射點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍．解：圓C的方程可化為(x－2)2＋(y－2)2＝1.(1)圓心C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C′(2，－2)，過點(diǎn)A，C′的直線的方程x＋y＝0，即為光線l所在直線的方程．(2)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′(－3，－3)，設(shè)過點(diǎn)A′的直線為y＋3＝k(x＋3)．當(dāng)該直線與圓C相切時(shí)，有eq\f(|2k－2＋3k－3|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝eq\f(4,3)或k＝eq\f(3,4)，所以過點(diǎn)A′的圓C的兩條切線分別為y＋3＝eq\f(4,3)(x＋3)，y＋3＝eq\f(3,4)(x＋3)．令y＝0，得x1＝－eq\f(3,4)，x2＝1，所以在x軸上反射點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，1)).21．(12分)已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點(diǎn)，PA、PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心．(1)求四邊形PACB面積的最小值．(2)直線上是否存在點(diǎn)P，使∠BPA＝60°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：(1)∵P在直線3x＋4y＋8＝0上，∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，－\f(3,4)x－2)).又C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，圓C的半徑為1，∴四邊形PACB的面積S＝2S△PAC＝2×eq\f(1,2)|PA|·|AC|＝|AP|，∵|AP|2＝|PC|2－|AC|2＝|PC|2－1，∴當(dāng)|PC|最小時(shí)，|AP|最小，四邊形PACB的面積最小．∵|PC|2＝(1－x)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x＋3))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)x＋1))2＋9.∴|PC|min＝3，∴Smin＝2eq\r(2).(2)不存在．理由如下：假設(shè)直線上存在點(diǎn)P滿意題意．∵∠APB＝60°，∴∠APC＝30°，∴|AP|＝eq\r(3)|AC|＝eq\r(3)，|PC|＝2.設(shè)P(x，y)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12＋y－12＝4，,3x＋4y＋8＝0，))消去y，整理可得25x2＋40x＋96＝0，Δ＝402－4×25×96<0，∴這樣的點(diǎn)P是不存在的．22．(12分)已知圓C的圓心在直線y＝－4x上，且與直線x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)．(1)求圓C的方程；(2)點(diǎn)M(0,1)與點(diǎn)N關(guān)于直線x－y＝0對稱．是否存在過點(diǎn)N的直線l，l與圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且使S△OEF＝2eq\r(2)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))？若存在，求出直線l的方程；若不存在，用計(jì)算過程說明理由．解：(1)過切點(diǎn)P(3，－2)且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，即y＝x－5.將y＝x－5與直線y＝－4x聯(lián)立可得圓心坐標(biāo)為(1，－4)．所以半徑r＝eq\r(3－12＋－2＋42)＝2eq\r(2).故所求圓的方程為(x－1)2＋