甘肅省酒泉市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題 含解析

酒泉市普通高中2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：湘教版必修一前五章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡求值即可.【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，.故選：B2.已知命題，則命題的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題判斷即可.【詳解】命題為全稱量詞命題，其否定為存在量詞命題，即為.故選：C3.若函數(shù)在處取得最小值，則等于（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由，利用基本不等式求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以等于3，故選：C4.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，解得或，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的對稱軸為，開口向上，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，則函數(shù)為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D5.已知函數(shù)，則在下列區(qū)間中使函數(shù)有零點(diǎn)的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷該區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，再說明在內(nèi)函數(shù)不存在零點(diǎn).【詳解】函數(shù)為R上增函數(shù)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，因此函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間上不存在零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，因此函數(shù)在上都不存在零點(diǎn).故選：B6.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較即可.【詳解】由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，，由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，，所以，所以，故選：D.7.雙碳，即碳達(dá)峰與碳中和的簡稱，2020年9月中國明確提出2030年實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰”，2060年實(shí)現(xiàn)“碳中和”.為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，中國加大了電動(dòng)汽車的研究與推廣，到2060年，純電動(dòng)汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動(dòng)力電池隨之也迎來了蓬勃發(fā)展的機(jī)遇.Peukert于1898年提出蓄電池的容量（單位：），放電時(shí)間（單位：）與放電電流（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式，其中為Peukert常數(shù).在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間，則當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間為（）A.27h B.27.5h C.28h D.28.5h【答案】C【解析】【分析】由題意列方程，根據(jù)指數(shù)運(yùn)算、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意，，則，故選：C.8.對于函數(shù)，若存在，則稱為的不動(dòng)點(diǎn).若函數(shù)對恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為恒有兩個(gè)不等實(shí)根，利用判別式求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)恒有兩個(gè)相異不動(dòng)點(diǎn)，即恒有兩個(gè)不等實(shí)根，整理得，所以，即，對恒成立，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義和基本函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】對于A，定義域?yàn)椋?，因?yàn)?，所以此函?shù)為偶函數(shù)，由冪函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以A正確；對于B，定義域?yàn)椋?，因?yàn)?，所以此函?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以B正確；對于C，定義域?yàn)?，為定義域遞減的函數(shù)，不具有奇偶性，所以C錯(cuò)誤；對于D，定義域?yàn)?，令，因?yàn)?，所以此函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以D正確.故選：ABD10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.的圖象關(guān)于直線對稱D.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度可得到函數(shù)的圖象【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定的圖象求出函數(shù)解析式，再逐項(xiàng)判斷得解.【詳解】觀察圖象，得，函數(shù)的最小正周期，解得，A正確；，由，得，而，則，B錯(cuò)誤；函數(shù)，，則的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得，D正確故選：ACD11.函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)可以推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的對稱中心是B.函數(shù)的對稱中心是C.類比上面推廣結(jié)論：函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)D.類比上面推廣結(jié)論：函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】計(jì)算可判斷A選項(xiàng)；計(jì)算可判斷B選項(xiàng)；推導(dǎo)出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的充要條件為函數(shù)為偶函數(shù)，可判斷CD選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，則，可得，對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，A對；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，則，，所以，，所以，函數(shù)的對稱中心是，B對；若函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形，在函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，，用替代等式中的可得，此時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的充要條件為函數(shù)為偶函數(shù)，對于C選項(xiàng)，類比上面推廣結(jié)論：函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)，C對；對于D選項(xiàng)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)，D錯(cuò).故選：ABC.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)的對稱性求參數(shù)，可利用以下結(jié)論來轉(zhuǎn)化：①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則；②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)分析求解即可.【詳解】令，解得，則，所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.13.奇函數(shù)的局部圖象如圖所示，則與的大小關(guān)系為________.【答案】【解析】【分析】先應(yīng)用函數(shù)是奇函數(shù)得出，，再結(jié)合圖象即可解.【詳解】因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，，由函數(shù)圖象可知，所以，即.故答案為：.14.已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的值可以是______.（說明：寫出滿足條件的一個(gè)實(shí)數(shù)的值）【答案】3（答案不唯一，只要滿足即可）【解析】【分析】由題意可知，對稱軸位于區(qū)間中，即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)圖像開口向上，對稱軸為，若函數(shù)上不單調(diào)，則，所以的值可以是3，答案不唯一，只要滿足即可.故答案為：3（答案不唯一，只要滿足即可）.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知非空集合.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或或（2）【解析】【分析】（1）解不等式，直接求解集合間的運(yùn)算；（2）分析可知集合A是集合B真子集，根據(jù)包含關(guān)系列不等式，求解參數(shù)取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，或，且或，所以或或；【小問2詳解】由（1）得或，又因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，且，可知集合A是集合B的真子集，所以或，解得或，綜上所述：.16.（1）已知，求的值；（2）已知，計(jì)算的值；（3）計(jì)算的值.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)冪運(yùn)算法則計(jì)算可得結(jié)果；（2）根據(jù)齊次式的計(jì)算方法可得出結(jié)果；（3）利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，則，又，則，又，所以.（2）因?yàn)?，所以；?）.17.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的值域；（3）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有2個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出的單調(diào)增區(qū)間即可；（2）求出時(shí)的取值范圍，從而得出的取值范圍，進(jìn)而可得的值域；（3）畫出函數(shù)與直線的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【小問1詳解】令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以的值域?yàn)?【小問3詳解】函數(shù)的圖象與直線有2個(gè)交點(diǎn)，作圖如下：由圖可知，故數(shù)的取值為.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷奇偶性，并加以證明；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）偶函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由且求解；（2）利用函數(shù)奇偶性的定義求解；（3）將轉(zhuǎn)化為求解.【小問1詳解】解：由題意得：且，解得，所以函數(shù)定義域?yàn)椋弧拘?詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以為偶函數(shù)；【小問3詳解】，則<3，化簡得且，解得或.19.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的值域；（2）若該函數(shù)圖象過原點(diǎn)，且無限接近直線但又不與該直線相交，求函數(shù)的解析式并寫出其單調(diào)性（寫出即可，不用證明）；（3）若，且對于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2），在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不解；（2）由函數(shù)圖象性質(zhì)求得函數(shù)解析式，然后由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得結(jié)論．（3）利用函數(shù)式化簡不等式，結(jié)