七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步學(xué)與練（浙教版）第04講 平行線的性質(zhì)（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)+10類題型）（解析版）

第04講平行線的性質(zhì)（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)+10類題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.兩直線平行同位角相等；2.兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；3.兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)；4、平行線的判定與性質(zhì)綜合；1.掌握兩直線平行同位角相等；2.掌握兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；3.掌握兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)；4、掌握平行線的判定與性質(zhì)綜合；知識(shí)點(diǎn)：平行線性質(zhì)1性質(zhì)（1）：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同位角相等。幾何語言：∵a∥b∴∠1=∠5（兩直線平行，同位角相等）知識(shí)點(diǎn)：平行線性質(zhì)2性質(zhì)（2）：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。幾何語言：∵a∥b∴∠3=∠5（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）知識(shí)點(diǎn)：平行線性質(zhì)3性質(zhì)（3）：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。幾何語言：∵a∥b∴∠3+∠6=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）【即學(xué)即練1】1．（2023上·浙江·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，直尺一邊與量角器的零刻度線平行，已知的讀數(shù)為，設(shè)與交于點(diǎn)，則的度數(shù)等于()A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線性質(zhì)和鄰補(bǔ)角定義，根據(jù)平行線性質(zhì)結(jié)合，推出，再結(jié)合鄰補(bǔ)角即可解題．【詳解】解：如圖，，，．故選：B．【即學(xué)即練2】2．（2022下·浙江寧波·七年級(jí)浙江省鄞州區(qū)宋詔橋中學(xué)校考期末）如圖，，EF分別截于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)AIA． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)．利用平行線的性質(zhì)對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【詳解】，，，，故A結(jié)論正確，不符合題意；，，，故C結(jié)論正確，不符合題意；，，，，，故D結(jié)論正確，不符合題意；無法求得，故B結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意．故選：B．【即學(xué)即練3】3．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知直線，將一塊含角的直角三角板按如圖方式放置，其中、兩點(diǎn)分別落在直線，上，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由平行線的性質(zhì)可知，，計(jì)算求解即可【詳解】解：直線，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)．熟練掌握“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】4．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，的直角頂點(diǎn)C在直線b上，若，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)作，由三角形內(nèi)角和可求出，再根據(jù)平行得到內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求出答案．【詳解】解：過點(diǎn)作，，，在中，，，，，，，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和計(jì)算．題型01兩直線平行同位角相等1．（2023上·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，，，點(diǎn)、分別在、上，若，則的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”解答即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故選∶C．2．（2022下·廣西南寧·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，直線a，b被直線c所截，，，則的度數(shù)是．

【答案】/130度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平角的定義；由平行線的性質(zhì)得，再由平角的定義得，即可求解；掌握“兩直線平行，同位角相等．”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，

因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以．故答案：?．（2022下·廣東東莞·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，，求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定，進(jìn)行證明即可．【詳解】證明：∵，∴，又∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵．題型02兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等1．（2023上·四川眉山·七年級(jí)期末）如圖，已知，直線與分別交于點(diǎn)A，B，直線平分且交于點(diǎn)C，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，以及角平分線的定義．根據(jù)平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，以及角平分線平分角，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵直線平分，∴，∴；故錯(cuò)誤的是D選項(xiàng)；故選：D．2．（2024上·廣東佛山·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)是；【答案】/31度【分析】本題考查角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，先根據(jù)角平分線得到的度數(shù)，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，故答案為：．3．（2024上·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，一條直線分別交、于點(diǎn)E、F，，，點(diǎn)Q在上，連接．(1)已知，直接寫出的度數(shù)；(2)求證：平分．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查角平分線定義，垂線，平行線的性質(zhì)．（1）由平行線的性質(zhì)得到，而，得到，求出，由垂直的定義得到，即可求出；（2）由（1）知，，由余角的性質(zhì)推出，即可證明平分．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）證明：由（1）知，∴∴，∴平分．題型03兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)1．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，直線，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，連接，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和垂線的定義，熟知：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出，結(jié)合已知條件即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示，∵，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．2．（2021上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，分別與，相交于點(diǎn)和點(diǎn)，平分，且，則．【答案】/80度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)，可得；由角平分線可得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵，，∴∵平分，∴∵，∴故答案為：3．（2023上·內(nèi)蒙古烏海·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐：?jiǎn)栴}：如圖，直線、、兩兩相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)、、，點(diǎn)在線段上，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）若，求的度數(shù)．請(qǐng)將下面的解答過程補(bǔ)充完整，并填空理由或數(shù)學(xué)式解：∵，∴______（______），∵，∴______（______），∴（______），∵，∴．探究：如圖2，直線、、兩兩相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)、、，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．（2）在圖2中，若，求的度數(shù)并說明理由．（3）猜想：如果的兩邊分別平行于的兩邊，直接寫出與這兩個(gè)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【答案】（1）；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；兩直線平行，同位角相等；等量代換；（2），理由見解析；（3）或【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用．（1）由平行線的性質(zhì)可得，，則有，即可得解；（2）由平行線的性質(zhì)得，，則可求得度數(shù)．（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)分析，即可獲得答案．【詳解】解：（1）∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵，∴（兩直線平行，同位角相等），∴（等量代換），∵，∴．故答案為：；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；兩直線平行，同位角相等；等量代換；（2），理由如下：∵，∴（兩直線平行，同位角相等），∵，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴；（3）或，理由如下：如圖，的兩邊分別平行于的兩邊時(shí)，；如圖，的兩邊分別平行于的兩邊時(shí)，．題型04根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系1．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，則下列各式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C2．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，，，表示圖中三個(gè)角的角度，則，，三者之間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】3．（2021下·湖北咸寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：，點(diǎn)分別為上一點(diǎn)．(1)如圖1，在之間有一點(diǎn)（點(diǎn)不在線段上），連接，試探究，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系．①請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并在圖形下面寫出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系；②選其中一種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行證明．(2)如圖2，在之間有兩點(diǎn)，連接，，，請(qǐng)直接寫出，，，存在的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)或【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平分線的性質(zhì)即可得出答案，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)題意畫出圖形即可；②過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①如圖，，；，；②證明：如圖，過點(diǎn)作，，則，，，，，；如圖，過點(diǎn)作，，則，，，，，；（2）解：如圖，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，，則，，，，，，，；如圖，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，則，，，，，，，，．題型05根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)1．（2023上·重慶萬州·九年級(jí)重慶市萬州國(guó)本中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，直線被直線所截，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等，先根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出，據(jù)此可求出的度數(shù)．熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，∵，∴，∵，∴，∴．故選：B．2．（2023上·廣東揭陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，，則．【答案】/度【分析】本題主要考查利用平行線的性質(zhì)求解相關(guān)角度，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，直接過點(diǎn)E作的平行線把進(jìn)行分割轉(zhuǎn)移，最后利用鄰補(bǔ)角的概念，直接求出的度數(shù)．【詳解】見試題解答內(nèi)容【解答】解：過E作，∵，∴，∴，，∵，；∴，，∴；故答案為：．3．（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)、分別在直線、上，點(diǎn)是、之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．【感知】如圖①，當(dāng)點(diǎn)在線段左側(cè)時(shí)，若，，求的度數(shù)．分析：從圖形上看，由于沒有一條直線截與，所以無法直接運(yùn)用平行線的性質(zhì)，這時(shí)需要構(gòu)造出“兩條直線被第三條直線所截”的基本圖形，過點(diǎn)作，根據(jù)兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，可知，進(jìn)而求出的度數(shù)．【探究】如圖②，當(dāng)點(diǎn)在線段右側(cè)時(shí)，、、之間的數(shù)量關(guān)系為______．【答案】感知：探究：【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．感知：過點(diǎn)作，根據(jù)豬腳模型，即可解答；探究：過點(diǎn)作，根據(jù)鉛筆模型，即可解答．【詳解】感知：解：過點(diǎn)作，，，，，，的度數(shù)為；探究：解：過點(diǎn)作，，，，，，，故答案為：．題型06平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用1．（2023上·貴州貴陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一條街道有兩個(gè)拐角和，已知，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，由，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得的度數(shù)，解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解．【詳解】∵∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．故選：D．2．（2023下·貴州黔南·七年級(jí)校考期中）如圖，的一邊是平面鏡，，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，一束光線從點(diǎn)C射出，經(jīng)過平面鏡上的點(diǎn)D反射后沿射線射出，已知，要使反射光線，則的度數(shù)是度．

【答案】【分析】利用平行線的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：∵∴又∵∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的有關(guān)性質(zhì)．3．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是一盞可折疊臺(tái)燈．圖2、圖3是其平面示意圖，支架、為固定支撐桿，支架可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)．已知燈體頂角，頂角平分線始終與垂直．

(1)如圖2，當(dāng)支架旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，恰好與平行，求支架與水平方向的夾角的度數(shù)；(2)若將圖2中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，求此時(shí)與水平方向的夾角的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用角平分線定義可得，由垂直定義可得，得出，再運(yùn)用平行線性質(zhì)即可得出答案；（2）過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：如圖2，，平分，，，，，，，，，即；（2）如圖3，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，

則，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)等，適當(dāng)添加輔助線，構(gòu)造平行關(guān)系是解題關(guān)鍵．題型07根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度1．（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，直線，和的數(shù)量關(guān)系是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)．熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過作，則，則，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，過作，則，

∴，∵，∴，即，故選：C．2．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖為一盞可折疊臺(tái)燈及其平面示意圖，其中支架與底座垂直，支架，為固定支撐桿，當(dāng)燈體與底座平行時(shí)，，，則的度數(shù)為．【答案】74【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，垂線的定義，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，先由垂線的定義得到，則由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到，證明得到，再根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到，則．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴．∵，，∴，∴，∴．故答案為：．3．（2021上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，交于點(diǎn)，．(1)（如圖1）求證：．(2)若在射線上取一點(diǎn)，連接、，使得，且（如圖2），求的度數(shù)．(3)在（2）的條件下，過點(diǎn)作，且比大，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)(3)【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)．（1）先由得，得出，根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可得出結(jié)論；（2）先證明，根據(jù)即可得；（3）由平行線的性質(zhì)可得，，由比大，可得比大，即，根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴∵，∴，∵，∴；（3）解：∵，∴，∵，∴∵比大，∴比大，即∵，∴，∴．題型08根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明1．（2023上·四川宜賓·七年級(jí)四川省宜賓市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知：，，平分，，有下列結(jié)論：①；②；③；④.結(jié)論正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】①根據(jù)平行線的傳遞性可以判斷出來；②所以，然后根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得，即，聯(lián)立可求得結(jié)果；③根據(jù)以及，可求得結(jié)果；④根據(jù)即以及，可求得結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，即，①∵，，∴，故①正確；②∵，∴，∴，即，∵，∴，即，故②正確；③由①可得，∴，∴，即，又，∴，即，將代入，化簡(jiǎn)可得：，故③正確；④∵，，∴，∵，∴，故④正確；正確的個(gè)數(shù)共有4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、平行線的傳遞性、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)、角平分線的有關(guān)計(jì)算，準(zhǔn)確找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2022下·湖北武漢·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知，M為平行線之間一點(diǎn)，連接，N為上方一點(diǎn)，連接，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若分別平分，則∠M、∠N滿足的關(guān)系式是【答案】【分析】如圖所示，過點(diǎn)M作，過點(diǎn)N作，則，先由平行線的性質(zhì)得到，再由角平分線的定義得到；再證明，，即可得到，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)M作，過點(diǎn)N作，∵，∴，∴，∴，∵分別平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．3．（2022上·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)?？计谀﹩栴}情景：如圖1，．(1)觀察猜想：若，．則的度數(shù)為__________．(2)探究問題：在圖1中探究，、與之間有怎樣的等量關(guān)系？并說明理由．(3)拓展延伸：若將圖1變?yōu)閳D2，題設(shè)的條件不變，此時(shí)、與之間有怎樣的等量關(guān)系？并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)，理由見解析【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)P作，則，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到，則；（2）同（1）求解即可；（3）過點(diǎn)P作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再證明，即可得到．【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)P作，∵，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）解：，理由如下：如圖所示，過點(diǎn)P作，∵，，∴，∴，∴；（3）解：，理由如下：如圖所示，過點(diǎn)P作，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．題型09求平行線間的距離1．（2023下·廣西南寧·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直線，直線d與它們分別垂直且相交于A，B，C三點(diǎn)，若，，則平行線b，c之間的距離是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)題意可求出，再根據(jù)平行線間的距離的定義即可解答．【詳解】解：∵，，∴．∵，直線d與它們分別垂直且相交于A，B，C三點(diǎn)，∴平行線b，c之間的距離是4．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和與差，平行線間的距離．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．2．（2023下·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線，點(diǎn)C在上．若，的面積為27，的面積為18，則．

【答案】6【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作于點(diǎn)N，先根據(jù)三角形的面積公式求出，則，最后根據(jù)三角形面積公式求出即可．【詳解】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作于點(diǎn)N，∵，的面積為27，∴，解得：，∵，∴，∵的面積為18，∴，解得：，故答案為：6．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的間的距離處處相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線間距離處處相等．3．（2022上·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，四邊形中，，連接，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且．

(1)求證：．(2)若，且．求與之間的距離．(3)若．試求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)(3)大于0小于等于5【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得，從而得到，再由平行線的判定即可得到；（2）由知：與之間的距離等于點(diǎn)到直線的距離，由三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（3）過點(diǎn)作于，連接，當(dāng)與重合時(shí)，，當(dāng)無限接近時(shí)，無限接近0，即可得到答案．【詳解】（1）證明：，，又，，；（2）解：由知：與之間的距離等于點(diǎn)到直線的距離，即設(shè)三角形的邊上的高為，由三角形的面積計(jì)算公式可得：，即，解得：，與之間的距離為2.4；（3）解：過點(diǎn)作于，連接，

，當(dāng)與重合時(shí)，，當(dāng)無限接近時(shí)，無限接近0，，點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為大于0小于等于5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行線之間的距離，點(diǎn)到直線的距離，三角形的面積公式，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型10利用平行線間距離解決問題1．（2022下·河北石家莊·七年級(jí)校考期末）如圖，點(diǎn)、為平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，定直線，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，對(duì)下列各值：①的周長(zhǎng)；②的面積；③點(diǎn)到的距離；④的大小.其中會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化的是（

）

A．②③ B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【分析】根據(jù)平行線間的距離不變即可判斷③；根據(jù)三角形的周長(zhǎng)和點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)變化可判斷①④；根據(jù)同底等高的三角形的面積相等可判斷②；進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵直線，∴點(diǎn)M到直線的距離不會(huì)隨點(diǎn)M的移動(dòng)而變化，故③正確；∵，的長(zhǎng)隨點(diǎn)M的移動(dòng)而變化，∴的周長(zhǎng)會(huì)隨點(diǎn)M的移動(dòng)而變化，的大小會(huì)隨點(diǎn)M的移動(dòng)而變化，故①④錯(cuò)誤；∵點(diǎn)M到直線的距離不變，的長(zhǎng)度不變，∴的面積不會(huì)隨點(diǎn)M的移動(dòng)而變化，故②正確；綜上，不會(huì)隨點(diǎn)M的移動(dòng)而變化的是①④．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線間的距離和同底等高的三角形的面積相等等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握平行線間的距離的概念是關(guān)鍵．2．（2023下·廣西北海·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖：已知，點(diǎn)在上，，的面積為6，則平行四邊形的面積為．

【答案】20【分析】作于G，于H，根據(jù)的面積為6，求出，根據(jù)兩平行線間的距離相等得到的長(zhǎng)，根據(jù)平行四邊形的面積公式得到答案．【詳解】解∶如圖，作于G，于H，

∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，又∵，∴，又∵的面積為6，∴，∴，∴平行四邊形的面積，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線間的距離，掌握兩平行線間的距離相等和平行四邊形的性質(zhì)以及面積公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·上海楊浦·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀、填空并將說理過程補(bǔ)充完整：如圖，已知直線，點(diǎn)A、B在直線上，點(diǎn)C、D在直線上，與交于點(diǎn)E．與的面積相等嗎？為什么？

解：作，垂足為，作，垂足為．又因?yàn)椋ㄒ阎?，所以______（平行線間距離的意義）．（完成以下說理過程）【答案】相等，理由見解析．【分析】作，垂足為，作，垂足為，根據(jù)平行線間間距相等得到，再根據(jù)三角形面積公式得到，進(jìn)而可得．【詳解】解：相等，理由如下：作，垂足為，作，垂足為．又因?yàn)椋ㄒ阎裕ㄆ叫芯€間距離的意義）因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以與的面積相等．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知平行線間間距相等是解題的關(guān)鍵．A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2024上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，直角三角形的直角頂點(diǎn)在直線上，已知，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，平角的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)，平角的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：如圖，，，，故選：C．2．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從水中射向空氣時(shí)，要發(fā)生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)．根據(jù)平行線的性質(zhì)解答，即可求解．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意得：，，∴，，∵，∴．故選：B．3．（2024上·廣東佛山·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)是；【答案】/31度【分析】本題考查角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，先根據(jù)角平分線得到的度數(shù)，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，故答案為：．4．（2021上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，分別與，相交于點(diǎn)和點(diǎn)，平分，且，則．【答案】/80度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)，可得；由角平分線可得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵，，∴∵平分，∴∵，∴故答案為：5．（2024上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，平分交線段于點(diǎn)E，，．求的度數(shù)．【答案】【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義，掌握平行線之間角的相互關(guān)系解答的關(guān)鍵．利用平行線的判定與性質(zhì)就能求出的度數(shù)．【詳解】解：平分，，，，，．6．（2023下·河南漯河·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，平分，，，則也是的平分線，完成下列推理過程．

證明：是的平分線（已知），（）．（已知），（）．（）．又（已知），（）．（）．（）．【答案】角平分線的性質(zhì)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；，等量代換；，，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等等量代換【分析】先利用角平分線定義得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)由得，則，接著由可判斷，則利用平行線的性質(zhì)得，所以，從而得到結(jié)論．【詳解】證明：是的平分線（已知），（角平分線的性質(zhì)）．（已知），（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．（等量代換）．又（已知），（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．（兩直線平行，同位角相等）．（等量代換）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”及“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”、“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵．B能力提升1．（2024上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小穎繪制一個(gè)潛望鏡原理示意圖，兩個(gè)平面鏡的鏡面與平行，入射光線與出射光線平行．若入射光線與鏡面的夾角，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行性的性質(zhì)．熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．由題意知，，，由，可得，進(jìn)而可求．【詳解】解：由題意知，入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，即，，∵，∴，∴，故選：B．2．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，直線，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，連接，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和垂線的定義，熟知：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出，結(jié)合已知條件即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示，∵，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．3．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖直線被直線所截，且，已知比大，則．

【答案】65【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵比大，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：65．4．（2024上·遼寧阜新·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，，，則的度數(shù)為．

【答案】/120度【分析】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)．過作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．【詳解】解：過作，

∵，∴，，，，，，，，故答案為：．5．（2024上·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)在線段上，與交于點(diǎn)，，，(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要查了平行線的判定和性質(zhì)：（1）根據(jù)，可得，從而得到，繼而得到，即可求證；（2）根據(jù)，可得，再由，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，又∵，∴，∴．6．（2022上·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)?？计谀﹩栴}情景：如圖1，．(1)觀察猜想：若，．則的度數(shù)為__________．(2)探究問題：在圖1中探究，、與之間有怎樣的等量關(guān)系？并說明理由．(3)拓展延伸：若將圖1變?yōu)閳D2，題設(shè)的條件不變，此時(shí)、與之間有怎樣的等量關(guān)系？并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)，理由見解析【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)P作，則，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到，則；（2）同（1）求解即可；（3）過點(diǎn)P作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再證明，即可得到．【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)P作，∵，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）解：，理由如下：如圖所示，過點(diǎn)P作，∵，，∴，∴，∴；（3）解：，理由如下：如圖所示，過點(diǎn)P作，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．C綜合素養(yǎng)1．（2023·廣東清遠(yuǎn)·統(tǒng)考三模）如圖所示，直線，直線c與直線a，b分別交于點(diǎn)D，E，射線直線c，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，由平行線的性質(zhì)可得：，由垂直的定義可求出的度數(shù)，即可求得．熟記平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵直線c，∴，∵，∴，∴．故選：D．2．（2023上·四川遂寧·七年級(jí)射洪中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，為上一點(diǎn)，，且平分，過點(diǎn)作于點(diǎn)，且，則下列結(jié)論：；；平分；平分．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，延長(zhǎng)交于，構(gòu)造出直角三角形，利用直角三角形兩銳角互余解答，熟練掌握角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于，，，，，，，平分，，，，，故①錯(cuò)誤，不符合題意；，故②正確，