北京市2024年高考數(shù)學(xué)試卷

北京市2024年高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.若函數(shù)f(x)=x^3-3x+2在x=1處取得極值，則此極值是（）

A.極大值

B.極小值

C.非極值

D.無法確定

2.已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為1,4,7，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an=（）

A.3n-2

B.3n+1

C.3n

D.3n-3

3.下列不等式組中，無解的是（）

A.\{\begin{matrix}x+2y>1\\y<3\end{matrix}\}

B.\{\begin{matrix}x+2y<1\\y<3\end{matrix}\}

C.\{\begin{matrix}x+2y>1\\y>3\end{matrix}\}

D.\{\begin{matrix}x+2y<1\\y>3\end{matrix}\}

4.若復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P(a,b)，則下列哪個(gè)點(diǎn)在直線y=-x上？（）

A.P(a,-b)

B.P(-a,b)

C.P(-a,-b)

D.P(a,b)

5.已知函數(shù)f(x)=|x|+1，則f(-1)=（）

A.0

B.1

C.2

D.3

6.若等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為3,6,12，則該數(shù)列的公比q=（）

A.1

B.2

C.3

D.6

7.若函數(shù)y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖像開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），則a、b、c的取值范圍是（）

A.a>0，b<0，c>0

B.a>0，b>0，c>0

C.a>0，b>0，c<0

D.a<0，b<0，c>0

8.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，若f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)分別為A、B，且|AB|=2，則f(x)的圖像與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）

A.(0,-3)

B.(0,3)

C.(0,-1)

D.(0,1)

9.若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，首項(xiàng)為a1，則Sn=（）

A.(n^2+n)d

B.(n^2+n)a1

C.(n^2-n)d

D.(n^2-n)a1

10.若函數(shù)y=log2(x+3)的圖像經(jīng)過點(diǎn)P(-2,2)，則該函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(-1,0)

B.(1,0)

C.(-3,0)

D.(3,0)

二、判斷題

1.在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A(-2,3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'，則A'的坐標(biāo)為(2,3)。（）

2.一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像是一條直線，且斜率k表示直線的傾斜程度。（）

3.在等差數(shù)列{an}中，若公差d=0，則該數(shù)列是常數(shù)列。（）

4.二次函數(shù)y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖像開口向上，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x=0處取得最小值。（）

5.等比數(shù)列{an}的任意三項(xiàng)an,an+1,an+2滿足an+2=an*r^2，其中r是公比。（）

三、填空題

1.若函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x-1在x=2處取得極值，則此極值為______。

2.等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3，公差d=2，則第10項(xiàng)an=______。

3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(3,4)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為______。

4.二次函數(shù)y=-2x^2+4x+3的圖像頂點(diǎn)坐標(biāo)為______。

5.若函數(shù)y=log3(x-1)的圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為______。

四、簡答題

1.簡述函數(shù)f(x)=|x-2|的性質(zhì)，并畫出其圖像。

2.解釋等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并舉例說明如何求出給定項(xiàng)的值。

3.如何判斷一個(gè)二次函數(shù)的圖像是開口向上還是開口向下？請(qǐng)舉例說明。

4.簡要說明直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律。

5.討論一次函數(shù)和二次函數(shù)在圖像上的特點(diǎn)，以及它們?cè)诮鉀Q實(shí)際問題中的應(yīng)用。

五、計(jì)算題

1.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。

2.在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(-4,3)和點(diǎn)B(2,-1)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)。

3.一個(gè)等差數(shù)列的前5項(xiàng)和為15，公差為3，求該數(shù)列的首項(xiàng)。

4.已知函數(shù)y=2x-5，求該函數(shù)在x軸上的截距。

5.若等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為2,4,8，求該數(shù)列的公比和第6項(xiàng)。

六、案例分析題

1.案例背景：某城市為了緩解交通擁堵，決定對(duì)公共交通系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化。已知該城市居民上下班高峰時(shí)段的出行需求，以及現(xiàn)有公共交通線路的運(yùn)行情況。

案例分析要求：

（1）根據(jù)居民出行需求，設(shè)計(jì)一條新的公交線路，使其能夠有效連接主要居住區(qū)和商業(yè)區(qū)。

（2）假設(shè)新線路的運(yùn)行時(shí)間為早上7:00至晚上9:00，每班車的發(fā)車間隔為15分鐘。計(jì)算新線路至少需要多少輛公交車才能滿足居民高峰時(shí)段的出行需求。

（3）分析現(xiàn)有公共交通線路的優(yōu)缺點(diǎn)，并提出改進(jìn)建議。

2.案例背景：某公司為了提高員工的工作效率，決定對(duì)辦公區(qū)域進(jìn)行重新布局。已知公司現(xiàn)有員工人數(shù)為200人，辦公室面積為3000平方米。

案例分析要求：

（1）根據(jù)員工的工作性質(zhì)和職責(zé)，將員工分為不同的小組，并確定每個(gè)小組所需的辦公空間大小。

（2）假設(shè)每個(gè)員工的辦公空間最小面積為10平方米，計(jì)算公司需要多少間辦公室才能滿足所有員工的需求。

（3）分析現(xiàn)有辦公區(qū)域的空間利用率，并提出改進(jìn)方案以提高空間利用效率。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每個(gè)產(chǎn)品的成本為10元，售價(jià)為20元。假設(shè)該產(chǎn)品的市場需求函數(shù)為Q=100-2P，其中Q為需求量，P為售價(jià)。求該工廠在利潤最大化時(shí)的售價(jià)和產(chǎn)量。

2.應(yīng)用題：一個(gè)班級(jí)有學(xué)生30人，成績分布如下：60分以下的有5人，60-70分的有10人，70-80分的有10人，80-90分的有5人。求該班級(jí)的平均成績。

3.應(yīng)用題：一個(gè)正方體的棱長為a，求該正方體的表面積和體積。

4.應(yīng)用題：某城市計(jì)劃在一條長度為10公里的公路上進(jìn)行綠化，計(jì)劃種植樹木，要求每兩棵樹之間的距離為5米。問該公路最多可以種植多少棵樹？

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題

1.A

2.B

3.D

4.A

5.C

6.B

7.A

8.A

9.A

10.B

二、判斷題

1.×

2.√

3.√

4.×

5.√

三、填空題

1.-1

2.21

3.(-4,-3)

4.(1,-1)

5.(0,-1)

四、簡答題

1.函數(shù)f(x)=|x-2|的性質(zhì)包括：定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，值域?yàn)閇0,+∞)，圖像在x=2處有拐點(diǎn)，左側(cè)為下降的直線，右側(cè)為上升的直線。圖像如下：

```

|

|__

|/\

|/\

|_____/\

```

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d，其中a1為首項(xiàng)，d為公差，n為項(xiàng)數(shù)。例如，等差數(shù)列1,4,7,10,...的首項(xiàng)a1=1，公差d=3，第5項(xiàng)an=1+(5-1)*3=13。

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1*r^(n-1)，其中a1為首項(xiàng)，r為公比，n為項(xiàng)數(shù)。例如，等比數(shù)列2,4,8,16,...的首項(xiàng)a1=2，公比r=2，第5項(xiàng)an=2*2^(5-1)=64。

3.二次函數(shù)y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖像開口向上當(dāng)且僅當(dāng)a>0，此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,c-b^2/4a)。開口向下當(dāng)a<0，頂點(diǎn)坐標(biāo)同理。例如，函數(shù)y=-x^2+4x+3的圖像開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)。

4.點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(x,-y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(-x,y)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(-x,-y)。例如，點(diǎn)P(3,4)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-4)。

5.一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像是一條直線，斜率k表示直線的傾斜程度，k>0時(shí)直線向右上方傾斜，k<0時(shí)直線向右下方傾斜。二次函數(shù)y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖像是一個(gè)拋物線，開口向上或向下取決于a的正負(fù)。一次函數(shù)和二次函數(shù)在解決實(shí)際問題中廣泛應(yīng)用于描述線性增長或減少的過程，以及拋物線運(yùn)動(dòng)等。

五、計(jì)算題

1.解：函數(shù)f(x)=x^2-4x+3在區(qū)間[1,3]上的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2x-4。令f'(x)=0，得x=2。將x=2代入f(x)，得f(2)=4-8+3=-1。所以f(x)在x=2處取得最小值-1。由于f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減，在[2,3]上單調(diào)遞增，所以f(x)在[1,3]上的最大值為f(1)=0。

2.解：中點(diǎn)坐標(biāo)為((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，代入A(-4,3)和B(2,-1)，得中點(diǎn)坐標(biāo)為((-4+2)/2,(3-1)/2)=(-1,1)。

3.解：等差數(shù)列的前5項(xiàng)和為15，即(5/2)(a1+a5)=15，解得a1+a5=6。由于公差d=3，所以a5=a1+4d，代入得2a1+12=6，解得a1=-3。首項(xiàng)a1=-3。

4.解：令y=0，得0=2x-5，解得x=2.5。所以函數(shù)在x軸上的截距為2.5。

5.解：公比r=a2/a1=4/2=2。第6項(xiàng)an=a1*r^(6-1)=2*2^5=64。

七、應(yīng)用題

1.解：需求函數(shù)Q=100-2P，售價(jià)P=20，所以Q=100-40=60。利潤函數(shù)L(P)=P*Q-成本=P*(100-2P)-10*(100-2P)=-P^2+20P-1000。求導(dǎo)得L'(P)