2024年中考數(shù)學復習講義第19講直角三角形

第19講直角三角形

目錄

題型II勾股定理的證明方法

一、考情分析

題型12以弦圖為背景的計算題

二、知識建構

考點一直角三角形的性質與判定題型13利用勾股定理構造圖形解決問題

題型01利用直角三角形的性質求解題型14利用勾股定理解決實際問題

題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形類型一求梯子滑落高度

題型03與直角三角形有關的面積計算類型二求旗桿高度

考點二勾股定理類型三大樹折斷前高度

題型01利用勾股定理求線段長類型四解決水杯中的筷子問題

題型()2利用勾股定理求面積類型五選址到兩地距離相等

題型03已知兩點坐標求兩點距離類型六最短路徑

題型04判斷勾股數(shù)問題類型七航海問題

題型05利用勾股定理解決折疊問題題型15勾股定理與規(guī)律探究問題

題型06勾股定理與網(wǎng)格問題考點三勾股定理逆定理

題型07勾股定理與無理數(shù)題型01圖形上與已知兩地構成直角三角形的

題型08以直角三角形三邊為邊長的圖形面積點

題型09利用勾股定理求兩條線段的平方和題型02在網(wǎng)格中判定直角三角形

(差)題型03利用勾股定理逆定理求解

題型10利用勾股定理證明線段的平方關系題型()4利用勾股定理解決實際生活問題

考點要求新課標要求命題預測

＞理解直角三角形的概念.該模塊內容在中考中一直是較為重要的幾何考

＞探索并掌握直角三角形的性質定理:直點,考察難度為中等偏上，?？伎键c為:直角三角形

直角三角形的

角三角形的兩個銳角互余，直角三角形的性質定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理與實際

性質與判定

斜邊上的中線等于斜邊的一半.掌握有問題等，特別是含特殊角的直角三角形，更加是考察

兩個角互余的三角形是直角三角形.的重點.出題類型可以是選擇填空題這類小題，也可

勾股定理以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問

題的幾何背景進行拓展延伸.結合以上考察形式，需

＞探索勾股定理及其逆定理，并能運用它

勾股定理逆定要考生在復習這一模塊時，準確掌握有關直角三角形

們解決一些簡單的實際問題.

理的各種性質與判定方法，以及特殊直角三角形?？嫉?/p>

考察方向.

定義：有一個角是直角的三角形叫做百角三角形.

直角三角形健個銳角互余.

性質直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.

兩個內向互余的三角形是直向三角形.

判

定二角形一邊上的中線等亍這條邊的一半,那么延住角形是百角二角形.

H?OI利用a角二角形砒技來狹

與列定向T角是面角的三角形0榜立角三角形.H型02根姑己江條件科宣直角三角形

性抬型03與面角三角彩白關的面積計JI

如果三角形的三邊長a.b,c有關系a2+b2=c2,那么這個三角形是直

質

第三角形.

面積公式：S=1/2ab=1/2cm氏中：c為斜邊上的高，m為料邊長）

HK02利用勾股定厚東面枳

eao3已知兩點坐標求兩點距惠

K304,蝦勾股斂叵S6

KS05M用勾股定無照決折UrK

K306勾股定理與網(wǎng)格網(wǎng)

概念：如果百角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.

E307勾股定理與無理數(shù)

勾

直角三角形KS108以直角三角形三邊為邊長的圖形面哄

股能第構成自用三箱形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾段數(shù)，即

a2*b2=c2中，a,b.c為正整數(shù)時,郴a,b,c為一組勾股數(shù).較型09MM1與股定就求兩條線應的平力W（差）

定咫里10呵用句咬定理證叼線段的甲方美寮

理常見的勾股數(shù)：如3,4,5;6,8,10;5.1Z13；7,2425等理型11勾股定理的證羽方汰

??12以弦醫(yī)為“■的計ma

確定是三個正整數(shù)a,b.cfft5H3呵用勾股宇厚構瑞陽形!?決可聯(lián)

0型14月用勾股定理啊決蛔ms

判斷勾股數(shù)的方法確定最大的數(shù)c類型一求悌子滑落宸度

計算較小的兩個數(shù)的平方a2+b2是否等于c2.美型二3WMHWS

類型三大的?斷助高度

類型四儂水杯中的篌子向a

類型五里兩睡烏相等

芟型六最短路徑

類學七腑?向卷

H315勾股定理與稅律探充冏81

如果三角形三邊長a,b.c滿足a2+b2=c2,那么這個題2/01度形上與已知兩塔構成五角三角朕游

題空02在網(wǎng)格0判定口角三角形

三角形是百角三角形，其中c為斜法.

勾股定理逆定理B15103利用鋁股定理逆定理求解

S3Z04也用勾取定求實際生活問￡

考點一直角三角形的性質與判定

.夯基?必備基礎知識梳理

直角三角形的定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.

直角三角形的性質：1）直角三角形兩個銳角互余.

2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

3）在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半.

直角三角形的判定：1）兩個內角互余的三角形是直角三角形.

2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

3）有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.

4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b.c有關系/+〃=/,那么這個三角

形是直角三角形。

面積公式：S=^ab=gem（其中：c為斜邊上的高，加為斜邊長）

提升?必考題型歸納

題型01利用直角三角形的性質求解

【例1】（2023.山東聊城.統(tǒng)考二模）如圖，直線小1%,ARLCD,/7.=69。，那么/1的度數(shù)是（）

A.68°B.58°C.22°D.32°

【答案】C

【分析】由兩直線平行同位角相等得到乙2=43,再由力8與CD垂直，利用垂直的定義得到，8MC為直角，

得到乙1與43互余，由乙3的度數(shù)求出N1的度數(shù).

【詳解】解：,.直線，13，

.2=Z3=68°,

'.AB1CD,

"CMB=90°,

?..N1+Z3=90°,又43=68°,

"1=22°,

故選：C.

D

Ah

-Zi

/3隊7

C

【點撥】此題考查了平行線的性質，垂直定義、直角三角形的兩個銳角互余，熟知平行線的性質：兩直線

平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補.

【變式1-11（2023?廣東揭陽?統(tǒng)考一模）如圖，在AABC中,LACB=90°，乙48c=60°,BD平分乙ABC,。點

是8D的中點，若CP=4,則AD的長為（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】由題意推出力。=BD,在Rt△BCD中,PC=^BD,即可求出8。的長,進而可求出4D的長.

【詳解】解：,.NAC8=90°,^ABC=60°,

"A=30。，

〈BD平分乙ABC,

"CBD=LDBA=30°,

：.z.DBA=LA,

.".AD=BD,

??/點是的中點,

：.PC=^BD,

：.BD=2CP=8,

.t.AD=8.

故選：B.

【點撥】本題主要考查了角平分線的定義、直角三角形斜邊上的中線的性質、等腰三角形的判定等知識，

熟練掌握相關知識是解題關鍵.

【變式1-2]（2023.山西大同.大同一中?？寄M預測）風鈴，又稱鐵馬，古稱“鐸”，常見于中國傳統(tǒng)建筑屋

檐下（如圖①），如圖②,是六角形風鐸的平面示意圖，其底部可抽象為正六邊形48C0E尸,連接4C,CF,

則乙4CF的度數(shù)為°.

圖①圖②

【答案】30

【分析】根據(jù)正六邊形的性質求出=^BAF=LAFE=180°-哼=120°AB=CB，求出/C4F=90°,

6

根據(jù)對稱性求出乙4FC=60。，即可得到答案.

【詳解】解：在正六邊形A8CDEF中，

乙B=乙BAF=Z-AFE=180°--=120°,AB=CB,

6

"BAC=Z.ACB=30°,

S./-CAF=90°,

?「CF是正六邊形的一條對稱軸,

"AFC=60°,

：.Z.ACF=90°-Z,AFC=30°,

故答案為：30.

【點撥】此題考查了正多邊形的性質，內角和的公式，直角三角形的性質，正確掌握正多邊形的性質是解

題的關鍵.

【變式1-3]（2023?陜西西安?校考二模）如圖，在Rt△ABC^，乙BAC=90°,AB=6,CD是A48C的中線，

E是CD的中點，連接力E,BE,若AE1BE,垂足為E,則AC的長為.

A

D

/\

BC

【答案】3V3

【分析】根據(jù)垂直定義可得=90。利用直角三角形斜邊上的中線性質可得DE=AD=\AB=3/E=

DE=CE=3,從而得到CD=6,最后利用勾股定理進行計算即可解答.

【詳解】解：VAE1BE,

A/.AEB=90°,

???8是4ABC的中線，AB=6,

；?DE是A4BE斜邊上的中線，

?-。=，8=3,

??￡DAC=90。，E是CD的中點，

:.AE=DE=CE=3,

???CD=6,

由勾股定理得AC=y/CD2-AD2=由2_32=3百.

故答案為：3V3.

【點撥】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握直角三角形斜邊上的中

題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形

【例2】（2023?福建漳州?統(tǒng)考一模）在下列條件中：①〃+=NC，②44:乙B:Z.C=1:5:6，③乙4=90°-

乙B,@^A=NB=ZC中,能確定△ABC是直角三角開鄉(xiāng)的條件有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形內角和定理，能證明有一個角是90度即可確定△力8C是直角三角形.

【詳解】解：由三角形內角和定理得乙4十乙8+乙（7=180",

①當+NB=NC時,2ZC=180°,zc=90°,能確定△4BQ是直角三角開鄉(xiāng)；

②當44匕&a=1:5:6時，“二x180。=90°,能確定AABC是直角三角形；

l+o+o

③當乙4=90。一匕8時，乙A+=4C=90。，能確定△力BC是直角三角形；

④當乙4=LB=z_C時，乙4+乙8=匕。=60°,不能確定4力8C是直角三角形；

綜上可知，能確定△4孔是直角三角形的條件有3個，

故選C.

【點撥】本題考查直角三角形的判定，解題的關鍵是熟練運用三角形內角和定理.

【變式2-1］（2023.陜西西安?西安市曲江第一中學校考模擬預測）下列條件中不能判斷△力8。是直角三角形

的是（）

A.AB2+BC2=AC2B.AB2-BC2=AC2C.Z-A+/.B=zCD.

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷A和B即可；根據(jù)三角形的內角和定理判斷C和D即可.

【詳解】解：A.,.乂/+8c2=AC2f

；/B=90°,

「.△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意；

B.'：AB2-BC2=AC2

：.AC2+BC2=AB2,

=90°,

??.△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意；

C.+Z.B+Z.C=180°,Z.A+Z.B=Z.C,

"C=90°,

.?.△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意；

D.,.Z.A：：/C=3：4：5,￡4++/C=180°,

.??最大角乙C=品x180°=75°,

「.△ABC不是直角三角形，故本選項符合題意；

故選：D

【點撥】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形的內角和定理等知識點，能熟記勾股定理的逆定理的內容

和三角形的內角和定理等于180。是解此題的關鍵，注意：如果一個三角形的兩條邊4力的平方和等于第三邊

C的平方，即+/=c2,那么這個三角形是直角三角形.

【變式2.2]（2020浙江紹興模擬預測）由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）

A.a=5,b=12,c=13B.Z.A:Z.B:zC=3:4:5

C.Z.A=乙B—Z.CD.a=l,b=2,c=V5

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的內角和以及勾股定理的逆定理分別判斷，進而得出結論.

【詳解】解：A.52+122=132,故AABC是直角三角形,不符合題意.

B.""：H3：4：5,.38（rx%75°,故不是直角三角形，符合題意；

C/.ZA=ZB-ZC,/.ZB-ZC+ZB+ZC=180°,/.ZB=90°,故是直角三角形,不符合題意；

D.I2+22=（V5）2,故是直角三角形，不符合題意.

故選B.

【點撥】本題考查了三角形的內角和定理和勾股定理的逆定理，求出各選項中的最大角是解題的關鍵.

【變式2-3]（2022?河北保定.統(tǒng)考一模）下列長度的三條線段能沮成銳角三角形的是（）

A.3,4,4B.3,4,5C.3,4,6D.3,4,7

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形三邊組成銳角三角形的條件進行判斷可得答案.

【詳解】解：在能夠組成三角形的條件下，如果滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方是直角三角形；

滿足較小兩邊平方的和大于最大邊的平方是銳角三角形；滿足較小兩邊平方的和小于最大邊的平方是鈍角

三角形.

A項，因為3?+42>42,所以這三條線段組成銳角三角形，故A項符合題意；

B項，因為32+42=52,所以這三條線段組成直角三角形，故B項不符合題意；

C項，因為32+42<62,所以這三條線段組成鈍角三角形，故C項不符合題意；

D項，因為3+4=7,所以這三條線段不滿足組成三角形的條件，故D項不符合題意.

故應選：A.

【點撥】本題主要考查三角形的基本概念和直角三角形，其中在能夠組成三角形的條件下，如果滿足較小

兩邊平方的和等于最大邊的平方是直角三角形；滿足較小兩邊平方的和大于最大邊的平方是銳角三角形;

滿足較小兩邊平方的和小于最大邊的平方是鈍角三角形；掌握直角三角形的判斷條件是解題的關鍵.

題型03與直角三角形有關的面積計算

［例3］（2023?廣西南寧?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，點P在反比例因數(shù)y=^（x>0）的圖象上，

點A,8在x軸上,且P力1PB,垂足為P,抬交.v軸于點C,4。=8。=BP,△48P的面積是2.則#的

A.1B.1C.V3D.2

【答案】A

【分析】連接OP，過點P作PD1AB，垂足為D，證明△OPB為等邊三角形，設。8=a，利用求出PD=,

得到點P坐標，根據(jù)△力"的面積是2,列出方程，求出M=竽，再將點P坐標代入y=三。>0）中，可

得M直.

【詳解】解：如圖，連接“，過點P作PD1AB,垂足為D,

'.AO=BO=BP,

J.OP=OB=BP,BPA0P8為等邊三角形，

."DPB=30°,

設08=a,則48=2a,

.".BD=,

：.PD=>JPB2-BD2=ya,即PgamQ）,

,「△A8P的面積是2,

.,士xABxDP=2,

2

x2ax—a=2,

22,

解得：竽，

J

,,1-於62百-461

??k=-QX—CL=—Q=—X=1.

22443’

故選A.

【點撥】本題考查了反比例函數(shù)表達式，等邊三角形的判定和性質，直角三角形斜邊中線，勾股定理，解

題的關鍵是判斷出△OPB為等邊三角形，得到點P坐標.

【變式3?1】（2023?河北邢臺?邢臺三中校考一模）如圖，將兩個全等的正方形/BCD與APQR重疊放置，若

乙BAP=30°,/1/?=6V3,則圖中陰影部分的面積是（）

A.48B.54C.81-188D.一

【答案】D

【分析】設CD與PQ交于G,連接4G,根據(jù)正方形的性質得到AB=AP=AD,LBAD=LP=LD=90。，根

據(jù)全等三角形的性質得到“AG=4DAP=30。,根據(jù)正方形的面積公式和三角形的面積公式即可得到結論.

【詳解】設CD與PQ交于G,連接AG,

A

R

30

B

???四邊形48CD和正方形4PQR是正方形，

;AB=AP=AD,乙BAD=zP=ZD=90。，

???Z.BAP=30°f

A/.PAD=60°,

在Rt△APG與Rt△/OG中，

(AP=AD

14G=AG'

:.Rt△APGMRl△/OG(HL),

:./.PAG=/.DAG=30°,

vAD=AP=AB=6V3,

...PG=DG=6gx牛=6,

???圖中阻影部分的面積=正方形力PQR的面積一△4PG的面積一△AOG的面積=6V3x6V3-；x6V3x6-

Ix6V3x6=108-36V3,

古嬤：D.

【點撥】本題考杳了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的面積的計算，正確地作出輔助線

是解題的關鍵.

【變式3?2】(2023西南曲靖統(tǒng)考二模)如圖，在目A8CD中，AD1BD.LA=30。,8。=3,貝物力BCD的面

積等于.

D「

B

【答案】9V3

【分析】根據(jù)30。角所對直角邊是斜邊的一半求出力8=6,根據(jù)勾股定理求出4。,計算出△4B/）的面積,

即可得解；

【詳解】?7。18D7力=30。，8D=3,

-'.AB=3x2=6,

：.AD=y/AB2-BD2=V36-9=V27=35/3,

.?5"皿=卜3舊'3=竽，

,S卻四邊形ABCD=2sM8D=9\[3,

故答案是：9百.

【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質、勾股定理，準確根據(jù)30。角所對直角邊是斜邊的一半求解是解

題的關鍵.

【變式3?3X2023?河北唐山?統(tǒng)考模擬預測相一副三角尺如圖所示疊放在一起若重疊部分的面積是12cm2,

則＜8的長是___________cm.

【答案】

【分析】根據(jù)重疊部分的面積求出AC,利用直角三角形30。角的性質求出A8的長.

【詳解】解:,"ACB=^AED=90°,

：.CB\\ED,

./AFC=Z.D=45°,

：.z.DAC=乙AFC=45°,

..AC=CF,

?.重疊部分的面積=1AC-CD=12,

..AC=2V6,

.Z-ACB=90°,48=30",

：.AB=2AC=4V6,

故答案為：4瓜.

【點撥】此題考查了平行線的判定和性質，等角對等邊證明邊相等，直角三角形30。角的性質,正確掌握各

知識點是解題的關鍵.

考點二勾股定理

■L先聚西^硼知識梳理

勾股定理的概念：如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么M+/=c2

變式：a?=一匕2,爐二一,。=Va24-b2,a=Vc2—b2,b=Vc2—b2.

勾股定理的證明方法（常見）：

方去~（圖-）：4SA+S正方形EM.=S正方物8。，4x+（b-a）?=c2,化簡可證.

方法二（圖二）：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.

四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為s=4x-ab+c2=2ab+（

大正方形面積為S=（a+b^2=a2+2ah+h2,所以M+62=c2

方法三（圖三）：S梯形=^（a+b）-（a+b）,S悌形=2SAADE+SAABE=2-：）匕+*2,化簡得證Q2+/J2=c2

D_「.baAci

BK/

AcBabBbc

圖一圖二[圖三

勾股數(shù)概念：能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，艮Pa2+b2=c?中,aib,c為正整

數(shù)時，稱a,8，c為一組勾股數(shù).

常見的勾股數(shù)：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等.

判斷勾股數(shù)的方法：1）確定是三個正整數(shù)a.b.c；

2）確定最大的數(shù)c；

3）計算較小的兩個數(shù)的平方。2+匕2是否等于c2.

1.勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關系，它只適用于直角三角形，因而在應用勾

股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形.

2.如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，

求解時必須進行分類討論,以免漏解.

3.應用勾股定理時,要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶。2+乂r2時,斜邊只能是C.若。為斜邊，則關

系式是/+/=廬；若。為斜邊，則關系式是從+/=，.

.提升?必考題型歸納

題型01利用勾股定理求線段長

[例1]（2023?廣東云浮?統(tǒng)考一模）如圖，力B切。。于C,點0從C出發(fā)，以每秒1cm的速度沿C8方向運

動，運動1秒時。。=2cm,運動2秒時。。長是（）

A.遍cmB.V6cmC.V7cmD.2\/2cm

【答案】C

【分析】本題考查切線的性質、勾股定理，掌握切線性質是關鍵先證得=90。，再利用勾股定理求

解即可.

【詳解】解：?78切。。于C,

:ZOCD=90°,

??點。從C出發(fā)，以每秒1cm的速度沿方向運動，

運動1秒時。D=1cm,

又.?運動1秒時00=2cm,

.??在Rt△0CD中，由勾股定理得：0C=yJOD2-CD2=V22-l2=V3,

?.運動2秒時。。長為2cm,

.二此時0D=\/OC2+CD2=J（V3）2+22=V7.

古越：C.

【變式1-11（2023?浙江?模擬預測）若直角三角形的三邊的長是連續(xù)的正整數(shù)，則這樣的直角三角形的個數(shù)

是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】先設出直角三角形的三邊長，商艮據(jù)勾股定理解答即可.

【詳解】設中間的一個為x,則另兩邊為。-1）和。+1）,根據(jù)勾股定理得：

（%-I）2+X2=（X+I）2,

解得：X=4或％=0（舍去），

這樣的直角三角形的個數(shù)只有一個，三邊為3,4,5,

故選A.

【點撥】此題主要考查學生對勾股定理及一元二次方程的解法，解答此問題時，注意連續(xù)整數(shù)的特點，要

能夠熟練解方程.

【變式1-2］（2023?安徽?統(tǒng)考模擬預測ABC中,AB=2,AC=2次/C=30。,則線段BC的長為（）

A.4B.2V2C.4或2&D.2或4

【答案】D

【分析】分兩種情況討論：①4B為銳角時，過點4作力。1BC,分別在Rt△力。。和Rt△ABD中求出,BD

從而可求出BC；②乙B為鈍角時，同樣的方法可求出8c.

【詳解】解：分兩種情況討論：

①為銳角時，如圖，

過點4作AD1BC,

在RtUCO中，

-.'AC=2V3,ZC=30°,

.,.AD=V3,

22

：.CD=y/AC-AD=J(2⑹?_(可=3,

RtAABD中，

\AB=2,AD=y[3,

：.BD=y/AB2-AD2=J2?-(V3)2=1,

.?.BC=8D+CD=1+3=4；

②qB為鈍角時，如圖,

過點4作A。1BC交C8的延長線于點。，

同①可求得:CD=3,RD=1,

：.BC=CD-FD=3-1=2,

綜上,BC的長為2或4,

姬：D.

【點撥】此題考查了勾股定理,含30。角直角三角形的性質，解期的關鍵是需要注意分情況求解.

題型02利用勾股定理求面積

[例2]（2023?河北石家莊?統(tǒng)考三模）若一個正三角形和一個正六邊形的面積相等，則正三角形與正六邊形

的邊長比為（）

A.V6:lB.1：V6C.V3:lD.2：1

【答案】A

【分析】設正三角形和一個正六邊形的邊長分別為A。.構建面積相等構建方程即可解決問題.

【詳解】解：設正三角形邊長分別為a，如圖，作的1BC于。，

則8D=CD=,AD=>JAB2-BD2=苧，

.??正三角形的面積為2xQx年=亨，

224

設正六邊形的邊長b,

同理正六邊形的面積為6x半=嚕，

42

由題意：華=嗒，

.,.a=y/6b,

.,.a:b=V6:l,

古嫩：A.

【點撥】本題考杳正多邊形與圓、等邊三角形的面積公式等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解

決問題.

【變式2?1】（2023.湖南衡陽?？寄M預測）如圖,在平面直角坐標系中，與）?軸相切于點C,與x軸

相交于A乃兩點，假設點戶的坐標為（5,3）,點M是。P上的一動點，那么△4面積的最大值為（）

A.64B.48C.32D.24

【答案】C

【分析】過點P作PD1談由于點D,連接PC,P4易得PC=PA=5,PD=3I然后由垂徑定理，即可求得

4。的長，繼而求得力8的長，繼而求得答案.

【詳解】解：過點P作PD1%軸于點D,在上方，P0與。。的交點即△力BM面積最大時動點的位置，連

接PC,PA,

.?點尸的坐標為(5,3),

。尸與1y軸相切于點C,

：.PC=5,PD=3,

:.PC=PA=5,DM=PD-^-PM=8

在RtAP4D中，AD=yJPA2-PD2=4,

?「PD1AB,

.'.AB=2AD=8,

當點M位于(3,8)時，△ABM面積最大，最大值為：?MD=gX8X8=32.

【點撥】此題考查了切線的性質、垂徑定理以及勾股定理.此題難度適中，添設輔助線，構造直角三角形

是解題的關鍵.

【變式2-2]（2023.貴州遵義.統(tǒng)考三模）如圖，大等邊三角形中有〃個全等的等邊三角形，若大等邊三角形

的面積為工,〃個小等邊三角形的面積的和為S2,則工與S2之間的關系為（）

C.S1二4\f3nS2D.S]=2nS2

【答案】B

【分析】如圖所示過點A作A。1BC于。設AB=BC=AC=x，則80=利用勾股定理求出AD=梟，

則工=?40=梟2；再求出〃個全等的等邊三角形的邊長為些=二進而求出S2=笠,即可得到Si=

24nn4n

nS2.

【詳解】解：如圖所示，過點A作力D1BC于D,設力B=BC=AC=x,

.?皿=非"),

.?.AD=VAB2_BD2s

%,

.■5=^BCAD=^-x2

由題意得，，，個全等的等邊三角形的邊K為譬-:，

._V3fx\2V3x2

=nS2,

故選B.

【點撥】本題主要考查了等邊三角形的性質，勾股定理,正確求出品，S2是解題的關鍵.

【變式2-3]（2023.山西太原山西實驗中學校考模擬預測）如圖，在仆A8C中,AB=BC=AC,。是BC的

中點，OE1/IB于點E,貝l」ABOE的面積與448。的面積之比為()

A.1:8B.1:4C.1:2D.2:5

【答案】A

【分析】連接AD,易證△MC為等邊三角形，從而得出ZBDE=30。，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質

得出BE=\BD,再根據(jù)勾股定理得出DE=^BD,從而得出，=當BD?,然后根據(jù)等邊三角形的性質

及勾股定理得出=^AB,從而得出

SMBC=百8。2,即可得出答案?

【詳解】解：連接力。

?:AB=BC=AC

??.△ABC為等邊三角形

二ZF=60°

vDE1AB

???乙BDE=30°

1

BE=-BD

2

----------V3

:.DE=yt/BD2-BE2=—BD

111V3V37

?*-S^BDE=三BE-DE=-x-xBDx—BD=—BD1

ZZZZo

??刀是8C的中點，

.%ADIBC,BD=-BC=-AB

22

,--------------V3

???AD=y/AB2-AD2=—AB

乙

2

/.S^ABC=^BCAD=^ABX^-AB=^-AB=￥（280）2=y［3BD2

：?的面積與4ABC的面積之比為

古嫩A.

【點撥】本題考查了勾股定理、等邊三角形的判定及性質、含30度角的直角三角形，熟練掌握性質定理是

解題的關鍵.

題型03已知兩點坐標求兩點距離

［例3］（2023?天津南開統(tǒng)考一模）如圖，矩形。力BC的頂點B的坐標為（2,3）,貝！長為（）

C.V5D.4

【答案】A

【分析】首先連接。8,根據(jù)兩點間距離公式即可求得08,再根據(jù)矩形的性質可得。3=4c,即可求得力。的

長.

???點B的坐標為（2,3）,

:.0B=y/22+32=A/T3,

又??四邊形。力BC是矩形，

:.AC=0B=y[13,

雌：A.

【點撥】本題考查了勾股定理，矩形的性質,作出輔助線是解決本題的關鍵.

【變式3-11(2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模)已知拋物線y=與一次函數(shù)y=2x+6交于力,B兩點，則線段48

的長度為()

A.20V2B.20V3C.4073D.20

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組求解，消元得到,利用根與系數(shù)的關系，再運用兩點距離

4-2%-6=0

公式變形求出長度即可得到答案.

【詳解】解：?.拋物線y=,2與一次函數(shù)y=2%+6交于力,B兩點,

???聯(lián)立],=*,消元得打2一2%-6=0,

iy=2x+64

:.+x2=8,xxx2——24,

???AB=-32)2+(y]一及)2

=\/(%l--2)2+(241-2%2)2

=《5收+無2產(chǎn)-4%62】

=75X[82-4X(-24)]

=20V2

雌：A

【點撥】本題考查平面直角坐標系中求線段長問題，涉及函數(shù)圖像交點問題、一元二次方程根與系數(shù)的關

系、兩點之間距離公式及完全平方公式等知識，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系及兩點之間距離公

式是解決問題的關鍵.

【變式3?2】(2023?河北保定.統(tǒng)考二模)在平面直角坐標系中，點4(1,2),8(-3/),當線段4B最短時，匕的

值為()

A.2B.3C.4D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)兩點之間的距離公式即可求得b的值.

【詳解】解：根據(jù)兩點之間的距離公式得：

AB=7(-3-l)2+(b-2)2=J16+(b—2)2,

當力=2時,48有最小值，最小值為4.

因此當b=2時，48最短,

【點撥】本題考查平面直角坐標系中動點問題、二次函數(shù)的最值，熟練掌握兩點間的距離公式是解題的關

鍵.

【變式3?3】(2023?天津河西?天津市新華中學校考二模)如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形。力8。的頂

點C在x軸的正半軸上.若點A的坐標是(3,4),則點B的坐標為()

【答案】D

【分析】先利用兩點之間的距離公式可得。力=5,再根據(jù)菱形的性質可得力8||OC.AB=。4=5,由此即

可得出答案.

【詳解】解：、?點力的坐標為(3,4),

:.0A=J(3—0)2+(4-0)2=5,

???四邊形。力8c是菱形，

AB||OC,AB=OA=S,

???點B的橫坐標為3+5=8,縱坐標與點力的縱坐標相同，即為4,

即B(8,4),

故選：D.

【點撥】本題主要考查了菱形的性質和點坐標,熟練掌握菱形的性質是解題關鍵.

題型04判斷勾股數(shù)問題

［例4］（2023.四川瀘州.統(tǒng)考二模）倜髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學和數(shù)學著作，約成書于公元前1世

紀.倜髀算經(jīng)》中記載廠勾廣三，股修四，經(jīng)隅五「意為：當直角三角形的兩條直角邊分別為