2024年中考數(shù)學一輪復習：重難點突破08 全等三角形8種模型一線三等角、手拉手模型、倍長中線、截長補短、婆羅摩笈多、半角模型、平行線中點

重難點突破08全等三角形8種模型

（一線三等角、手拉手2、倍長中線、截長補短、婆羅摩笈多、半角模型、

平行線中點模型與雨傘模型）

目錄

重難點題型突破

題型01一線三等角模型（含一線三垂直模型）

題型02手拉手模型

題型03倍長中線模型

題型04平行線中點模型與雨傘模型

題型05截長補短模型

題型06婆羅摩笈多模型

題型07半角模型

重難點題型突破

題型01一線三等角模型（含一線三垂直模型）

【一線三垂直模型介紹】只要出現(xiàn)等腰直角三角形，可以過直角點作一條直線，然后過45°頂點作直線的

垂線，構(gòu)造三垂直，所得兩個直角三角形全等.根據(jù)全等三角形倒邊，得到線段之間的數(shù)量關系.

已知（一線三垂直）圖示結(jié)論（性質(zhì)）

如圖AB1BC,A

△ABD^ABCE,DE=AD+EC

AB=BC,CE1DE,AD

IDE

C

-1

EBD'

如圖ABJLBC,1

△ABD^ABCE,DE=AD-EC

AB=BC,CE±DE,AD1

IDE

B

C

己知/AOC=/ADB=

A△ADB渺DEC

ZCED=90",AB=DC\

c

DBE

延長DE交AC于點EA

AAB8ADBE

已知/DBE=/ABC=

ZEFC=90°，AC=DE工

Dhtc

【一線三等角模型介紹】三個等角的頂點在同一條直線，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角.

一線三等角類型:

（同側(cè)）己知NA=NCPD=NB=Na,CP=PD

（異側(cè)）已知NEAC=NABD=NDPC=Na,CP=PD

1.（2023?陜西西安?校聯(lián)考模擬預測）小西在物理課上學習了發(fā)聲物體的振動實驗后，對其作了進一步的探

究：在一個支架的橫桿點O處用一根刮繩懸掛一個小球A,小球A可以自由拂動，如圖，OA表示小球靜止

時的位置.當小明用發(fā)聲物體靠近小球時，小球從。4擺到08位置，此時過點8作80104于點。，當小球

擺到。。位置時，08與0C恰好垂直（圖中的A、B、0、C在同一平面上），過點。作CEJ.0力于點E,測得

BD=8cm,0A—17cm.求AE的長.

A

【分析】首先根據(jù)題意證明出AC0E皂△OBO（AAS）,然后利用全等三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】???0810C,

:.乙BOD+乙COE=90°,

XVCE1OA,BD10A,

：.Z.CEO=Z.0DB=90°,

，乙BOD+乙B=90°,

'.LC0E=乙B,

在aCOE和△080中,

乙CEO=Z.BDO

乙COE=乙B

OC=BO

，△COE三△08。(AAS),

.\0E=BD=8cm,

：.AE=OA-OE=17-8=9cm.

【點睛】此題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，解題思路是找準條件判定全等，解題的關鍵是證明△COEWA

OBO(AAS).

2.(2023?全國?九年級專題練習)感知：數(shù)學課上，老師給出了一個模型：如圖I,點A在直線0E上，且480a=

LBAC=Z.AEC=90°,像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角

”模型.

應用：

(D如圖2,Rt△48C中，Z.ACB=90°,CB=CA,直線ED經(jīng)過點C,過力作4。1ED于點。，過8作BE1ED

于點E.求證：△BEC三△CO/L

(2)如圖3,在△48。中，。是8c上一點，Z.CAD=90°,AC=AD,

乙DBA=^DAB,AB=2痘,求點C到AB邊的距離.

⑶女I圖4,在用48CD中，E為邊8c上的一-點，廠為邊48上的?點.若

乙DEF=^B,AB=10,BE=6,求理的值.

DE

【答案】(1)見解析

⑵百

嗨*

【分析】(1)由直角三角形的性質(zhì)得出乙4cO=可證明△BEC三△CD4；

(2)過點。作OF148于點凡過點C作CEJL48于，交84的延長線于點E,證明△C4E40F,由全

等三角形的性質(zhì)可得出CE=4F=H，則可得出答案；

(3)過點。作DM=0C交8c的延長淺于點M,證明尸E?△ME。，由相似三角形的性質(zhì)可得出答案.

【詳解】(1)證明：???UCB=90°,Z.BCE+/.ACB+乙ACD=180°,

：.Z.BCE+/.ACD=180°,

\'AD1ED,BE1ED,

：.Z-BEC=Z.CDA=90。，乙EBC+乙BCE=90°,

：.^ACD=乙EBC,

在△BEC和△CZM中，

(￡.CDA=乙BEC=90"

LACD=乙EBC，

(CB=CA

??△BEC=△CDA：

(2)解；過點。作DF14B于點尸，過點C作CE1/18于，交B/1的延長線于點E,

圖3

:4DBA=Z.DAB,

：,AD=BD,

：.AF=BF=^AB=V3,

'：Z-CAD=90°,

.\ZD/1F+ZC/1F=900,

'.'Z.DAF+Z.ADF=90°,

C.Z.CAE=Z.ADF,

在和△W中，

Z.CEA=Z.AFD=90°

LCAE=Z.ADF,

AC=AD

△CAE=△ADF,

：,CE=AF=?

即點。到/IB的距離為百：

(3)過點。作DM=DC交BC的延長淺于點M,

圖4

:.乙DCM=4M,

???四邊形/BCD是平行四邊形，

/.DM-CD-AB-10,AB||CD

:.乙B=Z.DCM=乙M,

VzFEC=乙DEF+乙DEC=Z.B+乙BFE,乙B=乙DEF,

：.z.DEC=乙BFE,

:(BFEfMED,

.EFBE63

??=—————?

DEDM105

【點睛】本題是四邊形綜合題，考直了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定

與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

3.(2022?北京??？家荒?對于平面直角坐標系％Oy中的圖形用和點P,給出如下定義：將圖形M繞點PMI時

針旋轉(zhuǎn)90。得到圖形N,圖形N稱為圖形M關于點P的“垂直圖形”.例如，圖1中點。為點C關于點P的“垂直圖

形”.

悔

5■

4-

3-

2-

1-

j---------1_?------->

-5-4-3-2-10-12345x

-1-

-2-

-3-

-5

圖1備用圖

(I)點A關于原點。的“垂直圖形”為點S.

①若點A的坐標為(0,3),則點8的坐標為

②若點B的坐標為(3,1),則點4的坐標為：

⑵5-3,3),F(-2,3),G(a,0),線段EF關于點G的“垂直圖形”記為EW,點E的對應點為E',點尸的時應點

為r.

①求點E'的坐標(用含a的式子表示)；

②若。。的半徑為2,E'F'上任意一點都在。。內(nèi)部或圓上，直接寫出滿足條件的EE'的長度的最大值.

【答案】⑴①(3,0),②(-1,3)

(2)①(3+a,3+Q),@V22

【分析】(I)①②根據(jù)“垂直圖形”的定義可得答案：

(2)①過點E作EP1x?軸丁?點P,過點E'作1x軸丁點”，利月JAAS證明APEG三△"GE'得E'"一PG-a+3,

GH=EP=3,從而得出答案；②由點E'的坐標可知，滿足條件的點E'在第一象限的。。上，求出點E'的坐

標，從而解決問題.

【詳解】(1)解：①???點A的坐標為(0,3),

二點B的坐標為(3,0),

故答案為：(3,0)：

②蘭3(3,1)時，如圖,4(一1,3),

故答案為：(一1,3)；

(2)解：①過點E作EPlx軸于點P,過點『作E'H1》軸于點H,

VZ.EGE1=90°,EG=E'G,

:?乙EGP+LE'GH=90°,乙EGP4-ZE=90°,

■-.Z.E=Z.E'GH,

v乙EPG=Z.GHE',

:.△PEGw/kHGE'(AAS),

=PG=u+3,GH=EP=3,

:.OH=3+a,

：?E'(3+a,3+a)；

②如圖，觀察圖象知，滿足條件的點E'在第一象限的。。上,

VE'(3十a(chǎn),3+a),OE'=2,

(a+3)2+(Q+3)2=22?Q+3=負值舍去),

???a=x/2—3,

...E'(42,42),

EE'=J（或+3）2+（夜-3）2=V22.

??.EE'的長度的最大值為舊.

【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查r全等三角形的判定與性質(zhì)，“垂直圖形”的定義，坐標與圖形,

求出點E'的坐標是解題的關鍵.

4.（2021?浙江嘉興?校考一模）閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點，過另外兩

個頂點分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型"如圖①：在△A8C中，乙4。=90。，AC=BC,分別過A、

8向經(jīng)過點。直線作垂線，垂足分別為。、E,我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：△ADC^^CEB.

（1）探究問題：如果ACWBC,其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論：ODCsACEB.請你說明理由.

（2）學以致用：如圖③，在平面直角坐標系中，直線），=3與直線C。交于點M（2,1）,且兩直線夾角為口,

且lana=|,請你求出直線C。的解析式.

（3）招展應用：如圖④，在矩形ABC。中，A8=4,BC=5,點E為8C邊上一個動點，連接AE,將線段AE

繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。，點A落在點P處，當點。在矩形ABC。外部時，連接PC,PD.若△QPC為直角

三角形時，請你探究并直接寫出8七的長.

【答案】（1）見解析

（2）y=-^x+y

（3）4或萼

【分析】（1）由同角的余角相等可得/8CE=/D4C,且NADC=N8EC=90。，可得結(jié)論；

（2）過點。作ON_LOW交直線CO干點M分別過M、N作軸N凡Lx軸，由（I）的結(jié)論可得：

△NFO^AOEM,可得黑=黑=黑，可求點N坐標，利用待定系數(shù)法可求解析式；

OcMhMO

（3）分兩種情況討論，山全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】⑴解:理由如下,

VNACB=90。，

:.NACD+N3CE=90°,

又..?/4。（7=900，

:.NACO+NQAC=90°,

:.ZBCE=NOAC,JBLZADC=NBEC=90°,

:.△ADCs^CEB；

（2）解：如圖，過點。作OMLOM交直線C。于點N,分別過M、N作ME_Lx軸，NFJ_x軸,

由（1）可得：ANFOs^oEM,

?NFOFNO

??——=——=-，

OEMEMO

???點M（2,1）,

：.OE=2.ME=\

.NFOF3

?9~17一T

:.NF=3,OF=1,

2

?,?點N（一右3）,

設直線CD表達式：y=kx+b,

.f1=2k+b

A3=--k+b

2

k=--

?7

??b=竺

7

???直線。的解析式為：），=-%+熱

（3）解：當NCOP=90。時，如圖，過點尸作P〃_L3C,交BCi延長線于點

,:ZADC+ZCDP=180°,

???點4點Z),點尸三點共線，

,:NBAP=NB=N〃=90。，

???四邊形是矩形，

；.AB=PH=4,

?.,將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。，

：.AE=EP,NAEP=90。，

/.NAEByPEH—且N6A￡>/AEZ?=90C,

:?NBAE=NPEH,且N8=N〃=90。，AE=EP,

:.△ABE94EHP(AAS),

:,BE=PH=4,

當NCP/)=90。時，如圖，過點P作/H_L8C,交8C延長線于點，，延長〃。交4)的延長線于M則四邊

形CDN”是矩形，

:,CD=NH=A,DN=CH,

設8E=x,WOEC=5-x,

?.?將線段AE繞點￡順時針旋轉(zhuǎn)90。，

：.AE=EP,NAEP=90。，

/AEB+/PEH=90°,且/6A￡>/AE6=9(T,

:?NBAE=NPEH,且NB=NEH/>=90°,AE=EP,

：.4ABE@4EHP(AAS),

:,PH=BE=x,AB=EH=4,

：.PN=4-x,CH=4-(5-x)=x-\=DN,

,:NDPC=90。，

:./DPN+NCPH=9。。,且NCPH+NPCH=90。,

:.NPCH=NDPN,且NN=ZCHP=9()0,

：.△CPHsgDN,

.DNNP

??,

PHCH

?XT4r

…X

._3±>/7

*丁

丁點尸在矩形ABC。外部,

3+V7

???但7

綜上所述：當3E的長為4或竽時，△DPC為直角三角形.

【點睛】本題是考查了待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形

的判定和性質(zhì)等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造相似三角形是本題的關鍵.

5.(2022下?安徽淮北?九年級校聯(lián)考階段練習)數(shù)學模型學習與應用.【學習】如圖\,ABAD=90°,AB=ADf

BC1AC^^C,DE1E.由N1+42=42+4。=90°,得/1=NO：5L/.ACB=Z.AED=90°,

可以通過推理得到△ABCWDAE.我們把這個數(shù)學模型稱為“一線三等角”模型;

B

⑴【應用】如圖2,點B,P,。都在直線/上，并且乙4BP=Z.APC=乙PDC=a.若BP=x,AB=2,BD=5,

用含x的式子表示C。的長;

(2)【拓展】在AABC中，點。，E分別是邊3C,4c上的點，連接4。，DE,/.B=Z.ADE=/.C,48=5,

BC=6.若ACDE為直角三角形，求C。的長:

(3)如圖3,在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(2,4),點8為平面內(nèi)任一點.△A。/?是以04為斜邊

的等腰直角三角形，試直接寫出點8的坐標.

【答案】⑴cc=-*+1

(2)3

⑶(3,1)或(一1,3)

【詳解】(1)解：\'z.ABP=/.APC=乙PDC=a,

：./.A+乙APB=乙APB+乙CPD,

:&=乙CPD,

又,：乙ABP=ZPDC,

"ABPSRPDC,

.ABBP

??~~'t

PDCD

:.CD=-+|x.

(2)解：如圖4,當ZCED=9O。時,

*：LADE=zC,Z.CAD=zD/lF,

/.△/ICD^AADE,

：.Z.ADC=Z.AED=90°,

?:乙B=LC,Z.ADC=90°

???點。為8。的中點，

/.CD=ifiC=ix6=3.

22

如圖5,當N￡OC=90。時，

'：乙B=乙C,

：.z.BAD=zEDC=90°,

過點A作A"IBC,交BC于點、F,

：

.BF=-2BC=3,AcBosFB=D-5=—=

BD=^>6,不合題意，舍去，

?5

：.CD=3.

（3）解：分兩種情況:

①如圖6所示，過A作AC_Ly軸于過8作軸于￡。八與EB相交于C,則NC=90。，.?.四邊形

OECD是矩形

:?AD=2,OD=CE=4,

VNO8A=90。，

1?NOBE+N4BC=90。，

?:NABC+/B4C=90°,

:.NBAC=NOBE,

在MBC與"OE中，

(zC=乙BEO=90°

/.SAC=LOBE

(AB=BO

:?△ABC94BOE(AAS),

：.AC=BE,BC=OE,

設OE=x,則8c=O￡=CO=x,

??AC=BE=x—2,

/.CE=BE+RC=X—2+x=OD=4,

.*.x=3,x—2=1,

??.點B的坐標是（3,1）：

②如圖7,同理可得，點8的坐標（一1,3）,

圖7

綜上所述，點3的坐標為（3,1）或（-1,3）.

【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，筆腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形

的性質(zhì)等知識：正確的作出輔助線，證明三角形全等是解題的關鍵.

6.（2021上?山東青島?九年級統(tǒng)考期中）【模型引入】

我們在全等學習中所總結(jié)的“一線三等角、K型全等“這一基本圖形，可以使得我們在觀察新問即的時候很迅

速地聯(lián)想，從而借助已有經(jīng)驗，迅速解決問題.

圖1圖2圖3

B

圖4

【模型探究】

如圖，正方形4BC。中，E是對角線8。上一點，連接AE,過點E作EF_LAE,交直線C8于點F.

(1)如圖1,若點F在線段8c上，寫出￡/\與EF的數(shù)量關系并加以證明：

(2)如圖2,若點尸在線段C8的延長線上，請直接寫出線段8C,和3”的數(shù)量關系.

【模型應用】

(3)如圖3,正方形八8c。中，A8=4,E為CD上.一動點,連接AE交8。于產(chǎn)，過F作F”_L4E于尸，過

H作HGLBD于G.則下列結(jié)論：?AF=FHx②N”AE=45。；③BD=2FG；④△(?￡：〃的周長為8.正確

的結(jié)論有一個.

(4)如圖4,點E是正方形八BC。對角線8。上一點，連接AE,過點E作交線段于點立

交線段AC于點W,連接川交線段8。于點〃.給出下列四個結(jié)論，QAE=EFX②y[iDE=CF；③SMEM

=SAMCF,④BE=DE+&BF；正確的結(jié)論有_個.

【模型變式】

(5)如圖5,在平面直角坐標系中，四邊形088是正方形，旦。(0,2),點E是線段03延長線上一點，

M是線段08上一動點(不包括點O、B),作MN_LOM,垂足為M,交/C8月的平分線與點M求證：MO

=MN

(6)如圖6,在上一問的條件下，連接ON交8c于點F,連接bM,則和NNM8之間有怎樣的數(shù)

量關系？請給出證明.

【拓展延伸】

(7)已知NMON=90。，點A是射線ON上的一個定點，點8是射線OM上的個動點，且滿足OA>O4.點

C在城段0A的延長線上,且AC=OB.如圖7,在線段80上截取BE,使BE=O八，連接CE.若N08A+/0CE

=〃，當點4在射線OM上運動時，〃的大小是否會發(fā)生變化？如果不變，請求出這個定值；如果變化，請

說明理由.

(8)如圖8,正方形八8。。中，入。=6,點E是對角線八C上一點，連接?！赀^點￡作EF_LEO,交/出

于點凡連接。凡交AC于點G,將AE”G沿E/解折，得到△EFM,連接DM,交E尸于點N,若點產(chǎn)是

A8邊的中點，則的面積是.

【答案】(1)AE=EF,證明見解析：(2)8E=y(FC-BF)；(3)4；(4)3；(5)見解析：⑹乙NMF=乙NMB,

證明見解析；(7)0的大小不變，6=45。，理由見解析；(8)葭

【分析】(1)過點E作yZ_L4D,交4。于丫，交8c于Z,證明AZBE是等腰直侑三角形，進而證明△人■2&EFZ,

即可證明力E=EF；

(2)過E分別向48,8C作垂線，垂足分別為兀U,證明四邊形78UE是正方形，證明△TEA三△UEF,過4作

AV18。于匕過/作FW18。的延長線于點W,設正方形的邊長為a,在此△480中，求得80,進而求得AV=

”。=多，證明△人”三AEFW,進而可得由BE+BW=BE+EV=BP=”=^a,

可得BE=*BC-BF)

(3)①由(1)直接判斷①：根據(jù)是等腰直角三角形，即可判斷②；過力作4R1BD于R,證明三

△FCH可得AR=FG,進而判斷；③過點A作AQ1HE于點、Q,延長CB至Q,使8P=DE,證明△APHAEH,

進而可得ACE”的周長為28C,即可判斷④：

(4)①由(1)直接判斷①：過E作PQ〃DC,交力。分別為點P,Q,證明aEQB是等腰直角三角形，

證明Rt^EFQ=Rt^AEP,進而可得。E=或。。=4CF,即可判斷②：過F作KF〃PQ交BD于點K.KN工

PQ于N,可得KB=&BF,由②可知PD=QF,進而證明^DPE=△KNE,BE=BK+EK=DE+&BF可

判斷④，由于M點的位置不確定，無法判斷S-EM和的關系，即可判斷③：

(5)在。。上取0"=0M,連接HM,證明AHUM受aBMN即可；

(6)延長80至點4,使得力。=。/，連接4D,過點M作MP1DN于點凡證明△40C三△FCD,可得4CDF=

Z.0DA,進而證明^ADM三△FDM,由乙NMF+乙FMP=乙NMP=45°,根據(jù)角度的等量換算可得2NMF=

Z.MD0,Z.NMB=Z.MD0,進而可得ZNMF=ZNMB；

(7)過點。作G7/0B,且。尸=0A,連接AF交CE于點G,連接8凡證明AB04三△ACF,可得84=AF,z.l=

Z2,進而可得45=45。，進而證明四邊形8ECF是平行四邊形，根據(jù)平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)可

得乙74-Z1=45°,即/?=45°

(8)過E作:PQJLOC,交DC于P,交月8于Q,連接BE,證明PE—PC,設PC—匹則PE—x,P。一6一刀，

EQ=6-x,證明△DE尸是等腰直角三角形，證明△DECSABEC,在Rt△CEP中，勾股定理求得DE=呼，

進而可得W,過點『作FH14C于點H,證明△DGC~AFGA,進而求得4G=2夜，進而求得GE,在Rt△KGF

=

中，勾股定理求得“G,進而求得S&￡FG，根據(jù)翻折的性質(zhì)求得,才艮據(jù)S&EOM=$四邊形DFME~^t^DFM

S^DEF+S^EFM-SADFM即可求得SAEDM=熱

【詳解】(1)若點尸在線段5c上，/1E=E艮理由如下，

過點E作yzi力o,交4。于y,交BC于z,

?.?四邊形48CQ是正方形，

:.AD=AB=BC,Z.DAB=匕ABC=乙。=Z.ADC=90°

又「YZ1AD

二四邊形48zy是矩形，

??"丫=BZ

vAD=AB,/.BAD=90°

:.Z.ADB=Z.ABD=乙DBC=45°

??.△ZBE是等腰直角三角形

:，BZ=EZ

???BZ=AY

：.ZE=AY

-AE1EF

Z-AEY+乙FEZ=90°

???Z-AYE=90°

:.Z.EAY+LAEY=90°

乙FEZ-^EAY

vAD/IBC,YZLAD

AYZ1BC

???Z.AYE=Z.EZF=90°

在與△￡1/二中，

(/.FEZ=Z-EAY

jZE=AY

\/-EZF=Z.AYE

^AEY三△EFZ

二AE=EF

BF),理由如下,

過E分別向48,8C作垂線，垂足分別為T,U,

?.?四邊形ABC。是正方形，

：.AB=AD,ABAD=90°

???四邊形T8UE是矩形，

Z.ADB=Z.ABD=乙DBC=45°

-ETLAB,EU1.BC

TB=TE,EU=BU,

???四邊形7TUE是正方形

TE=EUJE//FU

二HEF=Z.EFU

AE1EF

:.dEF+Z.AET=90°

???ET1AB

4EAT+AAET-90°

Z-TEF=Z-EAT

Z.EFU=4EAT

在△r區(qū)4與aUEF中

(Z.ATE=乙FUE=90°

jLEAT=Z.EFU

(TE=UE

：?△TEH三△UEF

:.AE=EF

過力作4P18。于匕過F作FW18。的延長線于點W,如圖,

W

?.?四邊形力BCO是正方形，

'.AB=AD,/.BAD=90°

:.Z.ADB=Z.ABD=45°

設正方形的邊長為a,

???AV1BD

AAV=BV=VD

在At△48。中，BD=\/AD2+AB2=V2AD=yfla,

二AV=—BD=-a

22

vAE1EF,AVLEV

???LAEV4-Z.EFW=90。，乙力EV4-Z.EAV=90°

:.Z-EFW=Z.EAV

???FW1WD,AV1BD

???Z.FWE=LAVE=90°

在△AEV和AEFW中

Z-EFW=Z.EAV

LFWE=LAVE

AE=EF

ALAEV三LEFW

EV=FW

vZ.FBW=Z.DBC=45°,FW1WB

^-FBW=90°-^BFW=45°

Z.WFB=Z.WBF

二FW=WB

:.BF=y/FW2+BW2=V2BW

即B3=亞?

2

???BW=EV

BE+BW=BE+EV=BV=AV=-a

2

V2y/2

"T-BF+BE=(i

BC=a

V2V2

A—FF+FF=—FC

22

即8E=/(BC-BF)

(3)如圖

D

由（1）可得尸一F〃，故①正確,

vAF1FH,AF=FH

是等腰直角三角形，

Z.HAE=45°

過力作4R1BD于R,

-AD=ABr￡BAD=90°

1

AAR=BR=DR=-BD

-ARLBDtHGLBD

???Z.ARF=乙FGH=90°

???Z-AFR+/.FAR=90°,Z.AFR+Z.GFH=90°

???/.FAR=Z.HFG

又???,4F=FH

???△ARFFGH

：.AR=FG

1

:.FG=2BD

故③正確，

如圖，過點4作4Q1HE于點Q,延長C8至Q,使BP=DE,

???Z.ADE=Z.ABP=90°,48=AD,DE=BP

ABP=△ADE

???乙DAE=Z.BAP

???Z.EAH=45°,LDAB=90°

Z.DAE+Z.HAB=45°

：./.BAP+Z.HAB=45°

即4/MP=乙EAH

-AP=AE,AH=AH

???△APHAEH

:.HE=HP

vPH=PB+BH=DE+BH=EH

CEH的周長為CE+EH+HC=CE+DE+BH+HC=CD+BC=2BC

???正方形的邊長為4

CE”的周長為2BC=8.

故④正確，

綜上所述，故正確的結(jié)論有①②③④，共計4個

故答案為：4

(4)如圖4,

由《1〉可得/IE-EF,故①正確；

如圖，過E作PQ〃。。，交4。,8c分別為點P,Q

???四邊形力BCD是正方形

???Z.ADC=乙DCB=90°

vPQ//DC

:.Z.DPQ=Z.PQC=90°

???四邊形PDCQ是矩形

同理，四邊形48QP是矩形，

:.DP=CQ,AP=BQ

?:乙FDE=乙EBQ=45°

二ADPE,ZkEQ/?是等腰直角三角形

:.PE=DP,EQ=QB

?.?四邊形ABQP是矩形

???BQ=AP

EQ=AP

在RMEFQ與R￡A/1EP中，

(AE=EF

(AP=EQ

???Rt△EFQ=RtAEP

PE=QF

1

:.DP=QF=-CF

^^.FDE=45°,Z.DPE=90°

lV2

DE=>/2DP=—CF

乙

:.CF=\f2DE

故②正確

如圖，過F作KF〃PQ交BD于點K.KN1PQ于N

則四邊形KNQ尸是矩形，

NK=QF

???Z.KBF=45°,/.KFB=90°

KE=V2BF

由②可知P。=QF

NK=DP,Z.DPE=乙KNE=90°,4KEN=乙DEP,

DPE三AKNE,

DE=EK,

???BE=BK+EK=DE+>/2BF,

故④正確：

由于M點的位置不確定，無法判斷SA4E”和的關系，故③不正確,

綜上所述正確的結(jié)論由①②④，共計3個；

故答案為：3,

(5)如圖5,在。。上取O，=OM,連接HM,

???OD=OB,OH=OM

AHD=MB/OHM=OMH

???4DHM=180°-45°=135°

vBN平分乙CBE

:.乙NBE=45°

乙MBN=135°

???Z-DHM=乙MBN

???DM1MN,LAOB=90°

:.乙DMO+乙NMB=90°

vZ.DMO+zHDM=90°

:.乙HDM=乙NMB

△HDM與△BMN中

乙HDM=乙BMN

DH=BM

乙DHM=Z.MBN

.??AHDM=ABMN

二DM=MN

(6)如圖6,在上一間的條件下，連接ON交3。于點凡連接FM,乙NMF=CNMB,理由如下,

延長B。至點4使得AO=CF,連接4。，過點M作MP1ON于點F,

vDC=DO/DOA=乙DCF=90°,CF=AO

**?△AOD=△FCD

Z.CDF=/.ODA,AD=DF

???DM=MN,DM1MN

:.Z.MDN=45°

???Z.CDO=90°

二（CDF+Z.MDO=90°-乙FDM=45°

ALODA4-ODM=450=Z.ADM

:.Z.ADM=Z.FDM

在△4OM與AFOM中，

AD=AF

Z-ADM=Z.FDM

DM=DM

二△ADM毛△FDM

???MP1DF

???乙FMF+Z.PFM=90°

vZ.DAO+乙ADO=90°

乙PMF=/.ODA

vZ.MDO+LODA=45°

:.Z.FMF+Z.MDO=45°

vDM=MN,MP1DN

PM-PN

：.Z-FMN=45°

乙NMF+乙FMP="IMP=45°

:.乙NMF=乙MDO

???乙NMB=Z.MDO

:.乙NMF=乙NMB

(7)夕的大小不變，￡=45。,理由如下,

過點C作。尸〃。8,且。F二。4,連接八廣交CE于點G,連接8尸，如圖,

vCF//OB,

???Z.EOA+Z.ACF=180°

vZ.BOA=90°

:.Z.ACF=90°

???Z.BOA=Z.ACF

又。8=AC,OA=CF

???△BOA￡△ACF

二BA=AF,Z.l=Z2

z.4=z5

Vzl+z3=90°

二乙2+43=90°

:.Z.BAF=180°-(z2+z3)=90°

:.z5=45°

vZ14-Z7=Z2+Z7=Z6

vBE//CF,BE-OA-CF

二四邊形BEC尸是平行四邊形

:.BF//CE

Z5=Z6=45°

:.47+=45°

即/?=45°

(8)如圖，過￡作PQ1DC,交DCTP,交4B于Q,連接BE,

PQ1AB

???四邊形4BCD是正方形，

Z.ACD=45°.

△PEC是等腰直角三角形，二PE=PC

設戶。=%則PE=x,PD=6-x,EQ=6-x

???PD=EQ

vZ.DPE=乙EQF=90°,乙PED=乙EFQ

DPEEQF(AAS)

DE=EFvDE1EF

△DEF是等腰直角三角形

DC=BC/DCE=乙BCE=45°,CE=CEDECBEC(SAS)

DE=BE

:.EF=BE

???EQ1FB

1

:.FQ=BQ=-FF

4B=/1D=6,F是48的中點

BF=3

3

:.FQ=BQ=PE=-

3V29

ACE=——,PD=-

22

在g△OEP中，DE=VDP24-PE2=后+；=呼

3710

：?EF=DE=---

2

過點F作FHJ.AC于點，，如圖，

AD=CD=6

AAC=6x/2

VDC//AB

???△DGCFGA

CGco6c

———=-=4

AGAF3

:.CG=2AG

:.AG—2^2

GE=AC-AG-CE=6>/2-2V2

-Z.FAC=45°,HFLAC

Z.FAC=Z.AFH=45°

=3

3a

:.AH=HF=-

V2

HC=—

乙

在Rt△〃GF中.FG=yjHG24-HF2==V5

113&5x/215

：?S^EFG=--GE'FH=-xx=—

???將AEFG沿七產(chǎn)翻折，得到△EFM,

:.S^EFM=7?FM=FG=y/5,Z.DFE=乙EFM=45°

二Z.DFM=90°

vDF=y/DA2+AF2=A/36+9=3而

1廠廠15

???SADFM=5x3V5xV5=—

S&EDM=SpiiajgDFME-S&DFM=^ADEF+^AEFAf-S^DFM

13V103/10151515

2X-x-+T"T=7

c_15

、AEDM=Y

故答案為:y

【點睛】本題考查了四邊形綜合題，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，等

腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等是解題的關鋌.

7.（2022上?吉林長春?七年級長春市第四十五中學?？计谥校┩ㄟ^對數(shù)學模型“K字”模型或“一線三等角”模

型的研究學習，解決下列問題:

［模型呈現(xiàn)］如圖1,4840=90。，AB=AD,過點8作BC14C于點C,過點。作DE14C于點￡求證:

BC=AE.

［模型應用］如圖2,4EJ.48且4E=48,8cle。且8C=C0,請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所

圍成的圖形的面積為.

［深入探究］如圖3,/.BAD=Z.CAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接BC,DE,且8cl4F于點足DE與

直線4尸交于點G.若BC=21,AF=12,則△4DG的面積為.

【答案】［模型呈現(xiàn)］見解析：1模型應用］50；［深入探究］63

【分析】［模型呈現(xiàn)］證明△ABC三△D4E,根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到BC-AE：

［模型應用］根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=8G=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,根扼梯

形的面枳公式計算，得到答案：

［深入探究］過點D作DP14G于P,過點E作EQ1AG交4G的延長線于Q,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DP=

AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF,證明ACPG三△EQG,得到PG=GQ.,進而求出4G,根據(jù)三

角形的面積公式計算即可.

【詳解】［模型呈現(xiàn)］證明：?.NB/W=90。，

：./.BAC+Z.DAE=90°,

\'BC1AC,DE1AC,

J.LACB=Z.DEA=90°,

：.^BAC+/.ABC=90°,

/.Z.ABC=乙DAE,

在AABC和AZME中，

(/.ABC=乙DAE

<Z.ACB=乙DAE,

(BA=AD

：.^ABC三△DHE(AAS),

：,BC=AE；

［模型應用］解：由［模型呈現(xiàn)］可知，AAEP三2BAG,△CBG三2DCH,

：.AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=8G=3,

則5.3線困|父的即你=-(4+6)x(3+6+4+3)--x3x6--x3x6--x3x4--x3x4=50,

D

GQ

故答案為：5()：

［深入探究］過點。作DP14G于P,過點E作EQ1AG交AG的延長線干Q,

由［模型呈現(xiàn)］可知，4AFB=△DPA,^AFC=△EQA,

：.DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BFtAQ=CF,

在aOPG和中，

(Z.DPG=Z.EQG

乙DGP=乙EGQ,

(DP=EQ

??.△DPG三△EQG(AAS),

：.PG=GQ,

?:BC=21,

：.AQ+AP=21,

.\AP+APPG+PG=21,

：,AG=AP+PG=1Q.5,

?'?SAAOQ=—x10.5x12-63,

故答案為：63.

【點睛】木題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計算，熟記三角形確定的判定定理是解題

的關鍵.

8.(2020上?河南安陽?八年級統(tǒng)考期耒)(1)如圖①.已知：在△ABC中，LBAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)

過點A,8。1直線m,CE1直線m,垂足分別為點。、E.則線段OE、8D與CE之間的數(shù)量關系是；

AEmDAEmDAEm

(2)如圖②，將(I)中的條件改為：在△A8C中，AB=AC,D,A,E三點都在直線〃?上，并且有/■/?>!=

z.AEC=^BAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問：(1)中的結(jié)論是還否成立？如成立，請你給出證明；

若不成立，請說明理由.

(3)拓展與應用：如圖③，D,E是D,A,E三點所在直線/〃上的兩動點(D,A,E三點互不重合)，點

”為乙8AC平分線上的一點，且△48”和A/IC/均為等邊三角形，連接3D、CE.若4BD4=4EC=乙/MC,

試判斷△0￡T的形狀，并說明理由.

【答案】(1)DE=BD+CE：(2)成立，證明見解析：(3)等邊三角形，理由見解析

【分析】(I)根據(jù)垂直的定義得到工8。4-“EA-90,根據(jù)等角的余角相等得到乙&4E-4/lB。，根據(jù)“AAS”

證明△408根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到4E=80,AD=CE,結(jié)合圖形得到0E=80+CE：

(2)根據(jù)48ZM=LAEC=Z.BAC,得到乙4B0=/.CAE,由AAS定理證明^ADB=△CE4,根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)得到3D=AE,DA=CE,得出結(jié)論；

(3)根據(jù)△ADBWACE4,得到80=4E,/.DBA=Z.CAE,證明△OBF￡4F(SAS),得到。尸=￡1凡

乙BFD=Z.AFE,求出乙DFE=60。，根據(jù)等邊三角形的判定定理得到答案.

【詳解】解：(1)DE=BD+CE.理由：如圖1,

vBD1直線m,CE1直線m,

Z.BDA=/.CEA=90。，

vZ.BAC=90°,

:./.BAD+LCAE=90°,

???/.BAD+乙ABD=90°,

???Z.CAE=Z.ABD,

在△4D8和△CE4中，

LABD=Z.CAE

乙ADB=/.CEA=90°,

BA=AC

???△ADB三ACEA(AAS),

:.AE=BD,AD=CE,

:.DE=AE+AD=BD+CE：

(2)(1)中結(jié)論成立，

理由如下：如圖2,=48AC=a,

???/.DBA+/.BAD=/.BAD+/.CAE=180°-a,

???/.DBA=Z.CAE,

在△ADB和△CEA中,

乙DBA=Z.CAE

Z.BDA=乙AEC?

BA=AC

???△ADBZACEA(AAS),

:.AE=BD,AD=CE,

二DE=AE+AD=BD+CE：

(3)結(jié)論：△DEF足等邊三角形.

理由：如圖3,由(2)可知，△4。8三^。￡4,

:.BD=AE,/.DBA=Z.CAE,

???△ABF^Wh4CF均為等邊三角形，

Z.ABF=Z.CAF=60°,BF=AF,

:./.DBA+Z.ABF=LCAE+LCAF,即乙DBF=LEAF,

在ADBF和△EAF中，

(FB=FA

UDBF=LEAF,

(BD=AE

.?.△D^F^AF/1F(SAS),

DF=EF,乙BFD=乙AFE,

Z.DFE=Z.DFA+Z.AFE=Z.DFA4-LBFD=60°,

???△DEF為等邊三角形.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定

理和性質(zhì)定理是解題的關鍵.

9.(2023上?湖南長沙?八年級統(tǒng)考階段練習)如圖，在平面直角坐標系中，點B(Q,b)是第二象限內(nèi)一點.

(2)如圖I,在(1)的條件下，動點C以每秒2個單位長度的速度從。點出發(fā)，沿x軸的負半軸方向運動，

同時動點4以每秒1個單位長度的速度從。點出發(fā)，沿y軸的正半軸方向運動