2024-2025學(xué)年湖南省永州一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省永州一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.雙曲線C:x23?A.3 B.23 C.32.已知a=(?2,1,3)，b=(?1,1,1)，若a→⊥(a→A.?2 B.?143 C.733.拋物線y=?1ax2A.y=a4 B.y=?4a C.y=?a4.平行六面體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，且∠A1AD=∠A1AB=60°，A.3

B.10

C.11

5.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作斜率為2的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若弦A.y2=125x B.y26.“太極圖”因其形狀如對(duì)稱的陰陽(yáng)兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽(yáng)魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點(diǎn)P(x,y)是陰影部分(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，則yx?2的最小值為(

)

A.?23 B.?32 C.7.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過(guò)F1的直線與y軸交于點(diǎn)M，與A.33 B.23 C.8.如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1BC1A.0,12 B.0,13 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法正確的是(

)A.“a=?1”是“直線a2x?y+1=0與直線x?ay?2=0互相垂直”的充要條件

B.“a=?2”是“直線ax+2y+a2=0與直線x+(a+1)y+1=0互相平行”的充要條件

C.直線xsinα+y+2=0的傾斜角θ的取值范圍是[0,π4]∪[3π4,π)

D.若點(diǎn)A(1,0)，10.已知圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O所在平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列判斷正確的是(

)A.當(dāng)點(diǎn)A在圓O內(nèi)(不與圓心重合)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是橢圓

B.點(diǎn)Q的軌跡可能是一個(gè)定點(diǎn)

C.點(diǎn)Q的軌跡不可能是圓

D.當(dāng)點(diǎn)A在圓O外時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是雙曲線11.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：對(duì)于形如(x?a)2+(y?b)2的代數(shù)式，可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)M(x,y)與N(a,b)的距離加以考慮.A.y=f(x)的圖象是軸對(duì)稱圖形 B.y=f(x)的值域是[0,4]

C.f(x)先減小后增大 D.方程f(f(x))=三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知點(diǎn)N是點(diǎn)M(3,3,4)在坐標(biāo)平面Oxz內(nèi)的射影，則|ON|=

．13.一動(dòng)圓與圓x2+y2+6x+5=014.已知橢圓C:x24+y23=1的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)全國(guó)執(zhí)業(yè)醫(yī)師證考試分實(shí)踐技能考試與醫(yī)學(xué)綜合筆試兩部分，每部分考試成績(jī)只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則執(zhí)業(yè)醫(yī)師考試“合格”，并頒發(fā)執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書。甲、乙、丙三人在醫(yī)學(xué)綜合筆試中“合格”的概率依次為45，34，23，在實(shí)踐技能考試中“合格”的概率依次為12，(1)假設(shè)甲、乙、丙三人同時(shí)進(jìn)行實(shí)踐技能考試與醫(yī)學(xué)綜合筆試兩項(xiàng)考試，誰(shuí)獲得執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書的可能性最大?(2)這三人進(jìn)行實(shí)踐技能考試與醫(yī)學(xué)綜合理論考試兩項(xiàng)考試后，求恰有兩人獲得執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書的概率．16.(本小題15分)

已知圓C：x2+y2?2x?6=0和定點(diǎn)A(?4,0)，直線l：y=m(x+6)?8(m∈R)．

(1)當(dāng)m=1時(shí)，求直線1被圓C所截得的弦長(zhǎng)；

(2)若直線l上存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作圓C的切線，切點(diǎn)為B，滿足17.(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D是B1C1的中點(diǎn)．

(1)證明：A118.(本小題17分)已知A、B分別為橢圓E：x2a2+y2=1(a>1)的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG?GB=8，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過(guò)定點(diǎn)．19.(本小題17分)

若函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值x1，在其定義域內(nèi)都存在唯一的x2，使得f(x1)f(x2)=1成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”．

(1)判斷函數(shù)g(x)=sinx是否為“依賴函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(2)若函數(shù)f(x)=2x?1在定義域[m,n](m>0)上為“依賴函數(shù)”，求mn的取值范圍；

(3)已知函數(shù)?(x)=(x?a)2(a≥參考答案1.D

2.C

3.A

4.C

5.B

6.C

7.D

8.A

9.BCD

10.ABD

11.ACD

12.5

13.x214.215.解：(1)記甲乙丙三人在醫(yī)學(xué)綜合筆試中合格依次為A1，B1，C1，在實(shí)踐考試中合格依次為A2，B2，C2，

則甲乙丙獲得執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書依次為A1A2，B1B2，C1C2，

并且A1與A2，B1與B2，C1與C2相互獨(dú)立，

P(A1A2)=45×12=25;

P(B16.解：(1)圓C：(x?1)2+y2=7，圓心C(1,0)，半徑r=7，

當(dāng)m=1時(shí)，直線l的方程為x?y?2=0，所以圓心C到直線l的距離d=|1?0?2|2=22，

故弦長(zhǎng)為2r2?d2=27?(22)2=26；

(2)設(shè)M(x,y)，則|MB|=|MC|2?r2=x2+y2?2x?6，

由17.解：(1)證明：取BC的中點(diǎn)O，連接AO，A1O，

因?yàn)锳B=AC=2，D是B1C1的中點(diǎn)，所以A1D⊥B1C1，

因?yàn)锽C/?/B1C1，∴A1D⊥BC，

因?yàn)锳1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，所以A1O⊥平面ABC，

又平面ABC/?/平面A1B1C1，所以A1O⊥平面A1B1C1，

又A1D?面A1B1C1，所以A1O⊥A1D，

因?yàn)锳1O∩BC=O，A1O，BC?平面A1BC，

所以A1D⊥平面A1BC；

(2)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A、OB、OA1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則BC=2AC=22，A1O=AA118.解：由題意A(?a,0),B(a,0),G(0,1),AG?∴橢圓E的方程為x2(2)由(1)知A(?3,0),B(3,0),

設(shè)P6,m，則直線PA的方程為y=聯(lián)立y=由韋達(dá)定理?3xC=9m2?819+m2?xC直線PB的方程為y=m聯(lián)立y=由韋達(dá)定理3xD=9m2?91+m2?xD∴直線CD的斜率kCD∴直線CD的方程為y??2m整理得y=4m∴直線CD過(guò)定點(diǎn)32

19.解：(1)對(duì)于函數(shù)g(x)=sinx的定義域R內(nèi)存在x1=π6，則g(x2)=2無(wú)解，

故g(x)=sinx不是“依賴函數(shù)”；

(2)因?yàn)閒(x)=2x?1在[m,n]遞增，故f(m)f(n)=1，即2m?12n?1=1，m+n=2，

由n>m>0，故n=2?m>m>0，得0<m<1，

從而mn=m(2?m)=?m?12+1在(0,