七章第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)教案

主講：貴州師大數(shù)計(jì)學(xué)院陳云坤《高等數(shù)學(xué)》——物理類(lèi)專(zhuān)用第七章多元函數(shù)微分學(xué)二、方向?qū)?shù)第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三、二元函數(shù)的泰勒展示四、二元函數(shù)的極值一、幾何應(yīng)用復(fù)習(xí):平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法線(xiàn)已知平面光滑曲線(xiàn)切線(xiàn)方程法線(xiàn)方程若平面光滑曲線(xiàn)方程為故在點(diǎn)切線(xiàn)方程法線(xiàn)方程在點(diǎn)有有因（1）.曲線(xiàn)方程為參數(shù)方程的情況切線(xiàn)方程此處要求也是法平面的法向量,切線(xiàn)的方向向量:稱(chēng)為曲線(xiàn)的切向量.如個(gè)別為0,則理解為分子為0.不全為0,因此得法平面方程

說(shuō)明:若引進(jìn)向量函數(shù),則

為r(t)的矢端曲線(xiàn),處的導(dǎo)向量就是該點(diǎn)的切向量.例1.求圓柱螺旋線(xiàn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線(xiàn)方程和法平面方程.切線(xiàn)方程法平面方程即即解:

由于對(duì)應(yīng)的切向量為在,故（2）.曲線(xiàn)為一般式的情況光滑曲線(xiàn)當(dāng)曲線(xiàn)上一點(diǎn),且有時(shí),可表示為處的切向量為則在點(diǎn)切線(xiàn)方程法平面方程有或也可表為法平面方程例2.

求曲線(xiàn)在點(diǎn)M(1,–2,1)處的切線(xiàn)方程與法平面方程.切線(xiàn)方程解法1令則即切向量法平面方程即解法2.方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo),得曲線(xiàn)在點(diǎn)M(1,–2,1)處有:切向量解得切線(xiàn)方程即法平面方程即點(diǎn)M(1,–2,1)處的切向量2、曲面的切平面與法線(xiàn)

設(shè)有光滑曲面通過(guò)其上定點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)M,切線(xiàn)方程為不全為0.則

在且點(diǎn)M的切向量為任意引一條光滑曲線(xiàn)下面證明:此平面稱(chēng)為

在該點(diǎn)的切平面.

上過(guò)點(diǎn)M的任何曲線(xiàn)在該點(diǎn)的切線(xiàn)都在同一平面上.*證:在上,得令由于曲線(xiàn)

的任意性,表明這些切線(xiàn)都在以為法向量的平面上,從而切平面存在.曲面

在點(diǎn)M的法向量法線(xiàn)方程切平面方程曲面時(shí),則在點(diǎn)故當(dāng)函數(shù)法線(xiàn)方程令特別,當(dāng)光滑曲面

的方程為顯式

在點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí),切平面方程法向量用將法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分別記為則向上,例3.

求球面在點(diǎn)(1,2,3)處的切平面及法線(xiàn)方程.解:所以球面在點(diǎn)(1,2,3)處有:切平面方程即法線(xiàn)方程法向量令例4.確定正數(shù)

使曲面在點(diǎn)解:二曲面在M點(diǎn)的法向量分別為二曲面在點(diǎn)M相切,故又點(diǎn)M在球面上,于是有相切.與球面,因此有思考與練習(xí)1.如果平面與橢球面相切,提示:設(shè)切點(diǎn)為則(二法向量平行)(切點(diǎn)在平面上)(切點(diǎn)在橢球面上)2.求曲線(xiàn)在點(diǎn)(1,1,1)的切線(xiàn)解:點(diǎn)(1,1,1)處兩曲面的法向量為因此切線(xiàn)的方向向量為由此得切線(xiàn):法平面:即與法平面.證明曲面上任一點(diǎn)處的切平面都通過(guò)原點(diǎn).提示:在曲面上任意取一點(diǎn)則通過(guò)此3.設(shè)f(u)可微,證明原點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足上述方程.點(diǎn)的切平面為1.

證明曲面與定直線(xiàn)平行,證:曲面上任一點(diǎn)的法向量取定直線(xiàn)的方向向量為則(定向量)故結(jié)論成立.的所有切平面恒備用題二、方向?qū)?shù)定義:若函數(shù)則稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)P處沿方向l

的方向?qū)?shù).在點(diǎn)處沿方向l

(方向角為)存在下列極限:記作定理:則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向

l

的方向?qū)?shù)存在,證明:由函數(shù)且有在點(diǎn)P可微,得故對(duì)于二元函數(shù)為,)的方向?qū)?shù)為向角特別:?當(dāng)l與x軸同向?當(dāng)l與x軸反向例1.求函數(shù)

在點(diǎn)P(1,1,1)沿向量3)的方向?qū)?shù).解:向量l的方向余弦為例2.

求函數(shù)在點(diǎn)P(2,3)沿曲線(xiàn)朝x增大方向的方向?qū)?shù).解:將已知曲線(xiàn)用參數(shù)方程表示為它在點(diǎn)P的切向量為例3.設(shè)是曲面在點(diǎn)P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向?qū)?shù).在點(diǎn)P處沿求函數(shù)思考與練習(xí)1、設(shè)函數(shù)求函數(shù)在點(diǎn)M(1,1,1)處沿曲線(xiàn)在該點(diǎn)切線(xiàn)方向的方向?qū)?shù);曲線(xiàn)在點(diǎn)解答提示:函數(shù)沿l的方向?qū)?shù)M(1,1,1)處切線(xiàn)的方向向量指向B(3,－2,2)方向的方向?qū)?shù)是

.在點(diǎn)A(1,0,1)處沿點(diǎn)A2.函數(shù)提示:則(96考研)三、二元函數(shù)的泰勒公式一元函數(shù)的泰勒公式:推廣多元函數(shù)泰勒公式記號(hào)(設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)):

一般地,

表示表示定理1.的某一鄰域內(nèi)有直到n+1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn),則有其中①②①稱(chēng)為f在點(diǎn)(x0,y0)的n階泰勒公式,②稱(chēng)為其拉格朗日型余項(xiàng).證:令則利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得:一般地,由的麥克勞林公式,得將前述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式.說(shuō)明:(1)余項(xiàng)估計(jì)式.因f的各n+1階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),在某閉鄰域其絕對(duì)值必有上界

M,則有(2)當(dāng)n=0時(shí),得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式:(3)若函數(shù)在區(qū)域D上的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)恒為零,由中值公式可知在該區(qū)域上例1.求函數(shù)解:的三階泰勒公式.因此,其中四、二元函數(shù)的極值定義:若函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有1、極值的定義例如:在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無(wú)極值.說(shuō)明:

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱(chēng)為駐點(diǎn).例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值,則有存在故時(shí),具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒(méi)有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)*證:由二元函數(shù)的泰勒公式,并注意則有所以其中

,

,

是當(dāng)h→0,k→0時(shí)的無(wú)窮小量,于是(1)當(dāng)AC－B2＞0時(shí),必有A≠0,且A與C同號(hào),可見(jiàn),從而△z＞0,因此從而△z＜0,(2)當(dāng)AC－B2＜0時(shí),若A,C不全為零,無(wú)妨設(shè)A≠0,則時(shí),有異號(hào);同號(hào).可見(jiàn)△z在(x0,y0)鄰近有正有負(fù),++－若A＝C

＝0,則必有B≠0,不妨設(shè)B＞0,此時(shí)可見(jiàn)△z在(x0,y0)鄰近有正有負(fù),(3)當(dāng)AC－B2＝0時(shí),若A≠0,則若A＝0,則B＝0,為零或非零此時(shí)因此不能斷定(x0,y0)是否為極值點(diǎn).例1.求函數(shù)解:

第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在(0,0)都有可能為2、最值應(yīng)用問(wèn)題函數(shù)f在閉域上連續(xù)函數(shù)f在閉域上可達(dá)到最值最值可疑點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別,

當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)例3.解:設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠(chǎng)要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水箱問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí),水箱所用材料最省.例4.有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板,把它折起來(lái)做成解:設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為xcm,則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問(wèn)怎樣折法才能使斷面面令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達(dá)到,而在域D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.3、條件極值極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問(wèn)題,極值點(diǎn)必滿(mǎn)足設(shè)記例如,故故有引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱(chēng)為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿(mǎn)足則極值點(diǎn)滿(mǎn)足:朗日函數(shù)求極值的方法稱(chēng)為拉格朗日乘數(shù)法.推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).例如,求函數(shù)下的極值.在條件例5.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為則問(wèn)題為求x,y,令解方程組解:設(shè)x,y,z分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？的長(zhǎng)方體開(kāi)口水箱,試問(wèn)得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的2倍時(shí)，所用材料最省.因此,當(dāng)高為思考:1)當(dāng)水箱封閉時(shí),長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何?提示:利用對(duì)稱(chēng)性可知,2)當(dāng)開(kāi)口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí),欲使造價(jià)最省,應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)?長(zhǎng)、寬、高尺寸如何?提示:長(zhǎng)、寬、高尺寸相等.已知平面上兩定點(diǎn)A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點(diǎn)C,使△ABC面積S△最大.解答提示:設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),思考與練習(xí)則設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知,點(diǎn)C與E重合時(shí),三角形面積最大.備用題

1.求半徑為R

的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解:設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對(duì)的圓心角為x,y,z,則它們所對(duì)應(yīng)的三個(gè)三角形面積分別為設(shè)拉氏函數(shù)解方程組,得故圓內(nèi)接正三角形面積最大,最大面積為為邊的面積最大的四邊形,試列出其目標(biāo)函數(shù)和約束條件?提示:目標(biāo)函數(shù):約束條件:答案:即四邊形內(nèi)接于圓時(shí)面積最大.2.求平面上以問(wèn)題的提出:已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求它們的近似函數(shù)關(guān)系y＝f(x).需要解決兩個(gè)問(wèn)題:1.確定近似函數(shù)的類(lèi)型根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布規(guī)律根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景2.確定近似函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有誤差,不能要求4、最小二乘法偏差有正有負(fù),值都較小且便于計(jì)算,可由偏差平方和最小為使所有偏差的絕對(duì)來(lái)確定近似函數(shù)f(x).最小二乘法原理:設(shè)有一列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分布在某條曲線(xiàn)上,通過(guò)偏差平方和最小求該曲線(xiàn)的方法稱(chēng)為最小二乘法,找出的函數(shù)關(guān)系稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)公式.,它們大體特別,當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布近似一條直線(xiàn)時(shí),問(wèn)題為確定a,b令滿(mǎn)足:使得解此線(xiàn)性方程組即得a,b稱(chēng)為法方程組例1.為了測(cè)定刀具的磨損速度,每隔1小時(shí)測(cè)一次刀具的厚度,得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:找出一個(gè)能使上述數(shù)據(jù)大體適合的經(jīng)驗(yàn)公式.解:通過(guò)在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)可看出它們大致在一條直線(xiàn)上,列表計(jì)算:故可設(shè)經(jīng)驗(yàn)公式為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567得法方程組解得故所求經(jīng)驗(yàn)公式為0027.0074924.8137.628140208.5717.0為衡量上述經(jīng)驗(yàn)公式的優(yōu)劣,計(jì)算各點(diǎn)偏差如下:稱(chēng)為均方誤差,對(duì)本題均方誤差它在一定程度上反映了經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的好壞.偏差平方和為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.0860.093－0.200稱(chēng)為均方誤差,對(duì)本題均方誤差它在一定程度上反映了經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的好壞.偏差平方和為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.0860.093－0.200例2.

在研究某單分子化學(xué)反應(yīng)速度時(shí),得到下列數(shù)據(jù):57.641.931.022.716.612.28.96.53691215182124123