優(yōu)化設(shè)計講解材料

第二章優(yōu)化設(shè)計2.1概述一、基本概念：1．什么是機械優(yōu)化設(shè)計在設(shè)計過程中，常常需要根據(jù)產(chǎn)品設(shè)計的要求，合理確定各種參數(shù)，例如：重量、成本、性能、承載能力等等，以期達到最佳的設(shè)計目標。這就是說，一項工程設(shè)計總是要求在一定的技術(shù)和物質(zhì)條件下，取得一個技術(shù)經(jīng)濟指標為最佳的設(shè)計方案。優(yōu)化設(shè)計就是在這樣一種思想指導(dǎo)下產(chǎn)生和發(fā)展起來的。機械優(yōu)化設(shè)計是使某項機械設(shè)計在規(guī)定的各種設(shè)計限制條件下，優(yōu)選設(shè)計參數(shù)，使某項或幾項設(shè)計指標獲得最優(yōu)值。工程設(shè)計上的“最優(yōu)值”(Optimum)或“最佳值”，系指在滿足多種設(shè)計目標和約束條件下所獲得的最令人滿意和最適宜的值。

下面舉2個簡單的例子來說明最優(yōu)化設(shè)計的基本概念和過程。例題2-1已知用直徑D和高h的圓木做一矩形截面梁，如圖2-1所示。如何選擇矩形截面的寬b，使其抗彎強度截面系數(shù)最大？

圖2-1矩形截面梁解：1.建立最優(yōu)化數(shù)學模型由抗彎強度截面系數(shù)求最大抗彎強度截面系數(shù)的問題可表述為求變量使函數(shù)極大化

受約束于

例：設(shè)邊長6㎝的方形鐵板，將四角截去相等的正方形，然后折成一個無蓋的盒子，試求截去的小正方形邊長為多少時盒子的體積最大？故不符合題意例:設(shè)計一人字架,已知頂端受外力

N人字架跨度2B=152㎝,架為圓鋼管,其彈性摸量材料密度為

許用應(yīng)力

鋼管壁厚t=0.25㎝,求滿足強度條件和穩(wěn)定條件下鋼管總重量最輕的設(shè)計方案?例題圖

解:①重量最輕的數(shù)學描述②強度條件的數(shù)學描述式中:

③穩(wěn)定條件的數(shù)學模型即：

式中:

優(yōu)化設(shè)計工作包括兩部分內(nèi)容：(1)將設(shè)計問題的物理模型轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學模型。建立數(shù)學模型時要選取設(shè)計變量、列出目標函數(shù)、給出約束條件。目標函數(shù)是設(shè)計問題所要求的最優(yōu)指標與設(shè)計變量之間的函數(shù)關(guān)系式。(2)采用適當?shù)淖顑?yōu)化方法求解數(shù)學模型。可歸結(jié)為在給定的條件(例如約束條件)下求目標函數(shù)的極值或最優(yōu)值問題。2．優(yōu)化設(shè)計的發(fā)展及其應(yīng)用以機械設(shè)計情況為例，采用最優(yōu)化技術(shù)始于六十年代，早期的機械優(yōu)化設(shè)計大多集中在機構(gòu)學問題上，特別是機構(gòu)運動參數(shù)的優(yōu)化選擇方面，以后逐漸發(fā)展到機構(gòu)動力學優(yōu)化設(shè)計和機械零部件及機械產(chǎn)品的優(yōu)化設(shè)計。國內(nèi)對機械優(yōu)化設(shè)計的研究和應(yīng)用是從七十年代中期開始的，近十幾年來發(fā)展十分迅速，目前已取得一定的成就，并正在向縱深方向繼續(xù)發(fā)展。目前，就國內(nèi)所開展的工作來看，無論是在優(yōu)化設(shè)計方法軟件研究方面，還是在機械產(chǎn)品優(yōu)化設(shè)計的實際應(yīng)用方面都取得了顯著的成果。實踐證明，采用優(yōu)化設(shè)計方法可以有效地提高設(shè)計質(zhì)量，縮短設(shè)計周期，取得較為顯著的經(jīng)濟效果。例如英國PN．辛格采用優(yōu)化設(shè)計方法設(shè)計了一種十級轉(zhuǎn)速的機床主軸箱，使各軸間的中心距總和比用傳統(tǒng)設(shè)計方法所取得的結(jié)果減小16．55％，從而體積和重量也相應(yīng)的減小。意大利GL扎羅蒂用優(yōu)化設(shè)計方法對工程機械中的柴油機、變距器和變速相作最佳匹配設(shè)計，顯著提高了性能。我國葛洲壩二號船閘人字門啟閉機構(gòu)經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計，使驅(qū)動力矩由400t．m降為232.2t.m，我國廣州造船廠將優(yōu)化方法用于船用螺旋槳的葉型及葉截面設(shè)計中，并由繪圖機自接輸出圖形，從而節(jié)省了大量的人力和物力，取得了滿意的結(jié)果。由這些事例不難看出，優(yōu)化設(shè)計方法的進一步推廣應(yīng)用，必將為提高機械產(chǎn)品設(shè)計質(zhì)量、降低產(chǎn)品成本、縮短設(shè)計周期等方而帶來明顯的效益。二.優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學模型①確定設(shè)計變量：n維向量一組待求的設(shè)計參數(shù)，相互獨立設(shè)計變量（1）連續(xù)變量：大多數(shù)機械優(yōu)化問題中的設(shè)計變量都是連續(xù)變量（2）離散變量：齒數(shù)、模數(shù)②建立數(shù)學模型→目標函數(shù)求極小化問題2.1數(shù)學模型的三個基本要素若求的極大化，則應(yīng)寫成③約束條件：對設(shè)計變量的限制a.不等式約束：或（式中m為約束條件個數(shù)）b.等式約束：

；

等式約束條件數(shù)必須小于設(shè)計變量的維數(shù)。因為一個等式約束可以消去一個設(shè)計變量。當時，即可由p個方程組解得唯一的一組設(shè)計變量這樣，只有唯一確定的方案，無優(yōu)化可言2.2優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學模型一般形式：求使

約束：

s.t.

通過優(yōu)化方法對數(shù)學模型求解，可得一組設(shè)計變量最優(yōu)點最優(yōu)值表示n維空間,包括了所有設(shè)計變量,稱為設(shè)計空間2.3數(shù)學模型的幾何意義:a.設(shè)計變量(n=2為例)b.目標函數(shù)的等值線(面)為常數(shù)i=1,2……ki=1,2

c.可行域:由滿足約束條件

2維目標函數(shù)等值線

的在空間構(gòu)成的區(qū)域稱為可行域,否則稱為非可行域.在可行域內(nèi)的點稱為可行點.以n=2為例:設(shè)

三.優(yōu)化數(shù)學模型的求解方法及優(yōu)化設(shè)計問題的分類:1.優(yōu)化設(shè)計問題的分類:

①按約束情況來分:無約束：其數(shù)學模型為約束優(yōu)化其數(shù)學模型為:同一般形式②按是否線性分：線性優(yōu)化非線性優(yōu)化③按的維數(shù)分：一維優(yōu)化（也稱一維搜索）多維優(yōu)化④按目標函數(shù)的個數(shù)分：單目標多目標2.求解方法：求解最優(yōu)化數(shù)學模型的方法有解析法（求導(dǎo)法）、圖解法、數(shù)值迭代法，對于2維以下最優(yōu)化問題較簡單，可采用前兩種方法。但是，大多數(shù)工程最優(yōu)化設(shè)計問題都是2維以上最優(yōu)化問題，即設(shè)計變量分量的個數(shù)2個以上，大型復(fù)雜工程最優(yōu)化設(shè)計問題的設(shè)計變量分量的個數(shù)可高達數(shù)十個,甚至上百個。顯然，2維以上最優(yōu)化問題用解析法和圖解法變得不適宜。對于式（2-1）給出的最優(yōu)化數(shù)學模型，通常采用數(shù)值迭代法。1)數(shù)值迭代法：

a.定義：從初始設(shè)計點出發(fā)，按一定的方向通過有限步計算獲得最優(yōu)解的方法稱作數(shù)值迭代法.無論是無約束優(yōu)化問題還是約束優(yōu)化問題,從實質(zhì)上講都是求極值的數(shù)學問題.但是優(yōu)化計算中的求優(yōu)方法與數(shù)學中的微分學求極值方法是不同的b.數(shù)值迭代法的特點:按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)進行反復(fù)的數(shù)值計算,尋求函數(shù)值不斷下降的設(shè)計點,直到最后獲得足夠精度的的近似解時就終止計算,具有這種特點的計算方法稱為數(shù)值迭代法.c.迭代計算公式:

且有式中為第k步設(shè)計點,為迭代步長,為迭代方向.當或足夠靠近時,停止迭代.得最優(yōu)解其幾何意義如圖所示,顯然數(shù)值迭代的計算工作量是很大的,所以迭代法必須借助于計算機進行運算?？偨Y(jié):

1>根據(jù)基本迭代公式,每次迭代獲得的新迭代點的目標函數(shù)值都必須滿足函數(shù)值不斷下降的要求(尋求最優(yōu)下降方向問題)即滿足適用性要求.如果適用性和可行性兼?zhèn)?再繼續(xù)下一次迭代,最終得到接近該函數(shù)的約束最優(yōu)點的近似最優(yōu)點2>最后獲得的最優(yōu)點,只是一個接近理論最優(yōu)點的近似最優(yōu)點也就是說:每次迭代得到的新迭代點是不斷向理論最優(yōu)點靠攏.即迭代問題的解具有收斂性.3>從迭代的計算公式可以看出優(yōu)化方法的主要問題是解決迭代方向和迭代步長的問題.目前主要的各種優(yōu)化方法主要在選取迭代方向或迭代步長上顯示出各自的特色,但有一點是共同的,它們必須易于通過數(shù)值計算獲得使目標函數(shù)值穩(wěn)定下降.3.數(shù)值迭代方法的終止準則:數(shù)值迭代法求優(yōu)過程使逐步向理論最優(yōu)點靠攏,接近理論最優(yōu)點的近似解.因此,迭代過程不可能無限制的進行，那么什么時候終止迭代呢?這就有一個迭代終止的準則的問題.對于無約束優(yōu)化問題通常采用的迭代終止準則有以下幾種:1>點距準則:相鄰兩個迭代點之間的距離達到足夠小即或

2>函數(shù)值下降準則:相鄰兩次迭代點的函數(shù)值下降量已達到足夠小絕對下降量:相對下降量:

3>梯度準則:根據(jù)迭代點的函數(shù)梯度達到足夠小上式中的是根據(jù)設(shè)計要求預(yù)先給定的迭代精度一般為在優(yōu)化設(shè)計過程中,一般只要滿足以上終止準則之一,則可以認為設(shè)計點收斂于極值點.對于約束優(yōu)化問題,不同的優(yōu)化方法有各自的終止準則,另作介紹.2）解析法:微分法,適用函數(shù)簡單,維數(shù)較少的場合3）圖解法:作圖求解,適用于二維以下問題2.4優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學基礎(chǔ)一.二次型與正定矩陣1.二次型函數(shù)及矩陣表達式由高等數(shù)學和線性代數(shù)知識可知二次型函數(shù)的形式為:矩陣表示形式為:式中為n維向量A為n階對稱矩陣即矩陣元素2.正定矩陣及應(yīng)滿足條件:若對于任一向量中的不全為零,恒有A為實對稱矩陣即則稱A為正定矩陣,且A為正定矩陣的充要條件為:各階主子行列式均大于零,即

……

二.方向?qū)?shù)與梯度:1.方向?qū)?shù)(以二元函數(shù)為例說明)方向?qū)?shù)是偏導(dǎo)數(shù)概念的推廣,偏導(dǎo)數(shù)是方向?qū)?shù)的特例.①方向?qū)?shù)的表達式:設(shè)二元函數(shù)在方向上的導(dǎo)數(shù)可寫為:寫成矩陣形式為:對n元函數(shù)則有:②幾何意義:偏導(dǎo)數(shù)也可看成是函數(shù)分別沿坐標軸方向的方向?qū)?shù).所以,方向?qū)?shù)是偏導(dǎo)數(shù)概念的推廣,偏導(dǎo)數(shù)是方向?qū)?shù)的特例。2.梯度

①梯度表達式函數(shù)在某點的方向?qū)?shù)表明函數(shù)沿某方向S的變化率。一般來說，函數(shù)在某一確定點沿不同方向的變化率是不同的。為了求得函數(shù)在某點的方向?qū)?shù)為最大的方向.就需要引入梯度的概念。梯度解決了函數(shù)沿那個方向的變化率最大，最大變化率又是多少的問題。稱為函數(shù)在點處的梯度梯度的模方向（二元函數(shù)）梯度與X軸正向所成的角的正切②梯度的幾何意義同時設(shè)S----單位向量則方向?qū)?shù)表示為式中代表梯度向量的模代表單位向量的模即為1表示梯度向量方向夾角的余弦此式表明函數(shù)沿S方向的方向?qū)?shù)等于向量在方向S上的投影，且當即向量與的方向相同時，向量在方向S上的投影最大，其值為這表明梯度是點處方向?qū)?shù)最大的方向。也就是函數(shù)變化率最大的方向。特征:梯度方向為等值線或等值面在點的法線方向方向是函數(shù)的最快增大方向方向是函數(shù)的最快下降方向優(yōu)化設(shè)計中，用負梯度方向梯度方向與等值面的關(guān)系梯度方向與等值線的關(guān)系例:求二元函數(shù)在處的梯度及梯度的模解:

模S梯度單位向量1212圖中可以看出在處函數(shù)的梯度方向是點處函數(shù)變化率最大的方向，即等值線的法線方向，也就是同心圓的半徑方向。三、泰勒級數(shù)及海色矩陣1.泰勒級數(shù)：（構(gòu)造迭代方向和確定迭代步長時要用到）(1)二元函數(shù)由高等數(shù)學可知：以二元函數(shù)為例，函數(shù)在點的泰勒級數(shù)的形式為：寫成矩陣形式為：式中就是二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣稱為海色矩陣（2）多元函數(shù)將二元函數(shù)泰勒展開式推廣到多元函數(shù)則它的泰勒級數(shù)的矩陣的表達形式為：稱為多元函數(shù)的海色矩陣，且為nXn階對稱方陣四、凸集與凸函數(shù)概述1.凸集設(shè)D為n維歐氏空間中的一個集合,若對任意并且連接它們的線段仍在D中，兩點,即對任意實數(shù)使連線則稱這種集合為凸集，否則D為非凸集。

abcab非凸集c凸集則為上的凸函數(shù)。3、幾何意義點A點B連一直線,設(shè)直線方程為，若區(qū)間內(nèi)任意點所對應(yīng)的函數(shù)值2、凸函數(shù)設(shè)D為中的一個凸集，為定義在D上的一個函數(shù)，若對于任何實數(shù)和內(nèi)任意兩點恒有該點的函數(shù)值都小于如果是凸集上的凸函數(shù)，并且在內(nèi)有極小點，則極小點是唯一的。若在區(qū)間內(nèi)為凸函數(shù),則曲線上任意兩點A,B間（與相對應(yīng))所連成的直線上的點總不會落在這兩點間曲線的下方,即大于相應(yīng)點的函數(shù)值。xaKBAb4、性質(zhì)（1）設(shè)為定義在凸集上的凸函數(shù),則對于任意正實數(shù)函數(shù)

在凸函數(shù)。上也是（2）設(shè)和為定義在凸集上的凸函數(shù)則有正實數(shù)則線性組合也是上的凸函數(shù)。（3）若函數(shù)在n維歐氏空間二階可微則對于任意為凸函數(shù)的充分必要條件為：（4）若函數(shù)在二階可微，則對于任意在凸集上為凸函數(shù)充分必要條件是：海色矩陣為半正定的，若的，則是正定在上為嚴格凸函數(shù)。利用以上性質(zhì)，可以判斷函數(shù)的凸性。五、函數(shù)的極值1.無約束優(yōu)化問題的極值條件設(shè)多元函數(shù)在點的近似泰勒展開式為：則極值存在的必要條件為：一階導(dǎo)數(shù)向量等于零,即：梯度

充分條件：二階導(dǎo)數(shù)矩陣(海色矩陣為正定矩陣)判斷矩陣A是正定矩陣,檢驗矩陣A的各主子式的行列式之值,若各階主子式的行列式值均大于零。即當時，有：則設(shè)矩陣A是正定，若各階主子式的值是負、正交替變化符號。則該矩陣A是負定。例:判定是否有極值，若存在極值求出極值點解：由必要條件得由充分條件：各階主子式故為正定。因此，極值點2.約束優(yōu)化問題的極值條件求解約束優(yōu)化問題的實質(zhì)是在約束條件所形成的可行域內(nèi)，求得目標函數(shù)的極值點，即約束最優(yōu)點。由于約束最優(yōu)點不僅與目標函數(shù)本身的性質(zhì)有關(guān)，而且還與約束函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，因此約束條件下的優(yōu)化問題比無約束條件下的優(yōu)化問題更為復(fù)雜。一般約束優(yōu)化問題的最優(yōu)點X*，在其可行域上所處位置有兩種情況：一種情況是最優(yōu)點X*落在可行域內(nèi)部，此時的所有約束均為非適時約束，這就是說，目標函數(shù)無約束最優(yōu)點也就是約束最優(yōu)點，無約束極值理論在此適用。另一種情況(大多數(shù)情況)是最優(yōu)點落在約束界面上（極小點在可行域的邊界上），對于這種情況，其極值條件不僅與目標函數(shù)有關(guān)而且也與約束集合的性質(zhì)有關(guān)。二維約束優(yōu)化問題的幾種情況·X*·f(x)·x*圖2—11a所示的目標函數(shù)是凸函數(shù)，三個約束方程的邊界值在設(shè)計空間中形成的可行域R是一個凸集。由圖中可以看到，橢圓形等值線族的中心點X*是目標函數(shù)的無約束最優(yōu)點，由于X*處在可行域內(nèi)，故它也是目標函數(shù)的約束最優(yōu)點。由此可看出，所有的約束條件，對最優(yōu)點都不起作用時，可以不考慮這些約束，而用無約束極值條件來確定極小點。圖2——11b所示的目標函數(shù)和約束函數(shù)都是凸函數(shù)。約束邊界與目標函數(shù)的等值線在X*點相切，而將目標函數(shù)的無約束極值點X*劃到可行域之外，因此，目標函數(shù)的約束最優(yōu)點既是切點X*。這里只有約束曲線g1(x)＝0是起作用約束。(1)等式約束設(shè)目標函數(shù)為約束函數(shù)則有新函數(shù)為式中

為拉格朗日乘子。由無約束極值條件,則的極值必要條件為:由上述解出的即為目標函數(shù)的極值點例:求函數(shù)的極值點,受約束于解：由約束極值必要條件：代入

中

極值點為

(2)不等式約束極值條件（Kuhn-Tuker條件）設(shè)目標函數(shù)為受約束于則有新函數(shù)為式中

為將的松弛變量，轉(zhuǎn)化為等式約束（等式約束極值條件得）存在極值的必要條件對于凸函數(shù)（目標函數(shù)）K-T條件也是充分條件，此時為部分最優(yōu)解，也必為問題全局的最優(yōu)解。將上式中松弛變量消去得3.既有不等式約束又有等式約束問題K-T條件這個概念可以推廣到n維設(shè)計空間的具有m個不等式