【教無憂】高中數(shù)學同步講義（人教B版2019選擇性必修一）第44講 專題2-9 拋物線性質(zhì)十一大題型

專題2-9拋物線性質(zhì)十一大題型匯總題型1拋物線定義 2題型2焦半徑 6題型3焦半徑二級結論 10題型4焦點弦 14題型5中位線相關 23題型6焦點定比值二級結論 30題型7切線 35題型8最值與取值范圍 43題型9拋物線與圓 49題型10拋物線與橢圓 56題型11拋物線與雙曲線 63知識點一.拋物線有關知識：1.拋物線定義：|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M.2.拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程y2y2x2x2p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O（0，0）對稱軸y＝0x＝0焦點FFFF離心率e＝1準線方程x＝－x＝y(tǒng)＝－y＝范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下3．重要公式（1）弦長公式：AB=1+（2）韋達定理：x1+x4.重要結論拋物線y2＝2px（p>0）焦點弦AB，設A（x1，y1）、B（x（1）焦半徑問題：①焦半徑：|AF|＝|AD|＝x1＋p2，|BF|＝|BC|＝x2②焦點弦：|AB|＝x1+x2＋p＝2psin2α（其中，α為直線AB的傾斜角）；焦半徑公式得：AF=p1?cosθ，（2）A、B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值，即x1x2＝p24（3）其他結論：①S△OAB＝p22sinα（其中，α為直線AB的傾斜角）；

題型1拋物線定義【例題1】（23·24上·南陽·期中）已知直線l：y=?x+p2p>0與拋物線C：y2=2px交于A，B兩點，且A．y2=2x B．y2=4x C．【答案】C【分析】設出A和B兩點的坐標，把l與C聯(lián)立得到x1+x2，l經(jīng)過點C的焦點，進而根據(jù)【詳解】設Ax1,得y=?x?p2則Δ>0，x1+∴AB=x1+∴C的方程為y2故選：C.【變式1-1】1.（22·23上·榆林·期末）已知點Pm,n為拋物線C：y2=4x【答案】2【分析】由拋物線的方程求出拋物線的準線，然后利用拋物線的定義結合已知條件列方程求解即可.【詳解】拋物線C:y2=4x的焦點為(1,0)因為點P(m,n)為拋物線C:y所以點P到拋物線C的準線的距離為m+1=3，解得m=2，故答案為：2【變式1-1】2.（23·24上·張掖·階段練習）已知拋物線x2=2py(p>0)的頂點為O，焦點為F，準線為直線l，點E在拋物線上．若E在直線l上的射影為Q，且Q在第四象限，A．120° B．150° C．30°或150° 【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義與性質(zhì)解三角形求對應線段夾角及直線傾斜角即可.【詳解】如圖所示，易知F0,所以4OF故∠FQE=90又由拋物線定義可知FE=

故直線EF的傾斜角為60°故選：B.【變式1-1】3.（23·24上·成都·階段練習）已知動圓M恒過點(1,0)，且與直線x=?1相切，設圓心M的軌跡方程曲線C，直線l1:x?my?5=0與曲線C交于P，Q兩點（點P在x軸上方），與直線x=?1交于點R，若A．57 B．37 C．67【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義得到點M的軌跡方程為y2=4x，根據(jù)焦半徑公式和QF=3得到xQ=2【詳解】

由題意得點M到1,0的距離等于到直線x=?1的距離，所以點M的軌跡為拋物線，方程為y2如圖所示，∵拋物線y2=4x．|QF|=3=x聯(lián)立x?my?5=0y2=4x，化為：x則SΔ故選：C．【變式1-1】4.（17·18上·潮州·期末）如果點P1,P2,P3,P4是拋物線C:A．8 B．18 C．10 D．20【答案】B【詳解】由拋物線方程可知p=4，由拋物線定義可知：|==10+2p=18，本題選擇B選項.點睛：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離)進行等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及拋物線的焦點和準線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題題型2焦半徑【方法總結】焦半徑問題：①焦半徑：|AF|＝|AD|＝x1+p由對稱性，可得如下對稱結論：（1）焦點F在x軸正半軸，拋物線上任意一點Px0,（2）焦點F在x軸負半軸，拋物線上任意一點Px0,（3）焦點F在y軸正半軸，拋物線上任意一點Px0,（4）焦點F在y軸負半軸，拋物線上任意一點Px0,【例題2】（23·24上·成都·開學考試）已知△ABC的頂點在拋物線y2=2x上，若拋物線的焦點F恰好是△ABC的重心，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】易知焦點坐標F12,0【詳解】拋物線的焦點F為12,0，由重心的性質(zhì)有又由拋物線的定義知|FA|=x同理可得|FA|+|FB|+|FC|?又因為xF所以|FA|+|FB|+|FC|?故選：C．【變式2-1】1.（23·24上·昆明·開學考試）已知直線l:y=x+1與拋物線C:y2=2px(p>0)相切于點E，F(xiàn)是CA．6 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】由直線與拋物線相切，聯(lián)立方程組消元得一元二次方程，利用Δ=0，求解p值和點E坐標，再由拋物線定義化斜為直，將EF【詳解】聯(lián)立方程組y=x+1y整理得x2因為直線與拋物線相切，則Δ=解得p=0（舍去）或p=2.設E(x0,故E1,2，則EF故選：D.【變式2-1】2.（23·24上·鹽城·期末）已知F為拋物線C:y2=2pxp>0的焦點，過F且斜率為1的直線交C于A，B兩點，若A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設直線AB的方程為y=x?p【詳解】拋物線C的方程為C:y2=2px設直線AB的方程為y=x?p由y=x?p2yΔ=9p2根據(jù)拋物線定義，|FA|=x因為FA?FB=8所以x即p24+故選：B.【變式2-1】3.（23·24上·江西·開學考試）已知F為拋物線E：y2=4x的焦點，A，B，C為E上的三點，若AF=【答案】6【分析】根據(jù)平面向量坐標的線性運算、拋物線的定義求得正確答案.【詳解】由題意知F1,0，設A，B，C的橫坐標分別為x1，x2由AF=13AB+由拋物線的定義得AF+BF+故答案為：6

【變式2-1】4.（22·23下·白銀·期末）如圖，M是拋物線y2=10x上的一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，以Fx為始邊、FM為終邊的角∠xFM=π

【答案】10【分析】根據(jù)∠xFM=π3列方程，求得M點的橫坐標，進而求得【詳解】依題意2p=10,p=5，過M向x軸作垂線，記垂足為N，如下圖所示，設M的橫坐標為x0則MF=x0因為∠xFM=π3，所以由x0+52=2故答案為：10

【變式2-1】5.（22·23下·南京·期末）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，經(jīng)過點F的直線與拋物線C相交A，B兩點，l與x軸相交于點M，若AQ=QM，【答案】4【分析】先判定AB⊥MB，利用垂直關系得出A、B坐標結合拋物線焦半徑公式計算即可.【詳解】

由題意易知M?1,0，可設l由AQ=QM，可得Q為AM中點，則又由AM=2BQ可得:即∠MBA=90故kAB聯(lián)立拋物線與直線AB可得x=ky+1所以有y由拋物線定義得AF?故答案為：4題型3焦半徑二級結論【方法總結】拋物線y2＝2px（p>0）焦點弦AB，設A（x1，y1）、B（x2焦半徑公式：AF=p1?cosθ，【例題3】（21·22·全國·課時練習）若過拋物線y2=x的焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點，且直線l的傾斜角θ≥π【答案】(【分析】根據(jù)給定條件，利用點A的橫坐標及cosθ表示FA，再利用拋物線定義結合θ【詳解】拋物線y2=x的焦點F(14,0)設點A的橫坐標是x0，則有|FA|cosθ=于是得|FA|=12(1?cosθ)，而函數(shù)y=cos因此2?2≤2(1?cos所以FA的取值范圍是(1故答案為：(【變式3-1】1.（21·22·江蘇·單元測試）如圖，過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作兩條互相垂直的弦AB、CD，若△ACF與【答案】y【分析】設直線AB的傾斜角為銳角θ，則直線CD的傾斜角為θ+π2，利用焦半徑公式分別求出AF、BF、CF、DF，并求出△ACF與【詳解】解：設直線AB的傾斜角為銳角θ，則直線CD的傾斜角為θ+π由焦半徑公式得：AF=BF=CF=DF=∴△ACF的面積為：S△ACF=p=p=p=p同理可得△BDF的面積為：S△BDF令t=sinθ?cosθ=2則△ACF與△BDF面積之和為：p2再令x=t2+1∈1，2p由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，當x=1時，△ACF與△BDF面積之和取到最小值，即2p2=32，由于p>0因此，拋物線的方程為y2故答案為：y2【點睛】本題考查直線與拋物線的綜合問題，考查拋物線的定義，考查計算能力與推理能力，屬于難題．【變式3-1】2.（21·22上·泉州·階段練習）已知拋物線E關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P(1,2)在拋物線上．(1)求該拋物線E的方程及其準線方程；(2)直線l過拋物線E的焦點F，交該拋物線于A,B兩點，且|AF|=3|BF|，求AB的長度．【答案】(1)y2=4x，(2)163【分析】(1)根據(jù)題意設拋物線方程，拋物線過P點，將P點坐標代入方程求出參數(shù)即可；(2)設直線l的傾斜角，表示出AF和BF，【詳解】（1）設拋物線為y2＝ax，∵P(1，2)在拋物線上，∴a＝4，∴拋物線方程為y2（2）根據(jù)拋物線的對稱性，不設點A在第一象限，直線AB的傾斜角為α(0＜α＜π)，由拋物線定義可知|AF|?cos?α＋p＝|AF|，即同理BF∵|AF|＝3|BF|，∴p即cos?α＝∴|AF|＝2∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋4題型4焦點弦【方法總結】拋物線焦點弦的幾個常用結論設AB是過拋物線y2=2pxp>0的焦點F的弦，若Ax（1）x1x2（2）若點A在第一象限，點B在第四象限，則AF=p1?弦長AB=x1+x（3）1|FA|（4）以AB為直徑的圓與準線相切；（5）以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.【例題4】（18·19下·嘉定·期末）已知拋物線y2=2px（p是正常數(shù)）上有兩點Ax1,甲：x1乙：y1丙：OA??。?|FA|+1|FB|=A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】先證明必要性：設過拋物線C：y2=2pxp>0的焦點F的直線為：x=my+p2，代入拋物線方程得：y2?2pmy?p2=0，計算y1y2、x1【詳解】必要性：設過拋物線C：y2=2pxp>0的焦點F的直線為：代入拋物線方程得：y2由直線上兩點Ax1,則有y1x1OA?由1＝x1故：甲、乙、丙、丁都是必要條件，充分性：設直線AB方程為：x=my+t，則直線AB交x軸于點t,0，拋物線焦點Fp2,0將直線AB由直線上兩點Ax1,對于甲：若x=m可得t=±p2，直線AB不一定經(jīng)過焦點F.所以甲條件是“直線AB經(jīng)過焦點對于乙：若y1y2=?p2=?2pt，則t=p2對于丙：OA?OB=x1x2+y1y2=?2pt+對于?。?=x1+x2+pt2+p2綜上，只有乙正確，正確的結論有1個.故選：B【變式4-1】1.（22·23·全國·專題練習）過拋物線y=x2的焦點F的一條直線交拋物線于P、Q兩點若線段PF與QF的長分別是p、q，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】求出拋物線的焦點坐標、準線方程，設出直線PQ的方程，與拋物線方程聯(lián)立并結合拋物線定義求解作答.【詳解】拋物線x2=y的焦點F(0,1顯然直線PQ的斜率存在，設為k，則直線PQ的方程為y=kx+1由y=kx+14y=x2設P(x1,y1)，Q(x2,因此1p所以1p故選：D【變式4-1】2.（23·24上·朔州·開學考試）已知P2,4是拋物線C：y2=2pxp>0上一點，過C的焦點F的直線l與C交于A．24 B．28 C．30 D．32【答案】D【分析】求出拋物線方程后，設A(x1,y1),B(x2,【詳解】因為P2,4所以42=2p?2，故則拋物線方程為y2設A(x1,設直線l的方程為my=x?2，聯(lián)立y2所以y1x1則AF+9當且僅當x1=9x故AF+9BF的最小值為故選：D【變式4-1】3.（22·23下·南充·三模）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，直線l:2x+y?6=0與拋物線C交于A,B兩點，M是線段AB的中點，過M作y軸的垂線交拋物線C①若l過點F，則C的準線方程為x=?3

②若l過點F，則AF③若NA?NB=0，則點F④若NA?NB=0【答案】①②④【分析】對于①項，求出點F的坐標即可驗證；對于②項，聯(lián)立方程，由拋物線定義以及韋達定理表示出相應的弦長即可；對于④，聯(lián)立方程，由韋達定理以及數(shù)量積的坐標形式即可求出p的值從而驗證；對于③項，由④中分析即可驗證；由此即可得解.【詳解】如下圖所示：

設Ax1,y1,Bx2,y2，對于①故拋物線C的準線方程為x=?3，故①正確；對于②項，由①可得C的方程為y2與l的方程2x+y?6=0聯(lián)立消去y并整理得x2?9x+9=0，則x1根據(jù)拋物線的定義，可得AF=3+x1，BF所以AF?所以AF?BFAB如下圖所示：

對于④，將l的方程2x+y?6=0與C的方程聯(lián)立，得2x2?p+12x+18=0設Nx0,y0，則y由NA?NB=0即5x所以19p2+432p?576=0，所以p=對于③項，由④中分析可知，p=2419，所以焦點F12綜上所述：正確的序號是①②④.故答案為：①②④.【點睛】關鍵點點睛：對于①項的驗證比較常規(guī)，而熟練聯(lián)立方程運用韋達定理或者拋物線定義表示弦長，熟練運用數(shù)量積的坐標公式以及夯厚的計算功底是正確驗證②④項的關鍵，至于③項的驗證，直接由④中分析過程即可驗證.【變式4-1】4.（23·24上·南京·階段練習）設拋物線C：y2=2pxp>0的焦點為F，M∈C，Q在準線上，Q的縱坐標為3p，(1)求拋物線C的方程；(2)過F且斜率為2的直線l與C交于A、B兩點，求△ABQ的面積.【答案】(1)y(2)2【分析】（1）根據(jù)拋物線的方程的得到Q?p2,3p，F(xiàn)p（2）聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達定理得到AB，根據(jù)點到直線的距離公式得到三角形ABQ的高，然后求面積即可.【詳解】（1）由題意得Q?p2所以FQ=p2+?所以拋物線的方程為y2（2）由（1）可得Q?1,23，所以直線AB的方程為y=2x?1，即y=2x?2設Ax1,聯(lián)立y=2x?2y2=4x所以x1+x設點Q到直線AB的距離為d，則d=?2?2?2所以S△ABQ【變式4-1】5.（21·22上·攀枝花·階段練習）如圖所示，已知拋物線C1:y2=2px過點(2,4)，圓C2:x2+y2?4x+3=0A．23 B．42 C．12 D．13【答案】D【分析】由點在拋物線上求出p，焦半徑的幾何性質(zhì)有1|PF|+1【詳解】由題設，16＝2p×2，則2p＝8，故拋物線的標準方程：y2由直線PQ過拋物線的焦點，則1|PF|圓C2：(x?2)2|PM|+4|QN|=|PF|?1+4(|QF|?1)=|PF|+4|QF|?5=2(|PF|+4|QF|)(1|PF|+當且僅當|PF|=2|QF|時等號成立，故|PM|+4|QN|的最小值為13.故選：D【點睛】關鍵點點睛：由焦半徑的傾斜角式得到1|PF|+1【變式4-1】5.（21·22上·雅安·期末）已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點F到其準線的距離為2，圓M：x?1【答案】4【分析】根據(jù)已知條件先求出拋物線的方程，然后將問題轉(zhuǎn)化為計算“|AF|+4|BF|?5”的最小值，通過拋物線的焦半徑公式將|AF|+4|BF|?5表示為坐標的形式，采用直線與拋物線聯(lián)立的思想，根據(jù)韋達定理和基本不等式求解出最小值.【詳解】因為拋物線的焦點到準線的距離為2，所以p=2，所以拋物線方程為y2如下圖，PF=因為|AP|+4|BQ|=|AF|?|PF|設Ax1,所以|AP|+4|BQ|=x設l:x=my+1，所以y2=4xx=my+1，x所以|AP|+4|BQ|=x1+4x2所以|AP|+4|BQ|的最小值為4，故答案為：4.【點睛】結論點睛：本題考查圓與拋物線的綜合應用，其中涉及拋物線的焦半徑公式的運用.常見拋物線的焦半徑公式如下：（p為焦準距）（1）焦點F在x軸正半軸，拋物線上任意一點Px0,（2）焦點F在x軸負半軸，拋物線上任意一點Px0,（3）焦點F在y軸正半軸，拋物線上任意一點Px0,（4）焦點F在y軸負半軸，拋物線上任意一點Px0,題型5中位線相關【例題5】（22·23·開封·模擬預測）已知直線l:x+my?1=0過拋物線C:y2=2px的焦點，直線l與拋物線C相交于A,B兩點，若AB的中點M到拋物線C的準線的距離為5A．±2 B．±12 C．1【答案】B【分析】由直線l所過定點及拋物線的焦點所在位置可求p=2，設Ax1,y1,Bx【詳解】因為直線l:x+my?1=0過定點1,0，拋物線C:y2=2px的焦點在x所以拋物線的焦點坐標為1,0，所以p2=1，解得所以拋物線C的標準方程為y2聯(lián)立x+my?1=0y2=4x，消去x，可得y設Ax因為Δ=所以y1所以x1因為AB的中點M到拋物線C的準線的距離為52，且拋物線C的準線方程為x=?1所以xM+1=5所以x1+x22故選:B.

【變式5-1】1.（22·23下·保山·期末）過拋物線C:x2=4y的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A,B兩點，過線段AB的中點N且垂直于l的直線與C的準線交于點M，若MNA．3 B．33 C．1 【答案】A【分析】根據(jù)題意結合拋物線的定義分析可得2EN=MN，∠NMC=【詳解】拋物線C:x2=4y的焦點為0,1如圖，過A,B,N作準線的垂線交準線于D,C,E，因為AB=AF+可知AB與x軸的正方向的夾角為60°，則l的斜率為k故選：A.

【變式5-1】2.（22·23下·周口·階段練習）已知拋物線y2=?4x，過其焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點，交準線于點D，且B是線段AD的中點，則A．92 B．72 C．32【答案】A【分析】設點A、B在直線l上的射影點分別為M、E，設BE=mm>0，可得出AB=BD=3m，求出線段DF【詳解】易知拋物線y2=?4x的焦點為F?1,0設點A、B在直線l上的射影點分別為M、E，如圖所示：

設BE=mm>0，因為B為線段AD的中點，BE⊥l，AM⊥l，則所以，AM=2由拋物線的定義可得AF=AM=2m所以，BD=所以，cos∠EBD=因為BE//x軸，則∠DFO=∠DBE，設直線l交x軸于點N，則N1,0所以，DF=又因為DF=BF+故AB=3m=故選：A.【變式5-1】3.（17·18·南陽·一模）設拋物線y2=4x的焦點為F，過F的直線l交拋物線于A,B兩點，過AB的中點M作y軸的垂線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點P，若PF=【答案】2【詳解】分析：求出拋物線焦點為F1,0，準線為l:x=?1，設Ax1,y1,Bx2,y2，直線AB方程為y=kx?1詳解：∵拋物線方程為y2∴拋物線焦點為F1,0，準線為l:x=?1設Ax因為P在第一象限，所以直線AB的斜率k>0，設直線AB方程為y=kx?1代入拋物線方程消去y，得k2∴x∵過AB的中點M作準線的垂線與拋物線交于點P，設P點的坐標為x0,y∵y∴y得到y(tǒng)0=2∵PF=32，所以k=2，直線方程為y=2x?1，故答案為2x?y?點睛：本題主要考查拋物線的標準方程與簡單性質(zhì)，以及拋物線與直線的位置關系，屬于難題.解答直線與拋物線位置關系的問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關系建立方程，解決相關問題【變式5-1】4.（17·18上·濟寧·期末）拋物線y2=2pxp>0的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=60°【答案】1【分析】設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，進而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．【詳解】設|AF|=a，|BF|=b，由拋物線定義，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（a+b2∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣34（a+b）2=1得到|AB|≥12∴MNAB≤1，即MN故答案為：1．【點睛】本題著重考查拋物線的定義和簡單幾何性質(zhì)、基本不等式求最值和余弦定理的應用等知識，屬于中檔題【變式5-1】5.（22·23下·廣元·期中）已知F是拋物線C：y2=4x的焦點，過點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，過AB的中點M作y軸的垂線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點P，若|PF【答案】2【分析】求得拋物線的焦點坐標和準線方程，由拋物線的定義求得P的坐標，得到AB中點M的縱坐標，設直線l為y=k(x?1)，代入拋物線的方程y2=4x消去x，利用根與系數(shù)的關系求得【詳解】拋物線y2=4x的焦點為F(1,0)，準線方程為若|PF|=32，可得即有xPyP可得AB的中點M的縱坐標為2，設A(x1，y1)，則y1若斜率不存在|PF|=p所以過點F的直線l的斜率存在故直線l的方程設為y=k(x?1)，代入拋物線的方程y2ky即有y1解得k=2所以直線l的方程為2x?y?又AB的中點M的縱坐標為2，所以M點的橫坐標為2．故答案為：2．題型6焦點定比值二級結論【方法總結】過拋物線的焦點F的弦AB與對稱軸的夾角為θ【例題6】（21·22下·湖北·一模）過拋物線y2=px，p>0的焦點F作直線l，交拋物線于A，B兩點，若A．30°或150° B．45°或135°C．60°或120° D．與p值有關【答案】C【分析】作出A,B到準線的垂線段，利用拋物線的定義求解．【詳解】如圖l是拋物線的準線，作AM⊥l，BN⊥l，M,N為垂足，設FB=m，則FA由拋物線定義知AM=3m，BN過B作BC⊥AM，垂足為C，則易得MC=BN=m直角三角形ABC中，cos∠CAB=ACAB此時直線AB傾斜角為60°，由對稱性，直線AB傾斜角也可為120°，故選：C．【變式6-1】1.（多選）（23·24上·廣州·階段練習）已知過點F0,1，傾斜角為60°的直線l與拋物線C:x2=4y相交于A、B兩點（點A在第一象限）.過線段AB的中點P作平行于y軸的直線，分別與拋物線CA．PM=MN C．FA=3FB D．直線AN與拋物線【答案】ABD【分析】將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點P的坐標，進而求出點M、N的坐標，可判斷A選項；利用斜率關系判斷出NF⊥AB，可判斷B選項；求出點A、B的坐標，利用拋物線的焦半徑公式，可判斷C選項；求出直線AN的方程，將直線AN的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，結合Δ法可判斷D選項.【詳解】由題意可知，直線l的方程為y=3x+1，設點Ax1,聯(lián)立y=3x+1x2=4y由韋達定理可得x1+x2=4故點P23,7，所以，直線MN由x=23x2=4y可得拋物線C的準線方程為x=?1，所以，點N2易知點M為線段PN的中點，所以，PM=kNF=?1?123?0=?33解方程x2?43x?4=0可得所以，y1=3y2=3所以，F(xiàn)AFBkAN所以，直線AN的方程為y+1=2+3x?2聯(lián)立直線AN和拋物線C的方程得y=2+可得x2?42+所以，直線AN與拋物線C相切，D對.故選：ABD.【變式6-1】2.（21·22下·酒泉·模擬預測）已知拋物線C:y2=2px(p>0)，過焦點P的直線交拋物線C于A，B兩點，且線段AB的長是焦半徑AP【答案】±2【分析】利用拋物線的焦半徑公式列方程求得直線AB的傾斜角，即可求得直線AB的斜率【詳解】設直線AB的傾斜角為θ，則θ∈(0°,180°)．因為線段AB的長是焦半徑AP長的3倍，所以BP=2AP，故當θ∈(0°,90°)時，|AP|=p1+cos則|BP||AP|=1+cosθ1?同理可得當θ∈(90°,180°)時，cosθ=?13，所以直線AB綜上，直線AB的斜率為±2故答案為：±2【變式6-1】3.（22·23上·河南·開學考試）已知傾斜角為60°的直線l過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F，且與C交于A，B兩點（點A【答案】1【分析】分別過點A，B作準線的垂線，垂足為M，N，過點B作AM的垂線，垂足為【詳解】解：如圖，分別過點A，B作準線的垂線，垂足為過點B作AM的垂線，垂足為E，設|BF|=x，易得∠ABE=30°，則|AE|=1由拋物線的性質(zhì)可得|AM|=|AF|，|BN|=|BF|=ME所以，x+12(3+x)=3，解得x=1故答案為：1【變式6-1】4.（19·20下·江門·期中）若M是拋物線y2=4x上一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，以Fx為始邊、FM為終邊的角∠xFM=60°，則【答案】4【分析】首先求出拋物線的焦點坐標與準線方程，設M的坐標y24,y【詳解】解：由拋物線的方程y2=4x，可得準線方程為x=?1，焦點坐標為設M的坐標y24,y，y>0又∠xFM=60°，∴y=3y24?1，整理得3所以由拋物線的定義可得FM=故答案為：4【變式6-1】5.（21·22·全國·專題練習）過拋物線y2=px，p>0的焦點F作直線l，交拋物線于A，B兩點，若【答案】60°或120°【分析】利用拋物線的性質(zhì)以及圖形中的幾何關系推導出ACAB【詳解】如圖l是拋物線的準線，作AM⊥l，BN⊥l，M,N為垂足，設FB=m，則FA

由拋物線定義知AM=3m，BN過B作BC⊥AM，垂足為C，則易得MC=BN=m直角三角形ABC中，cos∠CAB=ACAB此時直線AB傾斜角為60°，由對稱性，直線AB傾斜角也可為120°.故答案為：60°或120°題型7切線【方法總結】拋物線切線有如下結論與性質(zhì)：1.過拋物線準線上任一點作拋物線的切線，則過兩切點的弦必過焦點.3.點P(x0,y0)是拋物線x2=2my(m≠0)上一點，則拋物線過點P的切線方程是：x0【例題7】（21·22下·河南·模擬預測）已知Ma,3是拋物線C：x2=2pyp>0上一點，且位于第一象限，點M到拋物線C的焦點F的距離為4，過點P4,2向拋物線C作兩條切線，切點分別為AA．?1 B．1 C．16 D．?12【答案】B【分析】先通過拋物線的定義求出拋物線的方程，再設Ax1,【詳解】如示意圖，由拋物線的定義可知點M到拋物線準線y=?p2的距離為4，則3+p2=4?p=2設Ax1,y1,Bx由y=x24?y'=因為點P4,2在這兩條直線上，所以x1?4?2?2?2y1=0x1?4?2?2?2于是AF→故選：B.【點睛】本題運算較為復雜，注意要先求出AF→【變式7-1】1.（19·20下·邯鄲·一模）過點P作拋物線C:x2=2y的切線l1，l2，切點分別為M，N，若△PMN的重心坐標為(1,1)A．14，0 B．12，0 C．【答案】A【分析】由已知設切點坐標為Mx1,x122，Nx2,x222，利用導數(shù)寫出切線l1，l2的方程，聯(lián)立求出交點【詳解】設切點坐標為Mx1,由x2=2y，得y=x故直線l1的方程為y?x1同理直線l2的方程為y=聯(lián)立l1，l2的方程可得x=x設△PMN的重心坐標為x0,y0，則即x1+x2=2x1將P點坐標代入拋物線D:y2=mx，得到(?1)故D的焦點坐標為14故選：A.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的相切問題，三角形重心的坐標公式以及拋物線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題.【變式7-1】2.（22·23下·開封·模擬預測）已知點P(4,?2)在拋物線C:xA．x?y+2=0 B．2x?y+2=0 C．3x?y+2=0 D．x?2y+4=0【答案】A【分析】根據(jù)條件可得拋物線方程，然后求導可得過Ax1,y1【詳解】因為拋物線C:x2=2py(p>0)所以?p2=?2故拋物線C:x2=8y設切點為Ax1,y1則切線PA的方程為：y?y1=切線PB的方程為：y?y2=由P(4,?2)是PA、PB交點可知：?2=x1?可得過A、B的直線方程為?2=x?y，即x?y+2=0故選：A.【變式7-1】3.（多選）（22·23下·朝陽·期末）已知拋物線Γ:x2=2pyp>0A．p=4 B．當t=1時，TA⊥TBC．當t=1時，直線AB的斜率為2 D．直線AB過定點0,1【答案】BD【分析】根據(jù)Tt,?1為準線上的點列方程?p2=?1，解方程即可得到p可判斷A；利用導數(shù)的幾何意義得到過點Ax1,x124，Bx2,x224的切線斜率，可得到x1，x【詳解】因為Tt,?1為準線上的點，所以?p2根據(jù)拋物線方程得到y(tǒng)=x24，則y'=則?1?x1241?所以x1，x2為方程x2所以kTA?k由B選項得x1+x由B選項得x12?2tx1同理得2y2?tx2故選：BD．

【點睛】解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進動點的坐標或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量k）；②利用條件找到k過定點的曲線F(x,y)=0之間的關系，得到關于k與x，y的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關系，得出定點的坐標；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.【變式7-1】4.（2023·遂寧·三模）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F，準線為l，點Q(2,y0)在拋物線上，點K為l與y軸的交點，且【答案】1【分析】根據(jù)題目條件，先求出拋物線的標準方程，然后求出直線AB的方程，聯(lián)立消y，利用韋達定理即可求得本題答案.【詳解】把點Q(2,y0)，代入拋物線C:x2作QH⊥l，垂直為H，設QF=t，所以QK=2t，在Rt△QHK中，因為QH2+HK所以QH=2p+p設A,B兩點的坐標分別為(x因為x2=4y，所以y=14x所以切線PA的直線方程為：y?14x因為經(jīng)過點P(4,2)，所以2x1?所以點A,B的坐標滿足方程2x?y?2=0，即直線AB的方程為2x?y?2=0，x2=4y2x?y?2=0聯(lián)立消y所以，x1所以AF=5故答案為：1.【點睛】關鍵點睛：因為A(x1,y1),B(x2,y2【變式7-1】5.（22·23·銅仁·二模）從拋物線C：x2=2pyp>0外一點P作該拋物線的兩條切線PA，PB（切點分別為A，B），分別與x軸相交于點C，D，若AB與y軸相交于點Q，點M(1)求拋物線C的方程；(2)求證：四邊形PCQD是平行四邊形．【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義可得MF=4+p2（2）根據(jù)導數(shù)的幾何意義得到切線PA，PB的方程，聯(lián)立得到Px1+x2【詳解】（1）因為MF=4+p2=6，所以（2）證明：由x2=8y得y=x設Ax1,直線PA的方程為y?x1則直線PB的方程為y?x2由①和②解得：x=x1+x22，y=x由x2=8yy=kx+t，得x2?8kx?8t=0所以P4k,?t在①中，令y=0解得x=x12，所以C所以線段CD的中點坐標為x1+x24,0，即即線段CD被線段PQ平分．因此，四邊形PCQD是平行四邊形．【點睛】方法點睛：求拋物線切線方程得方法：（1）設切線方程，與拋物線方程聯(lián)立，令Δ=0（2）求導，利用導數(shù)的幾何意義求切線方程.題型8最值與取值范圍【方法總結】拋物線線段型最值，可轉(zhuǎn)化為：1.利用定義和焦半徑公式，把到焦點距離轉(zhuǎn)化為到準線距離，或者把到準線距離轉(zhuǎn)化為到焦點距離2.設拋物線上點坐標，結合題意構造距離函數(shù)式求范圍最值【例題8】（18·19下·銅陵·期中）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，P為拋物線C上一動點，MA．4 B．1+22+13 C．3+2【答案】D【分析】由題意得ΔPMF的周長為|PM|+|PF|+|MF|，然后將|PF|轉(zhuǎn)化為點P到拋物線準線的距離，并根據(jù)三點共線得到|PM|+|PF|【詳解】由題意得拋物線y2=4x的準線方程為l:x=?1，焦點坐標為過點P作PN⊥l于N，根據(jù)拋物線的定義可得|PF|=又ΔPMF的周長為|PM|+|PF|+|MF|=|PM|+|PN|+|MF|結合圖形可得，當M,P,N三點共線時，|PM|+|PN|最小，且最小值為3?(?1)=4，所以|PM|+|PN|+|MF|的最小值為4+22即△PMF的周長最小值為4+22故選D.【點睛】高考中對拋物線定義的考查有兩個層次，一是當已知曲線是拋物線時，拋物線上的點M滿足定義，它到準線的距離為d，則|MF|=d，有關距離?最值?弦長等是考查的重點；二是利用動點滿足的幾何條件符合拋物線的定義，從而得到動點的軌跡是拋物線.【變式8-1】1.（23·24上·淮安·期中）設拋物線x2=4y上一點P到x軸的距離為d，點Q為圓(x?4)2A．25?1 B．2 C．3【答案】C【分析】根據(jù)拋物線定義結合圓外一點到圓上一點最值問題即可得到答案.【詳解】因為x2=2×2y，則拋物線焦點坐標為0,1，準線方程為則d+1=PF，即d=所以d+PQ=PF因為圓(x?4)2+(y+2)2=1所以d+PQ故選：C.【變式8-1】2.（17·18上·虹口·期末）P為拋物線C:y2=4x上一動點，F(xiàn)為C的焦點，平面上一點A(3,m)，若PF【答案】m∈【分析】根據(jù)拋物線的定義可以轉(zhuǎn)化為求P點到拋物線準線和A點問題之和最小問題,根據(jù)三點共線以及最小值可以求出實數(shù)m的取值范圍.【詳解】拋物線C:y2=4x的準線方程為：l:x=?1,設PB⊥l,垂足為B.設P點坐標為(y24,y).根據(jù)拋物線的定義有PF+PA故答案為m∈【點睛】本題考查了拋物線的定義,考查了轉(zhuǎn)化思想,考查了數(shù)學運算能力.【變式8-1】3．（23·24上·鹽城·期中）已知動點P在拋物線y2=4x上，過點P引圓C：x?32+y【答案】142/【分析】根據(jù)題意，利用四邊形APBC的面積等于2S△APC和圓的切線長公式，得到AB=21?1【詳解】由圓C:x?32+y2則四邊形APBC的面積為S=1所以AB=在直角△PAC中，可得AP=所以AB=設P(x0,當x0=1時，PC2所以AB的最小值為21?故答案為：142

【變式8-1】4.（20·21下·哈爾濱·二模）若B點的坐標為3,2，點P為拋物線C：y2=6x上的動點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，當△PBF周長取得最小值時A．32 B．92 C．7【答案】C【分析】當△PBF的周長最小時，BP垂直準線，此時可得點P的坐標，從而就容易計算面積了.【詳解】如圖，由拋物線方程可得，F(xiàn)32,0點B3,2在拋物線內(nèi)部，過B作BM交拋物線于P，連接PF，此時△PBF的周長最小，yPxP=2PB=3?23=7∴△PBF的面積為S=1故選：C.【變式8-1】5.（22·23上·陜西·期末）已知P為拋物線C:x2=?16y上一點，F(xiàn)為焦點，過P作C的準線的垂線，垂足為H，若△PFHA．?∞,?5 C．?∞,?2 【答案】A【分析】如圖，設點P的坐標m,n，準線與y軸的交點為A，根據(jù)拋物線的定義和勾股定理可得△PFH的周長為44?n+24?n，令t=【詳解】如圖，設點P的坐標為m,nn≤0，準線y=4與y軸的交點為A，則PF=所以△PFH的周長為44?n得44?n+24?n≥30n≤0有2t2+4t?30≥0，即t2+2t?15≥0所以4?n≥3，由n≤0解得n≤?5故選：A.【變式8-1】6.（18·19下·安慶·模擬預測）已知F為拋物線4y2=x的焦點，點A,B都是拋物線上的點且位于x軸的兩側(cè)，若OA·OB=15(A．652 B．52 C．54【答案】A【分析】首先設出直線方程，代入拋物線方程，利用根系關系及平面向量數(shù)量積坐標公式得到m=4，再計算ΔABO和ΔAFO的面積之和，利用均值不等式求其最小值即可.【詳解】設直線AB的方程為x=ty+m，A(x1,4y2OA·解得：y1y2因為A,B位于x軸的兩側(cè)，所以y1即：y1y2設點A在x軸的上方，則y1>0，y2S=當且僅當6532y1=2所以ΔABO和ΔAFO的面積之和的最小值為652故選：A【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系，同時考查了均值不等式求最值，屬于難題.題型9拋物線與圓【方法總結】拋物線與圓的綜合題型，多從以下幾方面入手：1.圓外一點與圓上一點距離，多轉(zhuǎn)化為與圓心的距離2.拋物線上點與焦點（或者準線）距離，多轉(zhuǎn)化為與準線（或焦點）的距離.3.利用圓的方程與拋物線的方程，可以設點坐標計算.【例題9】（23·24上·江門·階段練習）已知圓x2+y2=4與x軸相交于E，F(xiàn)兩點，與拋物線C:y2=2px(p>0)相交于A，B兩點，若拋物線C的焦點為F，直線A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】利用拋物線定義化斜為直，借助平面幾何性質(zhì)建立等量關系，求解方程即可.【詳解】圓x2+y2=4所以F2,0，則p2=2如圖，過點A和點D分別作AA'和易知AF=BF=設∠BFE=∠AFE=θ，則BF=則AA即4cosθ+4cos解得cosθ=?5所以AF=DD則DD解得DF=所以DF?故選：D.

【變式9-1】1.（22·23下·成都·期中）已知M為拋物線y2=2x準線上一點，過M作圓：A．212 B．214 C．52【答案】A【分析】根據(jù)切線長定理，求出點M到圓的圓心距離最小值即可作答.【詳解】拋物線y2=2x準線方程為x=?12，圓x?22因此點M與圓心C距離的最小值為|MC|

令過點M向圓C所作切線的切點為D，于是|MD|=|MC|2所以切線長最短為212故選：A【變式9-1】2.（23·24上·浙江·階段練習）已知拋物線x2=6y的焦點為F，圓M與拋物線相切于點P，與y軸相切于點F，則【答案】2【分析】首先得到拋物線的焦點坐標與準線方程，不妨令M在第一象限，設Ma,32，則圓M的半徑r=a，即可得到圓M的方程，設Px0,16x02，利用導數(shù)求出拋物線在點P處的切線的斜率，依題意可得MP【詳解】拋物線x2=6y的焦點為F0,32依題意不妨令M在第一象限，設Ma,32，則圓M的半徑r=a，設P則圓M的方程為x?a2由x2=6y，可得y=16x2，則依題意可得MP與拋物線在點P處的切線垂直，所以16x02又點P在圓M上，所以x0則x02所以x0整理可得x04+6x0所以16x02=

故答案為：2【點睛】關鍵點睛：本題解答的關鍵是拋物線在點P的切線同時也是圓M在點P的切線，結合導數(shù)的幾何意義及圓的切線的性質(zhì)得到方程組.【變式9-1】3.（23·24上·永州·一模）已知點Na,23(a>0)在拋物線C:y2=2px(0<p<2a)上，F(xiàn)為拋物線C的焦點，圓N與直線x=p2相交于A、B兩點，與線段NF相交于點R，且AB=2【答案】y【分析】設|NF|=4t(t>0)，表示出|RF|=t,AB=25【詳解】由C:y2=2px(0<p<2a)設|NF|=4t(t>0)，則|RF|=t,AB則|NR|=3t，故(a?p2)2又點Na,23(a>0)故|NF|=a+p2=4t②，且12=2pa，即②聯(lián)立得12a2?20ap+3p2由于0<p<2a，故2a=3p，結合pa=6③，解得p=2，故拋物線方程為y2故答案為：y【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵在于要結合拋物線的定義以及圓的弦長的幾何性質(zhì)，找出參數(shù)a,p間的等量關系，從而列出方程組，即可求解.【變式9-1】4.（22·23下·棗莊·二模）已知點A1,2在拋物線y2=2px【答案】x+3y+3=0【分析】根據(jù)給定的條件，求出拋物線的方程，設出圓的切線方程并求出切線的斜率，再設出點B，C的坐標并求出，即可求出直線方程作答.【詳解】因為點A1,2在拋物線y2=2px上，則22=2p×1顯然過點A作圓x?22+y2=2于是|k+2|k2+1=2不妨令直線AB,AC的斜率分別為k1,k2，于是同理y2=42?6?2，直線直線BC的方程為y+?262+故答案為：x+3y+3=0【點睛】結論點睛：點A(x1,y1),B(x2,y2),(x1【變式9-1】5.（22·23下·安康·期中）已知點M0,4，點P在拋物線x2=8y上運動，點Q在圓x【答案】4【分析】由已知可得|PM|2|PQ|【詳解】設圓心為F，則F為拋物線x2=8y的焦點．設P(x,y),y≥0，則要使|PM|2|PQ|最小，則需|PQ|最大，|PQ∴|PM|當且僅當y+3=25y+3，即∴|PM|故答案為：4．

【變式9-1】6.（22·23·景德鎮(zhèn)·三模）首鋼滑雪大跳臺是冬奧史上第一座與工業(yè)舊址結合再利用的競賽場館，它的設計創(chuàng)造性地融入了敦煌壁畫中飛天的元素，建筑外形優(yōu)美流暢，飄逸靈動，被形象地稱為雪飛天.中國選手谷愛凌和蘇翊鳴分別在此摘得女子自由式滑雪大跳臺和男子單板滑雪大跳臺比賽的金牌.雪飛天的助滑道可以看成一個線段PQ和一段圓弧QM組成，如圖所示.在適當?shù)淖鴺讼迪聢A弧QM所在圓的方程為x+102+y?32=128，若某運動員在起跳點M以傾斜角為45

A．x2=?4y+4C．x2=?32y?1【答案】A【分析】將直線CM方程與圓的方程聯(lián)立可求得M點坐標，根據(jù)在M點的切線斜率和點M坐標可求得拋物線方程中的a,c，整理可得拋物線方程.【詳解】由題意知：kCM=?1，又∴直線CM方程為：y?3=?x+10，即x+y+7=0由x+y+7=0x+102+y?32即M?2,?5或M∵M為靠近y軸的切點，∴M?2,?5設飛行軌跡的拋物線方程為：y=ax2+c∵在點M處的切線斜率為1，∴?4a=1，解得：a=?1∴?5=?14×4+c，解得：c=?4即拋物線方程為：x2故選：A.題型10拋物線與橢圓【例題10】（23·24上·貴陽·階段練習）橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，現(xiàn)已知F2與拋物線yA．5+12 B．3?12 C．【答案】C【分析】由拋物線得到F21,0，a2?b2=1，結合冪函數(shù)所過點坐標，得到解析式，設點Q的坐標x0,x0【詳解】由題意，拋物線y2=4x的焦點坐標為F21,0，則又因為冪函數(shù)fx=xα過點P4,2，故4設點Q的坐標為x0,x則過Q的切線為y?x0=12故?x0=12而Q在橢圓上，則1a2+可得a2=3+52故選：C.【變式10-1】1.（22·23下·呼和浩特·模擬預測）已知橢圓C1:x236+y2b2=1的焦點分別為F1,A．78 B．57 C．711【答案】B【分析】利用橢圓和拋物線的定義及幾何性質(zhì)求解.【詳解】由橢圓的定義可知PF∵PF1=7，過點P作PQ垂直于拋物線的準線，垂足為Q，由拋物線的定義可知PQ=∴cos∠P故選：B.【變式10-1】2.（21·22上·連云港·期中）已知點F為拋物線C：y2=4x的焦點，點F'?1,0，若點Р為拋物線C上的動點，當A．12 B．22 C．3?1【答案】D【分析】過點P引拋物線準線的垂線，交準線于D，根據(jù)拋物線的定義可知|PF'||PF|=|PF【詳解】如圖，易知點F'?1,0在拋物線C的準線x=?1上，作PD垂直于準線，且與準線交于點D，記∠DPF由拋物線定義可知，PF'PF=|PF'||PD|k2x2+2k2?4x+k2=0，于是，橢圓的長軸長2a=22+2?a=2+1，半焦距故選：D.【變式10-1】3.（22·23·全國·專題練習）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1、F2，拋物線y2=4x的焦點與橢圓的右焦點重合，點P為拋物線與橢圓在第一象限的交點，且PF1=73.過F2作兩條斜率不為0且互相垂直的直線分別交橢圓于【答案】4【分析】設點Px0,y0，其中x0>0，y0>0，且y02=4x0，利用兩點間的距離公式可求得x0的值，利用拋物線的定義求出PF2的值，由橢圓的定義可求得a的值，進而可求得b【詳解】拋物線焦點為F21,0，故a2設點Px0,y0，其中xPF1=即3x0?23x0+20所以2a=PF1+P因此橢圓的方程為x2設直線AB的方程為x=my+1，其中m≠0，設點Ax1,聯(lián)立x=my+1xΔ=36所以y1x1+x同理可得點N4所以kMN所以直線MN的方程為y+3m即y=7m因此直線MN過定點47故答案為：47【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇