空間向量與立體幾何練習(xí)卷-2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

空間向量與立體幾何—2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)空間向量與

立體幾何創(chuàng)新+素養(yǎng)限時(shí)練【配套新教材】

1.如圖所示，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱Q4=l,PB=PD=?,

則它的五個(gè)面中，互相垂直的共有（）

A.3對(duì)B.4對(duì)C.5對(duì)D.6對(duì)

2.己知A4BC是面積為濁的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球。的球面上.若球O的表面積為

4

1面，則。到平面ABC的距離為（）

?/s

A.x/3B.-C.lD.—

22

3.在正方體488-AMGA中，E是陰的中點(diǎn).若AB=6,則點(diǎn)8到平面ACE的距離等于

（）

A.x/5B.x/6C.-D.3

2

4.在矩形4BCO中，A3=3,4）=4,尸為矩形ABCO所在平面外一點(diǎn)，且%_L平面4BCD,

PA=竽，那么二面角A—皿）一尸的大小為（）

A.30°B,45°C.60°D.75°

5.如圖，在三棱錐中，PA=AC=BC,H4_L平面ABC,ZACB=90°,O為PB的

中點(diǎn)，則直線CO與平面R4C所成角的余弦值為（）

p

c

A.逅B且C也D.l

2332

6.（多選）如圖，在正五棱柱ABCQE-AMCQEI中,A8=2夜,",=4,尸為BC的中點(diǎn);,M,N

分別為CG上兩動(dòng)點(diǎn)，且MN=l（BM＜助V）,則（）

n

A.EF±BN

B.三棱錐M-BEN的體積隨點(diǎn)M的位置的變化而變化

C.當(dāng)N為CC,的中點(diǎn)時(shí),8W_L平面線EF

D.直線BN與平面3ME所成角的正切值最大為旦

4

7.（多選）如圖在正方體48co-A&CQ中,E為線段位＞上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

（）

E

A.AC1BiD

B.平面BDD,1平面ACD1

C.線段8G上必有尸點(diǎn)使得平面CC\EH平面照尸

D.正方體內(nèi)切球和外接球的半徑比為1:2

8.如圖所示，已知矩形A8CO中，AB=^BC=a,若P4_L平面4B。，在BC邊上取點(diǎn)E,

使莊_LOE,則滿足條件的E點(diǎn)有兩個(gè)時(shí)，a的取值范圍是.

9.如圖，已知三棱錐S-ABC的棱長(zhǎng)均為1,S〃_L底面ABC點(diǎn)M,N在直線SH上，且

MN二年,若動(dòng)點(diǎn)P在底面內(nèi)，且△PMN的面積為*，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為

10.如圖，直三棱柱48C-A4G的體積為4,△ABC的面積為2&.

(1)求A到平面ABC的距離；

(2)設(shè)。為4。的中點(diǎn)，A4,=AB,平面ABC1平面AB&A，求二面角A-BO-C的正

弦值.

答案以及解析

1.答案：C

解析：因?yàn)锳B=AD=AP=1,PB=PD=y/i,所以AB-AP^PB?,AD2+AP2=PD2,

所以小JLAB,E4_LAT>.因?yàn)?BDAO=A,所以Q4_L底面ABCD因?yàn)镽Au平面PA&

E4u平面P4Q,所以平面R$_L平面A8CQ,平面R4O_L平面44CD因?yàn)樗倪呅?4co

是正方形，所以9_L平面H4O,可得平面E4B_L平面PAO,BC_L平面尸48,可得平面

R$_L平面PBC,CD_L平面PAD,可得平面W>_L平面PCD.故選C.

2.答案：C

解析：設(shè)等邊三角形A8C的邊長(zhǎng)為小因?yàn)槠涿娣e為型，所以〃°巫=亞，解得a=3.

4224

故A4BC的外接圓半徑r=2.立口=且。=6.設(shè)球0的半徑為R,因?yàn)榍騉的表面積為

323

1671,所以4冗W=16兀，得川=4.所以。到平面ABC的距離(1=依-戶=1.故選C.

3.答案：B

解析：在正方體A8CD-A&CQ中，AB=6tE是8耳的中點(diǎn)，則的=3,

AE=CE=y/62+32=3>/5,AC=6五,「.5「其=1x班>/頭歷了-(3夜了=9#.設(shè)點(diǎn)8

到平面ACE的距離為心由%雙=%八值得kk6x6x3=4x9病，解得人=述.故選

OrtOVD-/ILH

B.

4.答案：A

解析：過(guò)點(diǎn)A作AO_L8D于點(diǎn)O,連接尸。，則NAOP為二面角A—B。一尸的平面角.易知

ABA

AO=-=—f所以tan/A。尸=絲=立，故ZAOP=30°.

BD5AO3

5.答案：B

解析：如圖，取PC的中點(diǎn)為￡,連接E0,則OE//8C「.?P4_L平面ABC,8Cu平面ABC,

?.%_L2d4C_LBC.ACn24=4.「.NCJ"平面P4c又O￡7/BC,「.。石，平面P4c.

??.NOCE為直線CO與平面PAC所成的角.設(shè)必=AC=8C=2,則。石=1,CE=0

OC=G，cosNOCE=0=@.故選B.

OC3

6.答案：ACD

解析：因?yàn)槭瑸锽C的中點(diǎn)，所以結(jié)合正五邊形的對(duì)稱性可知，瓦'J_8c.由正棱柱的性質(zhì)易知

BBJ.EF.又因?yàn)锽BJBC=8,所以￡F_L平面8CG4.因?yàn)?Nu平面8。7內(nèi),所以

EFA.BN,故A正確.易知△BMN的面積為定值，點(diǎn)E到平面BCC.B,的距離為定值.因?yàn)槿?/p>

錐M-BEN的體積等于三棱錐E-BMN的體積，所以三棱錐M-BEN的體積為定值，故B錯(cuò)

誤.當(dāng)N為CG的中點(diǎn)時(shí),CM=1.因?yàn)閠anN陰尸=變=也,tan/C8M=C^=e="，

BB、4BC25/24

所以NBBF=NCBM.因?yàn)锽B[±BC,所以NCBM+/用用=90”,則BMLB、F.由選項(xiàng)A的

解答易知又因?yàn)樯癐B,尸=尸,所以8M_L平面與日"故C正確.由題圖可知,當(dāng)點(diǎn)

M與點(diǎn)C重合時(shí)，直線BN與平面BWE所成的角最大，且最大角為NC5N,所以

tanZCfi/V=—=D正確.選ACD.

BC2&4

7.答案：ABC

解析：在正方體ABCD一A中,_L平面ABCD,ACu平面ABC。,所以B/_LAC.因

為底面ABCD為正方形，所以AC%,4513。=5,所以ACJ_平面。,因此AC_L旦。，

故選項(xiàng)A正確;因?yàn)锳CJ■平面550,所以ACJ■平面網(wǎng)〃O,ACu平面4cq，所以平面

BDD、_L平面AC。,故選項(xiàng)B正確;當(dāng)尸為BG的中點(diǎn)，七為皿）的中點(diǎn)時(shí),A4,〃CG，A尸〃EC，

因此當(dāng)尸為耳G中點(diǎn)時(shí)，平面CGE〃平面A4,產(chǎn),故選項(xiàng)C正確;正方體的內(nèi)切球半徑為gA4,,

正方體的外接球半徑為yM，故內(nèi)切球和外接球的半徑比為1：石，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選

ABC.

8.答案：a>6

解析：由題意知：PAA.DE,又PELDE,PACPE=P,所以DEL面P4E,

所以O(shè)E_LAE.易證△/$￡：:AECD.

則理=型，即_5_=2

設(shè)8E=x

CECDa-x3

所以G:+9=0.由△>(),解得a>6.

9答案:嚕

解析：設(shè)P到直線"N的距離為4則;MN?八帶，得公除，易知”為例。的中心，又

MN1平面ABC,當(dāng)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是以H為圓心，—為半徑的圓.

6

QAABC內(nèi)切圓的半徑為正，，圓〃的一部分位于ZV1BC外,結(jié)合題意得點(diǎn)P的軌跡為圓H

6

位于△/$€：內(nèi)的三段相等的圓弧.

如圖，過(guò)點(diǎn)H作HO1AC,垂足為。，則“。=*,記圓〃與線段0C的交點(diǎn)為K,連接HK，可得

6

好

HK=—,:.cosZOHK=—=^=—ZOHK=0,.?.點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為圓H周長(zhǎng)的1，

6HK244

10.答案：（1）也

⑵B

2

解析：(1)設(shè)點(diǎn)A到平面A.BC的距離為h,

因?yàn)橹比庵鵄BC-A^C,的體積為4,

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所以匕-A8c=§S△ABCX=§匕flC-AfliG=§，

又△ABC的面積為2&,匕…c=；S^BCh=；X2血力=g,

所以〃=y[2?

即點(diǎn)A到平面ABC的距離為x/2.

(2)取A8的中點(diǎn)E,連接AE,則AE_LA8,

因?yàn)槠矫鍭8C_L平面43片4,平面ABCD平面=AB,

所以AEJ_平面ABC，所以AE_L8C,

又AA_L平面ABC,

所以A4,J_BC,因?yàn)锳4,nAE=A,所以8C_L平面人8片4