高一數(shù)學集合知識點

高一數(shù)學集合知識點集PAGE2-1.1集合1.1.1集合的含義與表示一、集合的含義集合是一定范圍的，確定的，可以區(qū)別的事物，當作一個整體來看待，就叫做集合，簡稱集，其中各事物叫做集合的元素或簡稱元，是具有某種特定性質(zhì)的事物的總體．

關(guān)鍵詞：確定的、總體

【特征】

確定性、無序性、互異性、

【表示方法】

列舉法、描述法、圖示法．二、元素與集合關(guān)系得判斷【知識點的認識】一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．

【命題方向】元素與集合之間的關(guān)系命題方向有二，一是驗證元素是否是集合的元素；二是知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．

【解題方法點撥】如題型一：已知A是偶數(shù)集，試判斷a=2b2+4b，b∈N是否是集合的元素？

方法點撥：因為偶數(shù)都可以寫成整數(shù)2倍的形式，故解決本題的方法就是看元素a能否變成數(shù)的2倍的形式．三、集合的確定性、互異性、無序性【知識點的認識】集合中元素具有確定性、互異性、無序性三大特征．

（1）確定性：集合中的元素是確定的，即任何一個對象都說明它是或者不是某個集合的元素，兩種情況必居其一且僅居其一，不會模棱兩可，例如“著名科學家”，“與2接近的數(shù)”等都不能組成一個集合．

（2）互異性：一個給定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出現(xiàn)相同的元素．例如不能寫成{1，1，2}，應寫成{1，2}．

（3）無序性：集合中的元素，不分先后，沒有如何順序．例如{1，2，3}與{3，2，1}是相同的集合，也是相等的兩個集合．【解題方法點撥】解答判斷型題目，注意元素必須滿足三個特性；一般利用分類討論逐一研究，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程的思想，解答問題，結(jié)果需要回代驗證，元素不許重復．

【命題方向】本部分內(nèi)容屬于了解性內(nèi)容，但是近幾年高考中基本考查選擇題或填空題，試題多以集合相等，含參數(shù)的集合的討論為主．四、集合的分類【知識點的認識】集合的分類主要依集合中元素個數(shù)的多少來劃分，有限集和無限集兩種．

有限集元素個數(shù)是確定的，元素個數(shù)有限個，可以利用列舉法或描述法表示；無限集元素個數(shù)是無限的，只能利用描述法表示．

【解題方法點撥】從集合的元素個數(shù)直接判斷．

【命題方向】這一考點，是了解內(nèi)容，會考多以選擇題判斷為主，高考多與集合之間的關(guān)系聯(lián)合命題．五、集合的表示法【知識點的認識】

1．列舉法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法．{1，2，3，…}，注意元素之間用逗號分開．

2．描述法：常用于表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字，符號或式子等描述出來，寫在大括號內(nèi)，這種表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x為該集合的元素的一般形式，P為這個集合的元素的共同屬性）如：小于π的正實數(shù)組成的集合表示為：{x|0＜x＜π}

3．圖示法（Venn圖）：為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線（或者說圓圈），用它的內(nèi)部表示一個集合．

4．自然語言（不常用）．【解題方法點撥】在掌握基本知識的基礎(chǔ)上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用數(shù)形結(jié)合思想解答問題，例如數(shù)軸的應用，Venn圖的應用，通過轉(zhuǎn)化思想解答．注意解題過程中注意元素的屬性的不同，例如：{x|2x-1＞0}表示實數(shù)x的范圍；{（x，y）|y-2x=0}表示方程的解或點的坐標．

【命題方向】本考點是考試命題?？純?nèi)容，多在選擇題，填空題值出現(xiàn)，可以與集合的基本關(guān)系，不等式，簡易邏輯，立體幾何，線性規(guī)劃，概率等知識相結(jié)合．1.1.2集合間的基本關(guān)系一、子集與真子集【知識點的認識】子集定義：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集（subset）．

記作：A?B（或B?A）．

而真子集是對于子集來說的．

真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．

也就是說如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則稱A是B的子集，

若B中有一個元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注①空集是所有集合的子集

②所有集合都是其本身的子集

③空集是任何非空集合的真子集

例如：所有亞洲國家的集合是地球上所有國家的集合的真子集．

所有的自然數(shù)的集合是所有整數(shù)的集合的真子集．

{1，3}?{1，2，3，4}

{1，2，3，4}?{1，2，3，4}

真子集和子集的區(qū)別

子集就是一個集合中的全部元素是另一個集合中的元素，有可能與另一個集合相等；

真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括號括起來的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；

另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般來說，真子集是在所有子集中去掉空集和它本身，所以對于含有n個（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個；真子集就有2n-2．但空集屬特殊情況，它只有一個子集，沒有真子集．

【解題方法點撥】注意真子集和子集的區(qū)別，不可混為一談，A?B，并且A?B時，有A=B，但是A?B，并且B?A，是不能同時成立的；子集個數(shù)的求法，空集與自身是不可忽視的．

【命題方向】本考點要求理解，高考會考中多以選擇題、填空題為主，曾經(jīng)考查子集個數(shù)問題，常常與集合的運算，概率，函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合命題．二、集合的包含關(guān)系及其應用【知識點的認識】如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；

如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，即A=B．

【解題方法點撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．

2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．

3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．

4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的解集，子集的個數(shù)，簡易邏輯等知識相結(jié)合命題．三、集合的相等【知識點的認識】

（1）若集合A與集合B的元素相同，則稱集合A等于集合B．

（2）對集合A和集合B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A=B．就是如果A?B，同時B?A，那么就說這兩個集合相等，記作A=B．

（3）對于兩個有限數(shù)集A=B，則這兩個有限數(shù)集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性質(zhì)：①兩個集合的元素個數(shù)相等；②兩個集合的元素之和相等；③兩個集合的元素之積相等．由此知，以上敘述實質(zhì)是一致的，只是表達方式不同而已．上述概念是判斷或證明兩個集合相等的依據(jù)．【解題方法點撥】集合A與集合B相等，是指A的每一個元素都在B中，而且B中的每一個元素都在A中．解題時往往只解答一個問題，忽視另一個問題；解題后注意集合滿足元素的互異性．

【命題方向】通常是判斷兩個集合是不是同一個集合；利用相等集合求出變量的值；與集合的運算相聯(lián)系，也可能與函數(shù)的定義域、值域聯(lián)系命題，多以小題選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，有時出現(xiàn)在大題的一小問．四、集合中元素個數(shù)的最值【知識點的認識】

【命題方向】

【解題方法點撥】求集合中元素個數(shù)的最大（?。┲祮栴}的方法通常有：類分法、構(gòu)造法、反證法、一般問題特殊化、特殊問題一般化等．需要注意的是，有時一道題需要綜合運用幾種方法才能解決．五、空集的定義、性質(zhì)及運算【知識點的認識】空集的定義：不含任何元素的集合稱為空集．記作?．空集的性質(zhì)：空集是一切集合的子集．

空集不是沒有；它是內(nèi)部沒有元素的集合，而集合是存在的．這通常是初學者的一個難理解點．

將集合想象成一個裝有其元素的袋子的想法或許會有幫助；

袋子可能是空的，但袋子本身確實是存在的．

例如：{x|x2+1=0，x∈R}=?．雖然有x的表達式，但方程中根本就沒有這樣的實數(shù)x使得方程成立，所以方程的解集是空集．

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

【解題方法點撥】解答與空集有關(guān)的問題，例如集合A∩B=B?B?A，實際上包含3種情況：①B=?；②B?A且B≠?；

③B=A；往往遺漏B是?的情形，所以老師們在講解這一部分內(nèi)容或題目時，總是說“空集優(yōu)先的原則”，就是首先

考慮空集．

【命題方向】一般情況下，多與集合的基本運算聯(lián)合命題，是學生容易疏忽、出錯的地方，考查分析問題解決問題的細心程度，

難度不大，可以在選擇題、填空題、簡答題中出現(xiàn)．1.1.3集合的基本運算一、并集及其運算【知識點的認識】

由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．

符號語言：A∪B={x|x∈A或x∈B}．

圖形語言：．

A∪B實際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運算形狀：

①A∪B=B∪A．②A∪?=A．③A∪A=A．④A∪B?A，A∪B?B．⑤A∪B=B?A?B．⑥A∪B=?，兩個集合都是空集．⑦A∪（CUA）=U．⑧CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）．

【解題方法點撥】解答并集問題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；注意并集中元素的互異性．不能重復．

【命題方向】掌握并集的表示法，會求兩個集合的并集，命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域聯(lián)合命題．二、交集及其運算【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素的所有元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．

符號語言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

圖形語言：．

A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．

當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．

運算形狀：

①A∩B=B∩A．②A∩?=?．③A∩A=A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B=A?A?B．⑥A∩B=?，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（CUA）=?．⑧CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．

【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．

命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．三、補集及其運算【知識點的認識】一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U．（通常把給定的集合作為全集）．

對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作CUA，即CUA={x|x∈U，且x?A}．其圖形表示如圖所示的Venn圖．．

【解題方法點撥】常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補集常用于對立事件，否命題，反證法．【命題方向】通常情況下以小題出現(xiàn)，高考中直接求解補集的選擇題，有時出現(xiàn)在簡易邏輯中，也可以與函數(shù)的定義域、值域，不等式的解集相結(jié)合命題，也可以在恒成立中出現(xiàn)．四、全集及其運算【知識點的認識】一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U．（通常把給定的集合作為全集）．全集是相對概念，元素個數(shù)可以是有限的，也可以是無限的．例如{1，2}；R；Q等等．

【解題方法點撥】注意審題，可以借助數(shù)軸韋恩圖解答．

【命題方向】本考點屬于理解，常出現(xiàn)的類型有直接求出全集，利用全集求解子集的個數(shù)，集合在參數(shù)的范圍等問題，難度屬于容易題．五、交、并、補集的混合運算【知識點的認識】集合交換律A∩B=B∩A，A∪B=B∪A．

集合結(jié)合律（A∩B）∩C=A∩（B∩C），（A∪B）∪C=A∪（B∪C）．

集合分配律A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）．

集合的摩根律

Cu（A∩B）=CuA∪CuB，Cu（A∪B）=CuA∩CuB．

集合吸收律A∪（A∩B）=A，A∩（A∪B）=A．

集合求補律A∪CuA=U，A∩CuA=Φ．

【解題方法點撥】直接利用交集、并集、全集、補集的定義或運算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答．

【命題方向】理解交集、并集、補集的混合運算，每年高考一般都是單獨命題，一道選擇題或填空題，屬于基礎(chǔ)題．六、Venn圖表達集合的關(guān)系及運算【知識點的認識】用平面上一條封閉曲線的內(nèi)部來代表集合，這個圖形就叫做Venn圖（韋恩圖）．集合中圖形語言具有直觀形象的特點，將集合問題圖形化，利用Venn圖的直觀性，可以深刻理解集合的有關(guān)概念、運算公式，而且有助于顯示集合間的關(guān)系．

運算公式：card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）的推廣形式：

card（A∪