2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）第四章 數(shù)列單元綜合測試卷

第四章數(shù)列單元綜合測試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列是首項(xiàng)為5，公差為2的等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，即，則．故選：A．2．?dāng)?shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】，，，，，……，所以數(shù)列的周期為，.故選：C3．設(shè)為等比數(shù)列，則“對(duì)于任意的”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】充分性：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，情形一：當(dāng)時(shí)，由得，解得或，若，則，此時(shí)與已知矛盾；若，則，此時(shí)為遞增數(shù)列；情形二：當(dāng)，由得，解得或，

若，則，此時(shí)與已知矛盾；若，則，此時(shí)為遞增數(shù)列；必要性：反之，若為遞增數(shù)列，則，所以“對(duì)于任意的”是“為遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.4．利用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)證明（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，，即從起連續(xù)項(xiàng)正整數(shù)之和.則為從起連續(xù)3個(gè)正整數(shù)之和，故第一步應(yīng)證明.故選：B.5．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（

）A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 B．C．的最大值為 D．【答案】C【解析】由題意，，，則，故B錯(cuò)誤；數(shù)列的公差，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；由于時(shí)，，時(shí)，，所以的最大值為，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：C.6．斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱“兔子數(shù)列”，其數(shù)值為：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在數(shù)學(xué)上，這一數(shù)列以如下遞推的方法定義：，，記此數(shù)列為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，，，，則.故選：C.7．等差數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為、，且，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】∵與均為等差數(shù)列，∴，，則.故選：C.8．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，所以，因?yàn)?，可得，所以，所以，所以，，即?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，因此.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，下列選項(xiàng)能正確表示數(shù)列的公式有（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對(duì)A，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，不符合數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由，可得，由可得，故，由，可知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；由，可知當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.故該遞推公式符合數(shù)列，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，不符合數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，符合數(shù)列的通項(xiàng)公式，故D正確.故選：BD.10．在公比為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則下列說法正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列是公差為2的等差數(shù)列【答案】ABC【解析】由，又公比為整數(shù).解得.對(duì)于A，，故A正確，對(duì)于B，.所以，，所以數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，故B正確，對(duì)于C，，故C正確，對(duì)于D，，，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11．設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，是其前n項(xiàng)的積，且，，則下列選項(xiàng)中成立的是（

）A． B．C． D．與均為的最大值【答案】ABD【解析】AB選項(xiàng)，由已知數(shù)列各項(xiàng)均為正，因此乘積也為正，公比，又，，，，B正確；又，故，即，A正確；C選項(xiàng)，由得，所以，而，，因此，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由上知，先增后減，與均為的最大值，D正確．故選：ABD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.【答案】380【解析】，所以，.故答案為：380.13．已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則的值是.【答案】【解析】由題意得：，解得：，，解得：，所以.故答案為：.14．一般地，對(duì)于數(shù)列，如果存在一個(gè)正整數(shù)，使得當(dāng)取每一個(gè)正整數(shù)時(shí)，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的一個(gè)周期．給出下列四個(gè)判斷：①對(duì)于數(shù)列，若，則為周期數(shù)列；②若滿足：，，則為周期數(shù)列；③若為周期數(shù)列，則存在正整數(shù)，使得恒成立；④已知數(shù)列的各項(xiàng)均為非零整數(shù)，為其前項(xiàng)和，若存在正整數(shù)，使得恒成立，則為周期數(shù)列．其中所有正確判斷的序號(hào)是．【答案】②③【解析】①若數(shù)列：，此時(shí)數(shù)列滿足，而數(shù)列不是周期數(shù)列，①錯(cuò)；②∵，即，為周期數(shù)列，②對(duì)；③∵為周期數(shù)列，不妨設(shè)周期為，即數(shù)列中有個(gè)不同的值，并且是這個(gè)確定的值重復(fù)出現(xiàn)，故一定存在正整數(shù)，使得恒成立，③對(duì)；④設(shè)數(shù)列首項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)當(dāng)時(shí)，滿足，但數(shù)列不是周期數(shù)列，④錯(cuò).故答案為：②③四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知等差數(shù)列滿足：，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和；(2)求的值.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，所以，則，所以.（2）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，，是以為首項(xiàng)，公差為4的等差數(shù)列，所以.16．（15分）已知數(shù)列滿足，.(1)令，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）因?yàn)?又，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.（2）由（1）有，可得，所以有.17．（15分）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)，，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng).【解析】（1）由，則，且，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列的最小項(xiàng)為，由函數(shù)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，則數(shù)列的最大項(xiàng)為.18．（17分）已知是等差數(shù)列，是公比不為1的等比數(shù)列，，，，且是與的等差中項(xiàng)．(1)求：數(shù)列和的通項(xiàng)公式．(2)設(shè)，求．(3)若對(duì)于數(shù)列、，在和之間插入個(gè)，組成一個(gè)新的數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，，由，則，故，所以，則，由，則，又由是與的等差中項(xiàng)，所以，即，解得或（舍去），故；（2）由，則，則，，兩式相減得，，，則，其中①，②②相減可得，，則，所以，則；（3）根據(jù)題意可得，則，故，則，故當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，成立，所以共有項(xiàng)，共有個(gè)，則.19．（17分）已知數(shù)列是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列.若存在常數(shù)，對(duì)任意的成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì).(1)若，請(qǐng)判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)；(2)若數(shù)列滿足，求證：“數(shù)列具有性質(zhì)”是“數(shù)列為常數(shù)列”的充要條件；(3)已知數(shù)列中，且.若數(shù)列只有性質(zhì)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】（1），對(duì)于，故，所以數(shù)列不具有“性質(zhì)”.（2）先證“充分性”：當(dāng)數(shù)列具有“性質(zhì)”時(shí)，有，又因?yàn)?，所以，進(jìn)而有，結(jié)合有，即“數(shù)列為常數(shù)列”；再證“必要