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文檔簡介
第一章集合與常用邏輯用語章末題型歸納總結目錄模塊一:本章知識思維導圖 2模塊二:典型例題 3題型一:集合的基本概念 3題型二:集合的基本關系 4題型三:集合的交、并、補運算 7題型四:利用子集關系求參數(shù) 9題型五:子集、真子集的個數(shù)問題 11題型六:韋恩圖的應用 12題型七:根據集合的交、并、補求參問題 15題型八:充分必要條件的判斷 18題型九:充分必要條件的求參問題 20題型十:全稱量詞與存在量詞 23題型十一:集合新定義問題 24模塊三:數(shù)學思想方法 26①分類討論思想 26②轉化與化歸思想 29③數(shù)形結合思想 30
模塊一:本章知識思維導圖
模塊二:典型例題題型一:集合的基本概念例1.(2024·高一·上海·隨堂練習)下列命題中正確的有(
).①很小的實數(shù)可以構成集合;②R表示一切實數(shù)組成的集合;③給定的一條長度為0.3的線段上的所有點組成的集合是有限集;④2023年聯(lián)合國所有常任理事國組成一個集合.A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】C【解析】對于①,很小的實數(shù)是個不確定的概念,不可以構成集合,故錯誤;對于②,R表示一切實數(shù)組成的集合,故正確;對于③,給定的一條長度為0.3的線段上的所有點組成的集合是無限集,故錯誤;對于④,2023年聯(lián)合國常任理事國有中國、俄羅斯、英國、法國、美國,能組成一個集合,故正確.故選:C.例2.(2024·高一·河北邯鄲·階段練習)已知集合,則中元素的個數(shù)為(
)A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】依題意,,所以中元素的個數(shù)為5.故選:C例3.(2024·四川樂山·三模)已知集合,則集合A的元素個數(shù)為(
)A.9 B.8 C.6 D.5【答案】C【解析】,共6個元素.故選:C.例4.(2024·高一·湖北十堰·期末)下列關系中正確的個數(shù)為(
)①,②,③④A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C例5.(2024·高一·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習)下列說法正確的是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】對于選項A:因為0是元素,是自然數(shù)集,則,故A錯誤;對于選項B:因為與都是集合,且的元素為數(shù)值,用表示兩集合關系不對,故B錯誤;對于選項C:因為是整數(shù)集,則,可知,故C正確;對于選項D:因為是有理數(shù)集,則,故D錯誤;故選:C.題型二:集合的基本關系例6.(2024·高一·福建龍巖·開學考試)設集合,,,則下列關系中正確的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】,,中的元素為點,故,故選:B例7.(2024·高二·福建泉州·階段練習)有下列關系式:①;②;③;④;⑤;⑥其中不正確的是(
)A.①③ B.②④⑤ C.③④ D.①②⑤⑥【答案】C【解析】對①:因為集合元素具有無序性,顯然①正確;對②:因為集合,故正確,即②正確;對③:空集是一個集合,而集合是以空集為元素的一個集合,因此不正確;對④:是一個集合,僅有一個元素0,但是空集不含任何元素,于是,故④不正確;對⑤:由④可知,非空,于是有,因此⑤正確;對⑥:顯然成立,因此⑥正確.綜上,本題不正確的有③④,于是本題選項為C.故選:C.例8.(多選題)(2024·高一·四川攀枝花·階段練習)如圖中陰影部分所表示的集合是(
)
A. B. C. D.【答案】AD【解析】A選項:,則,故A正確;B選項:,則,故B錯誤;C選項:,則,故C錯誤;D選項:,,故D正確.故選:AD.例9.(多選題)(2024·高一·四川攀枝花·階段練習)如圖中陰影部分所表示的集合是(
)
A. B. C. D.【答案】AD【解析】A選項:,則,故A正確;B選項:,則,故B錯誤;C選項:,則,故C錯誤;D選項:,,故D正確.故選:AD.例10.(2024·高一·湖北十堰·期末)集合,,的關系是(
)A. B.C. D.【答案】C【解析】任取,則,,所以,所以,任取,則,,所以,所以,所以,任取,則,,所以,所以,又,,所以,所以,故選:C.例11.(多選題)(2024·江蘇南通·模擬預測)設為全集,集合滿足條件,那么下列各式中不一定成立的是()A. B.C. D.【答案】ABC【解析】當,,,時,滿足,此時,不是的子集,所以A、B不一定成立;,,所以C不一定成立;對于D,若,則,但,因為,所以,于是,所以,同理若,則,,因此,成立,所以D成立.故選:ABC.題型三:集合的交、并、補運算例12.(2024·高一·江蘇南京·階段練習)設集合,,則A∩?RB=【答案】【解析】因為,所以或,所以,故答案為:例13.(2024·高三·黑龍江哈爾濱·階段練習)已知,集合,.則.【答案】【解析】由題意,全集,集合,,所以,所以.故答案為:.例14.(多選題)(2024·全國·二模)已知集合,則(
)A. B.C. D.【答案】CD【解析】,,選項錯誤;,選項B錯誤;,選項正確;,選項D正確.故選:CD例15.(多選題)(2024·浙江杭州·模擬預測)已知集合,則下列關系正確的是(
)A. B.C. D.【答案】ACD【解析】因為集合,可得,,且,對于A中,由,,可得,所以A正確;對于B中,由,可得,所以B不正確;對于C中,由,可得,所以C正確;對于D中,由,,所以,所以D正確.故選:ACD.題型四:利用子集關系求參數(shù)例16.(2024·高一·上?!るS堂練習)若集合,,且,求滿足的條件.【解析】由可知是的子集,①當時,,所以;②當時,,所以,解得;③當時,所以,解得;④當時,,所以,解得;綜上可知,滿足的條件為或或或.例17.(2024·高一·四川·階段練習)設集合,.(1)若B中有且只有一個元素,求實數(shù)m的值;(2)若求實數(shù)m的值.【解析】(1)解法一:因為,整理可得,解得或,又B中只有一個元素,故.解法二:B中有且只有一個元素,所以方程有唯一實根,從而,所以m=1.(2)由,解得或,由,整理可得,解得或,B?A,當m=1時,B={﹣1},滿足B?A,當m=2時,B={﹣1,﹣2}同樣滿足B?A,故m=1或m=2.例18.(2024·高一·全國·課后作業(yè))已知集合,,且,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】由題意知,若,則,解得,若,,解得或,當時,則方程為,解得,此時,不合題意,舍去,當時,則方程為,解得,,不合題意,舍去,當,即,解得或,則由題意知,則1,4為方程兩根,根據韋達定理得,綜上所述的范圍是或.例19.(2024·高一·全國·課后作業(yè))設集合,,且.(1)若,求實數(shù)的值;(2)若,且,求實數(shù)的值.【解析】(1)由解得,所以,因為,所以是集合中元素,所以將代入得,解得,.(2)因為,由(1)得是集合中元素,當即時,此時符合題意;當時,①,此時符合題意;②,此時不滿足集合元素的互異性,舍去;綜上或.題型五:子集、真子集的個數(shù)問題例20.(2024·高一·全國·課后作業(yè))設集合,,,則集合的子集的個數(shù)是.【答案】4【解析】聯(lián)立消去,得,可知方程有兩解,故集合中有2個元素,故的子集有個.故答案為:4例21.(2024·高二·安徽·階段練習)設集合,則集合的真子集個數(shù)為.【答案】63【解析】由可知是的正因數(shù),即可取,故可得的值依次取,即,故集合的真子集有個.故答案為:63.例22.(2024·高一·全國·競賽)已知集合,且,給出下列命題:①滿足的集合的個數(shù)為;②滿足?的集合的個數(shù)為;③滿足?的集合的個數(shù)為;④滿足??的集合的個數(shù)為.其中正確的是.(填上你認為正確的所有命題序號)【答案】①③【解析】①滿足的集合的個數(shù)為的子集的個數(shù),即;②滿足?的集合的個數(shù)為的非空子集的個數(shù),即;③滿足?的集合的個數(shù)為的真子集的個數(shù),即;④滿足??的集合的個數(shù)為的非空真子集的個數(shù),即.故答案為:①③.例23.(2024·高三·全國·專題練習)集合的真子集的個數(shù)是.【答案】31【解析】共5個元素,則真子集的個數(shù)是.故答案為:31例24.(2024·高二·全國·競賽)設非空集合滿足,,則這樣的的個數(shù)為.【答案】【解析】由題設可得,這5組中的每一組中的元素必定同時出現(xiàn)在集合中,故這樣的非空集合的個數(shù)為,故答案為:題型六:韋恩圖的應用例25.(2024·高二·河北·階段練習)某班有學生45人,經調查發(fā)現(xiàn),喜歡打籃球的學生有20人,喜歡打羽毛球的學生有32人,其中既喜歡打籃球,又喜歡打羽毛球的學生有15人,則該班學生中既不喜歡打籃球,也不喜歡打羽毛球的學生有人.【答案】8【解析】設全集為,集合表示喜歡打籃球的學生,集合表示喜歡打羽毛球的學生,如圖所示,由圖可得該班學生中既不喜歡打籃球,也不喜歡打羽毛球的學生有人.故答案為:8例26.(2024·高二·山西晉中·階段練習)某班45名同學全部參加除草和植樹兩項勞動,依據表現(xiàn)評定為優(yōu)秀和合格兩個等級,結果如下:優(yōu)秀合格合計除草15植樹202545若在兩個項目中都“合格”的學生最多為10人,則在兩個項目中都優(yōu)秀的同學最多為.【答案】15【解析】設集合表示除草優(yōu)秀的學生,集合表示植樹優(yōu)秀的學生,全班學生用集合表示,則表示除草合格的學生,表示植樹合格的學生,作出圖,如圖,設兩項勞動都優(yōu)秀的人數(shù)為,兩項勞動都合格的人數(shù)為,由圖可得,即,因為,所以,即兩個項目中都優(yōu)秀的同學最多為15.故答案為:15.例27.(2024·高一·北京·階段練習)某班一共有40名學生,在剛結束的學校田徑運動會上,有16人報名參加了田賽項目,有20人報名參加了徑賽項目,田賽和徑賽都沒參加的人數(shù)是都參加的人數(shù)的2倍,則田賽和徑賽都參加的人數(shù)是.【答案】【解析】40名學生組成的集合為,參加田賽項目的16名學生組成的集合為,參加徑賽項目的20名學生組成的集合為,設兩個項目都參加的有人,則只參加田賽項目的有人,只參加徑賽項目的有人,兩項都沒參加的有人,則依題:,所以,.所以該班學生中田賽和徑賽都有參加的人數(shù)為4.故答案為:4例28.(2024·高一·廣西南寧·階段練習)一群學生參加學科夏令營,每名同學至少參加一個學科考試.已知有100名學生參加了數(shù)學考試,50名學生參加了物理考試,48名學生參加了化學考試,學生總數(shù)是只參加一門考試學生數(shù)的2倍,也是參加三門考試學生數(shù)的3倍,則學生總數(shù)為.【答案】108【解析】設只參加了數(shù)學、物理、化學考試的學生數(shù)分別為,,;參加了兩門學科考試的同學中參加了數(shù)學和物理、物理和化學、化學和數(shù)學的學生數(shù)分別為,,;同時參加了三門學科考試的學生數(shù)為,如圖所示:根據題意可得,前面三個等式相加,可得.由第四個等式可得,,因此,解得.因此學生總數(shù)為.故答案為:108.題型七:根據集合的交、并、補求參問題例29.(2024·高一·陜西咸陽·階段練習)已知集合,.(1)若,,求實數(shù)a的值;(2)從條件①②③這三個條件中選擇一個作為已知條件,求實數(shù)a的取值范圍.條件:①;②;③.【解析】(1)由于,所以,解得.(2)恒成立,所以是非空集合.若選①,,,則,解得.若選②,,或,所以,解得.若選③,,或,所以,解得.例30.(2024·高一·江西撫州·階段練習)已知集合.(1)若,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若中只有一個整數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1),當即時,滿足題意;當即時,;欲使,則有,即.綜上所述:實數(shù)a的取值范圍是.(2)易得當即時,,不符合題意;當即時,,若中只有一個整數(shù),則此整數(shù)為依題意得,即綜上所述:實數(shù)a的取值范圍是.例31.(2024·高一·山東·階段練習)已知集合,.(1)若,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)因為,所以或,又且,所以,解得,所以實數(shù)a的取值范圍是;(2)若,則,當時,,解得;當時,,即,要使,則,解得,此時;綜上,實數(shù)a的取值范圍為例32.(2024·高一·四川南充·階段練習)已知集合?,,其中?.(1)若?,求?的值;(2)若對?,有?,求?的取值范圍.【解析】(1)因為?,所以?,又方程?的解為?或?,當時,,將?代入?得?,則?,所以?,則?,當?時,,將?代入?得?,綜上?,或?.(2)若對?,有?,則?,當?時,或,當?時,,由(1)可得當?時,?,由(1)當?,即?或?時,集合中含兩個不同元素,又中至多兩個元素,,所以且,由(1)得?,當?時,即?時,?,對?,都成立,綜上,?或或?或?例33.(2024·高一·全國·課后作業(yè))已知集合,或x>5,若,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】解析
由,得,從而.①若,則,解得;②若,在數(shù)軸上標出集合A,B,如圖所示,則,解得.綜上,實數(shù)a的取值范圍是.例34.(2024·高一·浙江臺州·階段練習)設全集,集合,,.(1)求;(2)若,求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)或,故.(2),因為,故.題型八:充分必要條件的判斷例35.(2024·高三·福建莆田·開學考試)若,,則“,且”是“,且”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若“,且”,則“,且”,若已知“,且”,可取,,滿足,且,但不滿足,且,所以“,且”是“,且”的充分不必要條件;故選:A例36.(2024·高一·貴州·階段練習)若,則的一個充分不必要條件為(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】依題意可知選項是的充分不必要條件,則選項的范圍是的子集,對于選項A,不是的子集,故A不滿足;對于選項B,不是的子集,故B不滿足;對于選項C,不是的子集,故C不滿足;對于選項D,不是的子集,故D滿足.故選:D例37.(2024·高一·遼寧鞍山·階段練習)若,,則“”的一個充分不必要條件可以是(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】對A,由,取,則,由,取,則,所以是的既不充分也不必要條件,A錯誤;對B,由取,則,由,取,則,所以是的既不充分也不必要條件,B錯誤;對C,由,取,則,由,取,則,所以是的既不充分也不必要條件,C錯誤;對D,因為,所以,即,當時,取,則,所以是“”的一個充分不必要條件,D正確;故選:D.例38.(2024·福建寧德·模擬預測)甲、乙、丙、丁四位同學在玩一個猜數(shù)字游戲,甲、乙、丙共同寫出三個集合:,,,然后他們三人各用一句話來正確描述“”表示的數(shù)字,并讓丁同學猜出該數(shù)字,以下是甲、乙、丙三位同學的描述,甲:此數(shù)為小于5的正整數(shù);乙:是的必要不充分條件;丙:是的充分不必要條件.則“”表示的數(shù)字是(
)A.3或4 B.2或3 C.1或2 D.1或3【答案】C【解析】因為此數(shù)為小于5的正整數(shù),所以,.因為是的必要不充分條件,是的充分不必要條件,所以是的真子集,是的真子集,所以且,解得,所以“”表示的數(shù)字是1或2,故正確.故選:C.題型九:充分必要條件的求參問題例39.(2024·高一·遼寧·階段練習)已知集合為非空集合.(1)若,求的值;(2)若“”是“”的必要不充分條件,求的取值范圍.【解析】(1)因為,所以,解得.故的值為.(2)因為“”是“”的必要不充分條件,所以為真子集,所以解得.故的取值范圍是.例40.(2024·高一·山西太原·階段練習)在A充分不必要條件,B必要不充分條件,C充要條件這三個條件中選擇一個補充下面的問題,若問題中的存在,求的取值范圍;若問題中的不存在,說明理由.已知集合,,是否存在實數(shù),使得是的________?注:如果選擇多個條件分別解答,則按第一個解答計分.【解析】選A:若是的充分不必要條件,則是的真子集,故且等號不同時成立,即,無解,故不存在實數(shù),使得是的充分不必要條件.選B:若是的必要不充分條件,則是的真子集,當時,,解得,滿足題意;當時,,此時且等號不同時成立,解得,故,綜上有,故若是的必要不充分條件,則.選C:若是的充要條件,則,故,無解,故不存在實數(shù),使得是的充要條件.例41.(2024·高一·安徽·階段練習)已知,(1)若p是q的充分不必要條件,求實數(shù)m的取值范圍.(2)若p是q的必要不充分條件,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)由p是q的充分不必要條件,得集合是集合的真子集,所以或解得.所以實數(shù)m的取值范圍是.(2)由p是q的必要不充分條件,得集合是集合的真子集,當,則,即時,符合題意;當,即時,可得或,解得.綜上可得例42.(2024·高一·四川眉山·階段練習)已知集合,,是否存在實數(shù),使得是成立的______?(1)當橫線部分內容為“充要條件”時,若問題中的存在,求出的取值范圍,若問題中的不存在,請說明理由?(2)請在①充分不必要條件②必要不充分條件這兩個條件中任選一個補充在上面的問題中橫線部分.若問題中的存在,求出的取值范圍,若問題中的不存在,請說明理由.【解析】(1)當橫線部分內容為“充要條件”時,則,則且,方程組無解.∴不存在滿足條件的.(2)若選①,則是的真子集,則且(兩等號不同時取),且,解得,∴問題中的存在,且的取值集合.選②,則是的真子集,當時,,即,滿足是的真子集;當時,,即,由是的真子集,得且(兩等號不同時?。獾?;綜上所述:.所以問題中的存在,且的取值集合.例43.(2024·高一·全國·課后作業(yè))已知,,若p是q的必要不充分條件,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】因為p是q的必要不充分條件,所以是的真子集,故有或解得.又,所以實數(shù)m的取值范圍為.題型十:全稱量詞與存在量詞例44.(2024·高二·湖南長沙·開學考試)命題“,”的否定是(
)A., B.,C., D.,【答案】A【解析】命題“,”的否定是,.故選:A.例45.(2024·高一·遼寧·階段練習)已知命題:,,則為(
).A., B.,C.,或 D.,或【答案】D【解析】由全稱命題的否定是特稱命題知:原命題的否定為,或.故選:D例46.(2024·高一·全國·單元測試)已知命題“”為真命題,則實數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】因為命題“”為真命題,所以命題“”為真命題,所以時,.因為,所以當時,,此時.所以時,,即實數(shù)的取值范圍是.故選:C.例47.(2024·高一·天津·期中)已知,若的否定為真命題,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意命題p:的否定為:為真命題,即,故,即,故選:D題型十一:集合新定義問題
52.(2024·高一·黑龍江哈爾濱·階段練習)已知集合A,B是實數(shù)集R的子集,定義,,若集合,且,則.【答案】【解析】由題意可得:或,,所以.故答案為:.例48.(2024·高一·重慶沙坪壩·開學考試)對于任意集合M,N,定義:.已知集合,,則.【答案】【解析】因為,,所以.故答案為:.例49.(2024·高一·全國·課后作業(yè))在整數(shù)集中,被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”,記為,即.給出如下三個結論:①;②;③.其中,正確結論的序號是.【答案】①③【解析】對于①:因為,所以故①正確;對于②:因為,所以,故②錯誤;對于③:因為整數(shù)集中的數(shù)被5除的數(shù)可以且只可以分成五類,所以,故③正確.故答案為:①③.例50.(2024·高一·全國·課后作業(yè))約定與是兩個運算符號,其運算法則如下:對任意實數(shù),,有,.設且,,集合,則集合.(用列舉法表示)【答案】/【解析】由題意得:且①,又且,,則當,時;;當,時,;所以,故答案為:.模塊三:數(shù)學思想方法①分類討論思想例51.(2024·江西·高二寧岡中學??奸_學考試)已知集合,,則(
)A. B. C.或 D.【答案】B【解析】∵,∴或,若,解得或,當時,,不滿足集合中元素的互異性,故舍去;當時,集合,滿足題意,故成立,若,解得,由上述討論可知,不滿足題意,故舍去,綜上所述,.故選:B.例52.(2024·河北石家莊·高一??计谥校┤?,則的值是(
)A.0 B.1 C.-1 D.【答案】B【解析】因為,所以①或②,由①得或,其中與元素互異性矛盾,舍去,符合題意,由②得,符合題意,兩種情況代入,答案相同.故選:B例53.(2024·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習)設集合,,,若,,則(
)A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由,,得且,當時,無解;當時,解得.經檢驗,滿足題意.故選:C.例54.(2024·高一課時練習)已知集合,其中,函數(shù)的定義域為A,值域為B,則a,k的值分別為(
)A.2,3 B.3,4 C.3,5 D.2,5【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為A,值域為B,所以當時,;當時,;當時,;當時,;所以,又,所以若,解得或,因為,所以.此時,所以,則;若,又,所以不成立.綜上,.故選:D.例55.(2024·湖南長沙·周南中學校考二模)已知集合,,且,則的取值集合為(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得:或若,此時,集合的元素有重復,不符合題意;若,解得或,顯然時符合題意,而同上,集合的元素有重復,不符合題意;故.故選:B例56.(2024·福建廈門·廈門外國語學校??寄M預測)已知集合,若,則(
)A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】因為,所以,或,當時,,與集合元素的互異性矛盾,舍去;當時,,與集合元素的互異性矛盾,舍去;當時,,滿足集合元素互異性,滿足要求.故選:B②轉化與化歸思想例57.(2024·山東棗莊·高一棗莊八中校考期末)同時滿足:①,②,則的非空集合M有(
)A.6個 B.7個C.15個 D.16個【答案】B【解析】時,;時,;時,;時,;,,∴非空集合M為,,,,,,,共7個.故選:B例58.(2024·江蘇·高一假期作業(yè))若一個集合是另一個集合的子集,則稱兩個集合構成“鯨吞”;若兩個集合有公共元素且互不為對方的子集,則稱兩個集合構成“蠶食”,對于集合,,若這兩個集合構成“鯨吞”或“蠶食”,則a的取值集合為()A. B. C. D.【答案】A【解析】集合,,,,若,則,即有;若,可得,,不滿足;若,兩個集合有公共元素,但互不為對方子集,可得或,解得或.綜上可得,或或2.故選:A.例59.(2024·甘肅白銀·高一??计谀┮阎?,,則滿足的集合的個數(shù)為(
)A.4 B.8 C.7 D.16【答案】B【解析】先分別用列舉法表示出,然后根據確定出中一定有的元素和可能有的元素,從而求解出滿足的的個數(shù).因為的解為或,所以;又因為,且,所以
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