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第六節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)三函數(shù)展開成冪級數(shù)二泰勒級數(shù)一問題的提出2.展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?1.如果能展開,是什么?上節(jié)例題即得形如函數(shù)的展開式.需要考慮問題

是否存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以

為和函數(shù)?一問題的提出二泰勒級數(shù)1.Toylor公式：復(fù)習(xí)前面的兩個公式其中

在與之間函數(shù)展開冪級數(shù)的必要條件.定理1若在處能展開成冪級數(shù)則在內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),且證明在內(nèi)收斂于,即令,即得逐項求導(dǎo)任意次,得即為泰勒系數(shù)且泰勒系數(shù)是唯一的,所以的展開式是唯一的.問題泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?不一定.定義如果f(x)在點(diǎn)處任意階可導(dǎo),則冪級數(shù)稱為在點(diǎn)的泰勒級數(shù).稱為在點(diǎn)的麥克勞林級數(shù).在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo),且例如麥克勞林級數(shù)為該級數(shù)在內(nèi)和函數(shù)可見除外,的麥?zhǔn)霞墧?shù)處處不收斂于.函數(shù)展開冪級數(shù)的充要條件.證明必要性.設(shè)能展開為泰勒級數(shù).定理2在點(diǎn)的泰勒級數(shù),在內(nèi)收斂于在內(nèi)充分性即的泰勒級數(shù)收斂于定理3設(shè)在上有定義,對恒有則在內(nèi)可展開成點(diǎn)的泰勒級數(shù).證明在收斂故可展成點(diǎn)的泰勒級數(shù).三函數(shù)展開成冪級數(shù)1.直接法(泰勒級數(shù)法)步驟:寫出級數(shù):討論或則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收斂于解由于M的任意性,即得例1將展開成冪級數(shù).在

上解且例2將展開成冪級數(shù).解例3將展開成冪級數(shù).在內(nèi),若利用兩邊積分得即牛頓二項式展開式注意在處收斂性與的取值有關(guān).雙階乘當(dāng)時,有2.間接法根據(jù)唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項求導(dǎo),逐項積分等方法,求展開式.從而可以得到以下幾個常見的展開式:由例4將展開成冪級數(shù).解把換成得例5將展

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