2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用3.2.5距離選學(xué)學(xué)案新人教B版選修2-1

PAGEPAGE13．2.5距離(選學(xué))1.了解圖形與圖形的距離的概念．2.理解四種距離的概念．3.會(huì)求一些簡(jiǎn)潔的距離問(wèn)題．1．距離的概念一個(gè)圖形內(nèi)的任一點(diǎn)與另一圖形內(nèi)的任一點(diǎn)的距離中的最小值，叫做圖形與圖形的距離．2．點(diǎn)到平面的距離(1)連接平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)隨意一點(diǎn)的全部線段中，垂線段最短．(2)一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)正射影的距離，叫做點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．3．直線與它的平行平面的距離(1)假如一條直線平行于平面α，則直線上的各點(diǎn)到平面α所作的垂線段相等，即各點(diǎn)到α的距離相等．(2)一條直線上的任一點(diǎn)與它平行的平面的距離，叫做直線與這個(gè)平面的距離．4．兩個(gè)平行平面的距離(1)和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做兩個(gè)平面的公垂線．公垂線夾在平行平面間的部分，叫做兩個(gè)平面的公垂線段．(2)兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩個(gè)平行平面的距離．1．已知直線l過(guò)點(diǎn)A(1，－1，2)，和l垂直的一個(gè)向量為n＝(－3，0，4)，則P(3，5，0)到l的距離為()A．5 B．14C．eq\f(14,5) D．eq\f(4,5)答案：C2．在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)A1到平面BB1D1D的距離為()A．a(chǎn) B．eq\f(1,2)aC．eq\f(\r(3),4)a D．eq\f(\r(2),2)a解析：選D．設(shè)B1D1中點(diǎn)為O，則A1O即為點(diǎn)A1到平面BB1D1D的距離．可求得A1O＝eq\f(\r(2),2)a.3．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則BC到平面AB1C1D的距離為()A．1 B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2) D．eq\r(3)解析：選C．設(shè)AB1中點(diǎn)為O，則BO即為BC到平面AB1C1D的距離，可求得BO＝eq\r(2).計(jì)算兩點(diǎn)之間的距離如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將它沿對(duì)角線AC折起，使AB與CD成60°角，求B、D間的距離．【解】因?yàn)椤螦CD＝90°，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0.同理，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.因?yàn)锳B與CD成60°角，所以〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝60°或120°.又eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝3＋2×1×1×cos〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4，〈\o(BA,\s\up6(→))，\o(CD,\s\up6(→))〉＝60°，,2，〈\o(BA,\s\up6(→))，\o(CD,\s\up6(→))〉＝120°.))所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2或eq\r(2)，即B、D間的距離為2或eq\r(2).eq\a\vs4\al()計(jì)算兩點(diǎn)之間的距離和線段的長(zhǎng)度是計(jì)算四種距離中的最基本的題型．一般方法有三種：(1)構(gòu)造三角形，通過(guò)解三角形求解．(2)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用公式求解．(3)把線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模，利用|a|2＝a·a求解．設(shè)A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，則AB的中點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離|CM|＝()A．eq\f(\r(53),4) B．eq\f(53,2)C．eq\f(\r(53),2) D．eq\f(\r(13),2)答案：C求點(diǎn)到平面的距離四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F(xiàn)，E分別為AD，PC的中點(diǎn)．(1)求證：DE∥平面PFB；(2)求點(diǎn)E到平面PFB的距離．【解】(1)證明：以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P(0，0，2)，F(xiàn)(1，0，0)，B(2，2，0)，E(0，1，1)．eq\o(FP,\s\up6(→))＝(－1，0，2)，eq\o(FB,\s\up6(→))＝(1，2，0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0，1，1)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(FP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，又因?yàn)镈E?平面PFB，所以DE∥平面PFB.(2)因?yàn)镈E∥平面PFB，所以點(diǎn)E到平面PFB的距離等于點(diǎn)D到平面PFB的距離．設(shè)平面PFB的一個(gè)法向量n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(FB,\s\up6(→))＝0,n·\o(FP,\s\up6(→))＝0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,－x＋2z＝0，))令x＝2，得y＝－1，z＝1，所以n＝(2，－1，1)．又因?yàn)閑q\o(FD,\s\up6(→))＝(－1，0，0)，所以點(diǎn)D到平面PFB的距離d＝eq\f(|\o(FD,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).所以點(diǎn)E到平面PFB的距離為eq\f(\r(6),3).eq\a\vs4\al()(1)利用點(diǎn)到平面的距離的定義求點(diǎn)到平面的距離，只需作出點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，然后求垂線段的長(zhǎng)即可．(2)用向量法求點(diǎn)到平面的距離的方法：求出平面的一個(gè)法向量n的坐標(biāo)，再求出已知點(diǎn)P與平面內(nèi)任一點(diǎn)M構(gòu)成的向量eq\o(MP,\s\up6(→))的坐標(biāo)，那么P到平面的距離d＝|eq\o(MP,\s\up6(→))|·|cos〈n，eq\o(MP,\s\up6(→))〉|.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，點(diǎn)E為CC1的中點(diǎn)，求點(diǎn)D1到平面BDE的距離．解：以D點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz如圖，所以D(0，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，1)，故eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0，1，1)．設(shè)平面BDE的法向量n＝(x，y，z)，則n⊥eq\o(DB,\s\up6(→))，n⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(DB,\s\up6(→))＝0,n·\o(DE,\s\up6(→))＝0))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0,y＋z＝0))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x,z＝x))，取x＝1，則y＝－1，z＝1，所以n＝(1，－1，1)．因?yàn)閑q\o(DD1,\s\up6(→))＝(0，0，2)，所以eq\o(DD1,\s\up6(→))·n＝2，|n|＝eq\r(3)，所以d＝eq\f(|\o(DD1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，即點(diǎn)D1到平面BDE的距離為eq\f(2\r(3),3).求線面距離和面面距離如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1＝3，底面邊長(zhǎng)AB＝2，E、F分別為棱BC、B1C1的中點(diǎn)．(1)求證：平面BD1F∥平面C1DE；(2)求平面BD1F與平面C1DE間的距離．【解】(1)證明：如圖，以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，3)，C1(0，2，3)，B1(2，2，3)，B(2，2，0)，E(1，2，0)，F(xiàn)(1，2，3)，eq\o(D1F,\s\up6(→))＝(1，2，0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1，2，0)，所以eq\o(D1F,\s\up6(→))∥eq\o(DE,\s\up6(→))，所以D1F∥DE，又因?yàn)镈E?平面DEC1，所以D1F∥平面DEC1，又因?yàn)閑q\o(BF,\s\up6(→))＝(－1，0，3)，eq\o(EC1,\s\up6(→))＝(－1，0，3)，所以eq\o(BF,\s\up6(→))∥eq\o(EC1,\s\up6(→))，所以BF∥EC1，又因?yàn)镋C1?平面C1DE，所以BF∥平面C1DE.因?yàn)镈1F∩BF＝F，所以平面BD1F∥平面C1DE.(2)由(1)可知平面BD1F與平面C1DE間的距離等于D1到平面C1DE的距離，設(shè)平面C1DE的法向量n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE,\s\up6(→))＝0,n·\o(EC1,\s\up6(→))＝0))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0,－x＋3z＝0))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x,z＝\f(1,3)x))，令x＝6，得n＝(6，－3，2)，所以D1到平面C1DE的距離d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(D1C1,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－3×2,7)))＝eq\f(6,7)，所以平面BD1F與平面C1DE間的距離為eq\f(6,7).eq\a\vs4\al()平面α平行于平面β，則α、β之間的距離就是α內(nèi)任一點(diǎn)到β的距離，所以求兩平行平面間的距離，可依據(jù)定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、C1C的中點(diǎn)，DG＝eq\f(1,3)DD1，過(guò)E、F、G的平面交AA1于點(diǎn)H，求A1D1到平面EFGH的距離．解：以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,3)))，D1(0，0，1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－1，0，0)，eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1，－\f(1,6)))，設(shè)平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，則n·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，且n·eq\o(FG,\s\up6(→))＝0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＝0，,y＋\f(1,6)z＝0.))令z＝6，可得n＝(0，－1，6)．又eq\o(D1F,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，－\f(1,2)))，所以d＝eq\f(|\o(D1F,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(4\r(37),37).點(diǎn)到平面的距離的求法(1)幾何法①由點(diǎn)到平面的距離的定義轉(zhuǎn)化為平面幾何中解直角三角形問(wèn)題，進(jìn)行求解．②由已知點(diǎn)和平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)構(gòu)成三棱錐，轉(zhuǎn)化為體積問(wèn)題，進(jìn)而用等積法求解．(2)向量法如圖，BO⊥平面α，垂足為O，則點(diǎn)B到平面α的距離就是線段BO的長(zhǎng)度．若AB是平面α的任一條斜線段，則在Rt△BOA中，|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|·cos∠ABO＝eq\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BO,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(BO,\s\up6(→))|)).求線面距離時(shí)，留意在l上所取一點(diǎn)的位置，通常借助于面面垂直的性質(zhì)過(guò)這一點(diǎn)作平面的垂線，從而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離求解．1．在空間直角坐標(biāo)系中，已知M(－1，0，3)，N(2，4，3)，則M，N之間的距離為()A．eq\r(10) B．5C．eq\r(29) D．eq\r(34)答案：B2．已知矩形ABCD的一邊CD在平面α內(nèi)，AC與α所成角為60°，若AB＝2，AD＝4，則AB到α的距離為()A．eq\r(15) B．eq\r(5)C．eq\r(10) D．3解析：選A．如圖，作AE⊥α于E，因?yàn)锳B∥CD，AB?α，CD?α，所以AB∥α，所以點(diǎn)A到平面α的距離就是AB到平面α的距離，又AC＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，所以AE＝ACsin60°＝2eq\r(5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(15).3．已知平面α的一個(gè)法向量n＝(－2，－2，1)，點(diǎn)A(－1，3，0)在α內(nèi)，則P(－2，1，4)到α的距離為_(kāi)_______．解析：因?yàn)閑q\o(PA,\s\up6(→))＝(1，2，－4)，所以點(diǎn)P到α的距離d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|－2－4－4|,\r((－2)2＋(－2)2＋12))＝eq\f(10,3).答案：eq\f(10,3)4．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱B1C1和C1D1的中點(diǎn)，則直線EF到平面B1D1D的距離為_(kāi)_______．解析：設(shè)B1D1中點(diǎn)為O，EF中點(diǎn)為K，則KO即為EF到平面B1D1D的距離，KO＝eq\f(1,2)C1O＝eq\f(\r(2),4).答案：eq\f(\r(2),4)[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．設(shè)P是60°的二面角α-l-β內(nèi)一點(diǎn)，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A、B為垂足，PA＝4，PB＝2，則AB的長(zhǎng)為()A．2eq\r(3) B．2eq\r(5)C．2eq\r(7) D．4eq\r(2)解析：選C．由已知得∠APB＝120°，在△APB中，由余弦定理得AB2＝42＋22－2×4×2cos120°＝28.所以AB＝2eq\r(7).2．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是A1C1的中點(diǎn)，則點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),3)解析：選B．由題意知A1到平面ABC1D1的距離為eq\f(1,2)A1D＝eq\f(\r(2),2).又因?yàn)镺是A1C1的中點(diǎn)，所以O(shè)到平面ABC1D1的距離為A1到平面ABC1D1距離的eq\f(1,2).所以距離為eq\f(\r(2),4)，故選B．3．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線BE的距離是()A．eq\f(6\r(5),5) B．eq\f(4\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(\r(5),5)解析：選B．建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝(0，2，0)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(0，1，2)，設(shè)∠ABE＝θ，則cosθ＝eq\f(|\o(BA,\s\up6(→))·\o(BE,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|\o(BA,\s\up6(→))||\o(BE,\s\up6(→))|))＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(2,5)eq\r(5).故A到直線BE的距離d＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|sinθ＝2×eq\f(2,5)eq\r(5)＝eq\f(4,5)eq\r(5).4．已知夾在兩平行平面α，β內(nèi)的兩條斜線段AB＝8cm，CD＝12cm，AB和CD在α內(nèi)的射影長(zhǎng)的比為3∶5，則α與β的距離為()A．eq\r(15)cm B．eq\r(17)cmC．eq\r(19)cm D．eq\r(21)cm解析：選C．如圖所示，設(shè)AB和CD在α內(nèi)的射影長(zhǎng)分別為3x和5x，則有82－(3x)2＝122－(5x)2，解得x＝eq\r(5)，則α、β間的距離為eq\r(19)cm.故選C．5．如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′的側(cè)面ABB′A′內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)P到直線A′B′的距離與到直線BC的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P所在曲線的形態(tài)為()解析：選C．在平面ABB′A′內(nèi)作PM⊥A′B′，連接PB，則PB⊥BC，因?yàn)镻M＝PB，故點(diǎn)P的軌跡是以A′B′為準(zhǔn)線以B為焦點(diǎn)的拋物線(一部分)，故應(yīng)選C．6．在三棱錐P-ABC中，側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝2，則點(diǎn)P到平面ABC的距離等于________．解析：利用VA-PBC＝VP-ABC可求得點(diǎn)P到平面ABC的距離為eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)7．已知直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C在平面α內(nèi)，AB∥α，AC，BC與α所成角分別為45°和30°，若AB＝6，則AB到α的距離為_(kāi)_______．解析：設(shè)AB到α的距離為h，CB＝eq\f(h,sin30°)＝2h，AC＝eq\f(h,sin45°)＝eq\r(2)h，由勾股定理AB2＝AC2＋CB2可得(eq\r(2)h)2＋(2h)2＝62，解得h＝eq\r(6).答案：eq\r(6)8．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(3)，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使平面ABC與平面ACD垂直，則B與D之間的距離為_(kāi)_______．解析：過(guò)B，D分別向AC作垂線，垂足分別為M，N(圖略)．則可求得AM＝eq\f(1,2)，BM＝eq\f(\r(3),2)，CN＝eq\f(1,2)，DN＝eq\f(\r(3),2)，MN＝1.由于eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(ND,\s\up6(→))，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝(eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(ND,\s\up6(→)))2＝|eq\o(BM,\s\up6(→))|2＋|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＋|eq\o(ND,\s\up6(→))|2＋2(eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(ND,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(ND,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋12＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋2×(0＋0＋0)＝eq\f(5,2)，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(10),2).答案：eq\f(\r(10),2)9．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E、F、G分別是C1C、D1A1、AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面EFG的距離．解：以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，如圖．則A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(xiàn)(1，0，2)，G(2，1，0)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝(1，－2，1)，eq\o(EG,\s\up6(→))＝(2，－1，－1)，eq\o(GA,\s\up6(→))＝(0，－1，0)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量．則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n⊥\o(EF,\s\up6(→))，,n⊥\o(EG,\s\up6(→))))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋z＝0，,2x－y－z＝0.))從而有x＝y(tǒng)＝z，所以可取n＝(1，1，1)．eq\o(GA,\s\up6(→))在n上射影的長(zhǎng)度為eq\f(|\o(GA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|－1|,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).即點(diǎn)A到平面EFG的距離為eq\f(\r(3),3).10．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M為BB1的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)M到直線AC1的距離；(2)求點(diǎn)N到平面MA1C1的距離．解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直線AC1的一個(gè)單位方向向量為s0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(2，0，1)，故點(diǎn)M到直線AC1的距離d＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AM,\s\up6(→))|2)－\a\vs4\al(|\o(AM,\s\up6(→))·s0|)2)＝eq\r(5－\f(1,2))＝eq\f(3\r(2),2).(2)設(shè)平面MA1C1的法向量為n＝(x，y，z)，則n·eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝0且n·eq\o(A1M,\s\up6(→))＝0，即(x，y，z)·(0，2，0)＝0且(x，y，z)·(2，0，－1)＝0，即y＝0且2x－z＝0，取x＝1，得z＝2，故n＝(1，0，2)為平面MA1C1的一個(gè)法向量，與n同向的單位向量為n0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，0，\f(2\r(5),5))).因?yàn)镹(1，1，0)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－1，1，－1)，故點(diǎn)N到平面MA1C1的距離d＝|eq\o(MN,\s\up6(→))·n0|＝eq\f(3\r(5),5).[B實(shí)力提升]11．已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，GC垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，則點(diǎn)B到平面EFG的距離為()A．3 B．eq\r(5)C．eq\f(\r(11),11) D．eq\f(2\r(11),11)解析：選D．如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0，4，0)，E(2，4，0)，F(xiàn)(4，2，0)，G(0，0，2)，所以eq\o(GE,\s\up6(→))＝(2，4，－2)，eq\o(GF,\s\up6(→))＝(4，2，－2)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面EFG的一個(gè)法向量，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(GE,\s\up6(→))＝2x＋4y－2z＝0，,n·\o(GF,\s\up6(→))＝4x＋2y－2z＝0，))令x＝1，則y＝1，z＝3，所以平面EFG的一個(gè)法向量為n＝(1，1，3)．而eq\o(EB,\s\up6(→))＝(－2，0，0)，所以d＝eq\f(|n·\o(EB,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(|－2|,\r(11))＝eq\f(2\r(11),11).12．已知二面角α-l-β為45°，A∈α，點(diǎn)A到棱l的距離等于a，則點(diǎn)A到平面β的距離為_(kāi)_______．解析：如圖，過(guò)A作AB⊥l，AC⊥β，垂足分別為B，C，則AB＝a.連接CB，則∠ABC＝45°，在Rt△ACB中，AC＝eq\f(\r(2),2)a.即點(diǎn)A到平面β的距離為eq\f(\r(2),2)a.答案：eq\f(\r(2),2)a13．正三棱柱ABC-A1B1C1中各棱長(zhǎng)為1，D是AB的中點(diǎn)，求BC1到平面A1CD的距離．解：如圖，以D為原點(diǎn)，分別以DC、DB所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，連接AC1與A1C交于E，則E為AC1中點(diǎn)．連接ED，又因?yàn)镈為AB中點(diǎn)，所以ED∥C1B，所以BC1∥平面A1CD，所以BC1到平面A1CD的距離等于B到面A