2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章概率2.2條件概率與事件的獨(dú)立性2.2.1條件概率2.2.2事件的獨(dú)立性學(xué)案新人教B版選修2-3

PAGEPAGE12．2.1條件概率2．2.2事務(wù)的獨(dú)立性1.了解條件概率和兩個(gè)事務(wù)相互獨(dú)立的概念．2.理解條件概率公式和相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率公式．3．能利用概率公式解決實(shí)際問(wèn)題．1．條件概率(1)定義：對(duì)于任何兩個(gè)事務(wù)A和B，在已知事務(wù)A發(fā)生的條件下，事務(wù)B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)“P(B|A)”來(lái)表示，讀作“A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率”．類似地，事務(wù)B發(fā)生的條件下事務(wù)A發(fā)生的條件概率記為“P(A|B)”，讀作“B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率”．(2)事務(wù)的交(或積)由事務(wù)A和B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事務(wù)D，稱為事務(wù)A與B的交(或積)，記作D＝A∩B(或D＝AB)．(3)條件概率計(jì)算公式一般地，條件概率公式為P(B|A)＝eq\f(P（A∩B）,P（A）)(P(A)＞0)，類似地，P(A|B)＝eq\f(P（A∩B）,P（B）)(P(B)＞0)．2．相互獨(dú)立事務(wù)(1)定義：一般地，事務(wù)A是否發(fā)生對(duì)事務(wù)B發(fā)生的概率沒(méi)有影響，即P(B|A)＝P(B)，則稱兩個(gè)事務(wù)A，B相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事務(wù)叫做相互獨(dú)立事務(wù)．若n個(gè)事務(wù)A1，A2，…，An，假如其中任何一個(gè)事務(wù)發(fā)生的概率不受其他事務(wù)是否發(fā)生的影響，則稱這n個(gè)事務(wù)相互獨(dú)立．(2)相互獨(dú)立事務(wù)的性質(zhì)一般地，若事務(wù)A，B相互獨(dú)立，則A與B，A與B，A與B也相互獨(dú)立．(3)相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率①兩個(gè)相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事務(wù)發(fā)生的概率的積，即P(A∩B)＝P(A)×P(B)．②假如事務(wù)A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則這n個(gè)事務(wù)都發(fā)生的概率，等于每個(gè)事務(wù)發(fā)生的概率的積，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)并且上式中隨意多個(gè)事務(wù)Ai換成其對(duì)立事務(wù)后，等式仍成立．1．推斷(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)若事務(wù)A、B互斥，則P(B|A)＝1.()(2)必定事務(wù)與任何一個(gè)事務(wù)相互獨(dú)立．()(3)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事務(wù)A，B相互獨(dú)立”的充要條件．()答案：(1)×(2)√(3)√2．已知P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，則P(B|A)為()A.eq\f(9,50) B.eq\f(1,2)C.eq\f(9,10) D.eq\f(1,4)答案：B3．甲、乙兩人各射擊一次，他們各自擊中目標(biāo)的概率都是0.6，則他們都擊中目標(biāo)的概率是()A．0.6 B．0.36C．0.16 D．0.84答案：B4．甲、乙兩顆衛(wèi)星同時(shí)監(jiān)測(cè)臺(tái)風(fēng)，在同一時(shí)刻，甲、乙兩顆衛(wèi)星精確預(yù)報(bào)臺(tái)風(fēng)的概率分別為0.8和0.75，則在同一時(shí)刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)精確的概率為________．答案：0.95求條件概率[學(xué)生用書P26]在5道題中有3道理科題和2道文科題．假如不放回地依次抽取2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；(3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率．【解】設(shè)第1次抽到理科題為事務(wù)A，第2次抽到理科題為事務(wù)B，則第1次和第2次都抽到理科題為事務(wù)A∩B.(1)從5道題中不放回地依次抽取2道題的事務(wù)數(shù)為Aeq\o\al(2,5)＝20.依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，事務(wù)A的總數(shù)為Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(1,4)＝12.故P(A)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)因?yàn)槭聞?wù)A∩B的總數(shù)為Aeq\o\al(2,3)＝6.所以P(A∩B)＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).(3)法一：由(1)、(2)可得，在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為P(B|A)＝eq\f(P（A∩B）,P（A）)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).法二：因?yàn)槭聞?wù)A∩B的總數(shù)為6，事務(wù)A發(fā)生的總數(shù)為12，所以P(B|A)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).eq\a\vs4\al()利用定義計(jì)算條件概率的步驟(1)分別計(jì)算概率P(AB)和P(A)．(2)將它們相除得到條件概率P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)，這個(gè)公式適用于一般情形，其中AB表示A，B同時(shí)發(fā)生．設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格，從中隨意取出2件，那么在所取得的產(chǎn)品中發(fā)覺(jué)有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：設(shè)事務(wù)A為“在所取得的產(chǎn)品中發(fā)覺(jué)有一件不合格品”，事務(wù)B為“另一件產(chǎn)品也是不合格品”，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4×6×2,10×9)＝eq\f(8,15)，P(A∩B)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(2,15).因此P(B|A)＝eq\f(P（A∩B）,P（A）)＝eq\f(1,4).相互獨(dú)立事務(wù)的推斷推斷下列各對(duì)事務(wù)是不是相相互互獨(dú)立事務(wù)：(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參與演講競(jìng)賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1女生”；(2)容器內(nèi)盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球，“從8個(gè)球中隨意取出1個(gè)，取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中隨意取出1個(gè)，取出的還是白球”；(3)擲一顆骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”．【解】(1)“從甲組中選出1名男生”這一事務(wù)是否發(fā)生，對(duì)“從乙組中選出1名女生”這一事務(wù)發(fā)生的概率沒(méi)有影響，所以它們是相互獨(dú)立事務(wù)．(2)“從8個(gè)球中隨意取出1個(gè)，取出的是白球”的概率為eq\f(5,8)，若這一事務(wù)發(fā)生了，則“從剩下的7個(gè)球中隨意取出1個(gè)，取出的仍是白球”的概率為eq\f(4,7)，若前一事務(wù)沒(méi)有發(fā)生，則后一事務(wù)發(fā)生的概率為eq\f(5,7).可見(jiàn)，前一事務(wù)是否發(fā)生，對(duì)后一事務(wù)發(fā)生的概率有影響，所以兩者不是相互獨(dú)立事務(wù)．(3)記A：出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，B：出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)，則A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，所以P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,6)，所以P(A∩B)＝P(A)·P(B)，所以事務(wù)A與B相互獨(dú)立．eq\a\vs4\al()推斷兩事務(wù)的獨(dú)立性的方法(1)定義法：假如事務(wù)A，B同時(shí)發(fā)生的概率等于事務(wù)A發(fā)生的概率與事務(wù)B發(fā)生的概率的積，則事務(wù)A，B為相互獨(dú)立事務(wù)．(2)由事務(wù)本身的性質(zhì)干脆判定兩個(gè)事務(wù)發(fā)生是否相互影響．(3)當(dāng)P(A)＞0時(shí)，可用P(B|A)＝P(B)推斷．一個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)＝{一個(gè)家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩}．對(duì)下述兩種情形，探討A與B的獨(dú)立性：(1)家庭中有兩個(gè)小孩；(2)家庭中有三個(gè)小孩．解：(1)有兩個(gè)小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4個(gè)基本領(lǐng)件，由等可能性知概率各為eq\f(1,4).這時(shí)A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，A∩B＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(A∩B)＝eq\f(1,2).由此可知P(A∩B)≠P(A)P(B)，所以事務(wù)A，B不相互獨(dú)立．(2)有三個(gè)小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的全部可能情形為Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知這8個(gè)基本領(lǐng)件的概率均為eq\f(1,8)，這時(shí)A中含有6個(gè)基本領(lǐng)件，B中含有4個(gè)基本領(lǐng)件，A∩B中含有3個(gè)基本領(lǐng)件．于是P(A)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，P(B)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，P(A∩B)＝eq\f(3,8)，明顯有P(A∩B)＝eq\f(3,8)＝P(A)P(B)成立．從而事務(wù)A與B是相互獨(dú)立的．求相互獨(dú)立事務(wù)的概率甲、乙2個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出密碼的概率分別為eq\f(1,3)和eq\f(1,4)，求：(1)2個(gè)人都譯出密碼的概率；(2)2個(gè)人都譯不出密碼的概率；(3)至多1個(gè)人譯出密碼的概率；【解】記“甲獨(dú)立地譯出密碼”為事務(wù)A，“乙獨(dú)立地譯出密碼”為事務(wù)B，A與B為相互獨(dú)立事務(wù)，且P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,4).(1)“2個(gè)人都譯出密碼”的概率為：P(AB)＝P(A)·P(B)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,12).(2)“2個(gè)人都譯不出密碼”的概率為：P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝(1－eq\f(1,3))×(1－eq\f(1,4))＝eq\f(1,2).(3)“至多1個(gè)人譯出密碼”的對(duì)立事務(wù)為“2個(gè)人都譯出密碼”，所以至多1個(gè)人譯出密碼的概率為：1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,12).在本例條件下，求：(1)恰有1個(gè)人譯出密碼的概率；(2)至少1個(gè)人譯出密碼的概率．解：(1)“恰有1個(gè)人譯出密碼”可以分為兩類，即甲譯出乙未譯出以及甲未譯出乙譯出，且兩個(gè)事務(wù)為互斥事務(wù)，所以恰有1個(gè)人譯出密碼的概率為：P(Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,4))＋(1－eq\f(1,3))×eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).(2)“至少1個(gè)人譯出密碼”的對(duì)立事務(wù)為“2個(gè)人都未譯出密碼”，所以至少1個(gè)人譯出密碼的概率為：1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2).eq\a\vs4\al()與相互獨(dú)立事務(wù)有關(guān)的概率問(wèn)題求解策略一般地，已知兩個(gè)事務(wù)A，B，它們的概率分別為P(A)，P(B)，那么：A，B互斥A，B相互獨(dú)立P(A＋B)P(A)＋P(B)1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(AB)0P(A)P(B)P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))1－[P(A)＋P(B)]P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))某田徑隊(duì)有三名短跑運(yùn)動(dòng)員，依據(jù)平常訓(xùn)練狀況統(tǒng)計(jì)甲、乙、丙三人100米跑(互不影響)的成果在13s內(nèi)(稱為合格)的概率分別為eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，若對(duì)這三名短跑運(yùn)動(dòng)員的100m跑的成果進(jìn)行一次檢測(cè)，則(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出現(xiàn)幾人合格的概率最大．解：記“甲、乙、丙三人100米跑成果合格”分別為事務(wù)A，B，C，明顯事務(wù)A，B，C相互獨(dú)立，則P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3).設(shè)恰有k人合格的概率為Pk(k＝0，1，2，3)，(1)三人都合格的概率：P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10).(2)三人都不合格的概率：P0＝P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))·P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(3,5)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,10).(3)恰有兩人合格的概率：P2＝P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))BC)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(23,60).恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－eq\f(1,10)－eq\f(23,60)－eq\f(1,10)＝eq\f(25,60)＝eq\f(5,12).綜合第一問(wèn)、其次問(wèn)、第三問(wèn)可知P1最大．所以出現(xiàn)恰有1人合格的概率最大．相互獨(dú)立事務(wù)的綜合應(yīng)用在一場(chǎng)消遣晚會(huì)上，有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾要彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名．觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒(méi)有偏愛(ài)，因此在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手．(1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率．(2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列．【解】(1)設(shè)A表示事務(wù)“觀眾甲選中3號(hào)歌手”，B表示事務(wù)“觀眾乙選中3號(hào)歌手”，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,3))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,5).因?yàn)槭聞?wù)A與B相互獨(dú)立，所以觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率為P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)·[1－P(B)]＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15).(或P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(4,15))．(2)設(shè)C表示事務(wù)“觀眾丙選中3號(hào)歌手”，則P(C)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，因?yàn)閄可能的取值為0，1，2，3，且取這些值的概率分別為P(X＝0)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,75)，P(X＝1)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))Beq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))C)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(20,75)，P(X＝2)＝P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))BC)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(33,75)，P(X＝3)＝P(ABC)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(18,75)，所以X的分布列為X0123Peq\f(4,75)eq\f(20,75)eq\f(33,75)eq\f(18,75)eq\a\vs4\al()概率問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思想(1)正難則反．敏捷應(yīng)用對(duì)立事務(wù)的概率關(guān)系(P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1)簡(jiǎn)化問(wèn)題，是求解概率問(wèn)題最常用的方法．(2)化繁為簡(jiǎn)．將困難事務(wù)的概率轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔事務(wù)的概率，即找尋所求事務(wù)與已知事務(wù)之間的關(guān)系．“所求事務(wù)”分幾類(考慮加法公式，轉(zhuǎn)化為互斥事務(wù))還是分幾步組成(考慮乘法公式，轉(zhuǎn)化為互獨(dú)事務(wù))．(3)方程思想．利用有關(guān)的概率公式和問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程(組)，通過(guò)解方程(組)使問(wèn)題獲解．三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，將它們中的某兩個(gè)元件并聯(lián)后再和第三個(gè)元件串聯(lián)接入電路，如圖所示，求電路不發(fā)生故障的概率．解：記“三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作”分別為事務(wù)A1，A2，A3，則P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(3,4)，P(A3)＝eq\f(3,4)，不發(fā)生故障的事務(wù)為(A2∪A3)A1，P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1)＝[1－P(A2)·P(A3)]·P(A1)＝(1－eq\f(1,4)×eq\f(1,4))×eq\f(1,2)＝eq\f(15,32).————————————————————————————————————————————————1．求條件概率的方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(A∩B)，得P(B|A)＝eq\f(P（A∩B）,P（A）).(2)借助古典概型概率公式，先求事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù)n(A)，再在事務(wù)A發(fā)生的條件下求事務(wù)B包含的基本領(lǐng)件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(n（A∩B）,n（A）).2．判定兩個(gè)事務(wù)相互獨(dú)立的方法(1)定義法：假如A、B同時(shí)發(fā)生的概率等于事務(wù)A發(fā)生的概率與事務(wù)B發(fā)生的概率的積，則事務(wù)A、B為相互獨(dú)立事務(wù)．(2)由事務(wù)本身的性質(zhì)干脆判定兩個(gè)事務(wù)發(fā)生是否相互影響．3．事務(wù)A、B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B)．留意與事務(wù)互斥區(qū)分．1．求困難事務(wù)的概率時(shí)，先推斷事務(wù)間的關(guān)系，是互斥還是獨(dú)立，特殊對(duì)“至多”“至少”等問(wèn)題，可分成互斥事務(wù)求概率，也可用對(duì)立事務(wù)求概率．2．在解題過(guò)程中，要明確事務(wù)中的“至少有一個(gè)發(fā)生”、“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語(yǔ)的意義，已知兩個(gè)事務(wù)A、B，它們的概率分別為P(A)、P(B)，那么：A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事務(wù)為A∪B；A、B都發(fā)生的事務(wù)為AB；A、B都不發(fā)生的事務(wù)為eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))；A、B恰有一個(gè)發(fā)生的事務(wù)為Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B；A、B中至多有一個(gè)發(fā)生的事務(wù)為Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B∪eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)).1．已知P(B|A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(3,8)，則P(A)等于()A.eq\f(3,16) B.eq\f(13,16)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,4)解析：選C.由P(AB)＝P(A)P(B|A)可得P(A)＝eq\f(3,4).2．甲、乙、丙3人投籃，投進(jìn)的概率分別是eq\f(1,3)，eq\f(2,5)，eq\f(1,2)，現(xiàn)3人各投籃1次，則3人都沒(méi)有投進(jìn)的概率為()A.eq\f(1,15)B.eq\f(2,15)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,10)解析：選C.甲、乙、丙3人投籃相互獨(dú)立，都不進(jìn)的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,5).3．某人一周晚上值班2次，在已知他周日肯定值班的條件下，則他在周六晚上值班的概率為________．解析：設(shè)事務(wù)A為“周日值班”，事務(wù)B為“周六值班”，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,7))，P(AB)＝eq\f(1,Ceq\o\al(2,7))，故P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．設(shè)A與B是相互獨(dú)立事務(wù)，則下列事務(wù)中不相互獨(dú)立的是()A．A與eq\o(B,\s\up6(－)) B.eq\o(A,\s\up6(－))與BC.eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－)) D．A與eq\o(A,\s\up6(－))解析：選D.A、B、C選項(xiàng)的兩事務(wù)相互獨(dú)立，而A與eq\o(A,\s\up6(－))是對(duì)立事務(wù)，不是相互獨(dú)立事務(wù)．2．某班學(xué)生考試成果中，數(shù)學(xué)不及格的占15%，語(yǔ)文不及格的占5%，兩門都不及格的占3%.已知一學(xué)生數(shù)學(xué)不及格，則他語(yǔ)文也不及格的概率是()A．0.2 B．0.33C．0.5 D．0.6解析：選A.A＝“數(shù)學(xué)不及格”，B＝“語(yǔ)文不及格”，P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(0.03,0.15)＝0.2，所以數(shù)學(xué)不及格時(shí)，該生語(yǔ)文也不及格的概率為0.2.3．7名同學(xué)站成一排，已知甲站在中間，則乙站在末尾的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,7)解析：選C.記“甲站在中間”為事務(wù)A，“乙站在末尾”為事務(wù)B，則n(A)＝Aeq\o\al(6,6)，n(AB)＝Aeq\o\al(5,5)，P(B|A)＝eq\f(Aeq\o\al(5,5),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(1,6).4．從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是eq\f(1,3)，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是eq\f(1,2)，從兩袋各摸出一個(gè)球，則eq\f(2,3)等于()A．2個(gè)球不都是紅球的概率B．2個(gè)球都是紅球的概率C．至少有1個(gè)紅球的概率D．2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率解析：選C.分別記從甲、乙袋中摸出一個(gè)紅球?yàn)槭聞?wù)A、B，則P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，由于A、B相互獨(dú)立，所以1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).依據(jù)互斥事務(wù)可知C正確．5．同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤甲得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤乙得到的數(shù)為y(若指針停在邊界上則重新轉(zhuǎn))，x，y構(gòu)成數(shù)對(duì)(x，y)，則全部數(shù)對(duì)(x，y)中滿意xy＝4的概率為()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,8)C.eq\f(3,16) D.eq\f(1,4)解析：選C.滿意xy＝4的全部可能如下：x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.所以所求事務(wù)的概率P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,16).6．已知有兩臺(tái)獨(dú)立在兩地工作的雷達(dá)，它們發(fā)覺(jué)飛行目標(biāo)的概率分別為0.9和0.85，則兩臺(tái)雷達(dá)都未發(fā)覺(jué)飛行目標(biāo)的概率為________．解析：所求概率為(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015.答案：0.0157．某籃球隊(duì)員在競(jìng)賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為eq\f(16,25)，則該隊(duì)員每次罰球的命中率為________．解析：設(shè)此隊(duì)員每次罰球的命中率為p，則1－p2＝eq\f(16,25)，所以p＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)8．有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍(lán)色、黑色各兩瓶，某同學(xué)從中隨機(jī)任取出兩瓶，若取出的兩瓶中有一瓶是藍(lán)色，則另一瓶是紅色或黑色的概率是________．解析：設(shè)事務(wù)A為“其中一瓶是藍(lán)色”，事務(wù)B為“另一瓶是紅色”，事務(wù)C為“另一瓶是黑色”，事務(wù)D為“另一瓶是紅色或黑色”，則D＝B∪C，且B與C互斥，又P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(4,5)，P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,5)，P(AC)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＋eq\f(P（AC）,P（A）)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)9．在社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)中，某市確定在一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)投資農(nóng)產(chǎn)品加工、綠色蔬菜種植和水果種植三個(gè)項(xiàng)目，據(jù)預(yù)料，三個(gè)項(xiàng)目勝利的概率分別為eq\f(4,5)、eq\f(5,6)、eq\f(2,3)，且三個(gè)項(xiàng)目是否勝利相互獨(dú)立．(1)求恰有兩個(gè)項(xiàng)目勝利的概率；(2)求至少有一個(gè)項(xiàng)目勝利的概率．解：(1)只有農(nóng)產(chǎn)品加工和綠色蔬菜種植兩個(gè)項(xiàng)目勝利的概率為eq\f(4,5)×eq\f(5,6)×(1－eq\f(2,3))＝eq\f(2,9)，只有農(nóng)產(chǎn)品加工和水果種植兩個(gè)項(xiàng)目勝利的概率為eq\f(4,5)×(1－eq\f(5,6))×eq\f(2,3)＝eq\f(4,45)，只有綠色蔬菜種植和水果種植兩個(gè)項(xiàng)目勝利的概率為(1－eq\f(4,5))×eq\f(5,6)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，所以恰有兩個(gè)項(xiàng)目勝利的概率為eq\f(2,9)＋eq\f(4,45)＋eq\f(1,9)＝eq\f(19,45).(2)三個(gè)項(xiàng)目全部失敗的概率為(1－eq\f(4,5))×(1－eq\f(5,6))×(1－eq\f(2,3))＝eq\f(1,90)，所以至少有一個(gè)項(xiàng)目勝利的概率為1－eq\f(1,90)＝eq\f(89,90).10．甲箱的產(chǎn)品中有5個(gè)正品和3個(gè)次品，乙箱的產(chǎn)品中有4個(gè)正品和3個(gè)次品．(1)從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品，求這2個(gè)產(chǎn)品都是次品的概率．(2)若從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品放入乙箱中，然后再?gòu)囊蚁渲腥稳∫粋€(gè)產(chǎn)品，求取出的這個(gè)產(chǎn)品是正品的概率．解：(1)從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品的事務(wù)數(shù)為Ceq\o\al(2,8)＝28，這2個(gè)產(chǎn)品都是次品的事務(wù)數(shù)為Ceq\o\al(2,3)＝3.所以這2個(gè)產(chǎn)品都是次品的概率為eq\f(3,28).(2)設(shè)事務(wù)A為“從乙箱中取一個(gè)正品”，事務(wù)B1為“從甲箱中取出2個(gè)產(chǎn)品都是正品”，事務(wù)B2為“從甲箱中取出1個(gè)正品1個(gè)次品”，事務(wù)B3為“從甲箱中取出2個(gè)產(chǎn)品都是次品”，則事務(wù)B1、事務(wù)B2、事務(wù)B3彼此互斥．P(B1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(5,14)，P(B2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(15,28)，P(B3)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(3,28)，P(A|B1)＝eq\f(6,9)，P(A|B2)＝eq\f(5,9)，P(A|B3)＝eq\f(4,9)，所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝eq\f(5,14)×eq\f(6,9)＋eq\f(15,28)×eq\f(5,9)＋eq\f(3,28)×eq\f(4,9)＝eq\f(7,12).[B實(shí)力提升]11．拋擲一枚勻稱的骰子所得的樣本空間為Ω＝{1，2，3，4，5，6}，令事務(wù)A＝{2，3，5}，B＝{1，2，4，5，6}，則P(A|B)等于()A.eq\f(2,5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：選A.因?yàn)锳∩B＝{2，5}，所以n(AB)＝2.又因?yàn)閚(B)＝5，故P(A|B)＝eq\f(n（AB）,n（B）)＝eq\f(2,5).12．設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事務(wù)A和B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,9)，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)＝________．解析：由題意，P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,9)，P(eq