2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步2.2圓與圓的方程2.2.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課時(shí)分層作業(yè)含解析北師大版必修2

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(十九)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．已知點(diǎn)P(3,2)和圓的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，則它們的位置關(guān)系為()A．在圓心 B．在圓上C．在圓內(nèi) D．在圓外C[∵(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，∴點(diǎn)P在圓內(nèi)．]2．圓C：(x＋4)2＋(y－3)2＝9的圓心C到直線4x＋3y－1＝0的距離等于()A.eq\f(6,5) B.eq\f(8,5)C.eq\f(24,5) D.eq\f(26,5)B[C(－4,3)，則d＝eq\f(|－16＋9－1|,\r(42＋32))＝eq\f(8,5).]3．圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱的圓的方程為()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5A[(x＋2)2＋y2＝5的圓心為(－2,0)，圓心關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(2,0)，即為對(duì)稱圓的圓心，所以關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱圓的方程為(x－2)2＋y2＝5.]4．已知直線l過(guò)圓x2＋(y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0D[圓x2＋(y－3)2＝4的圓心為點(diǎn)(0,3)，又因?yàn)橹本€l與直線x＋y＋1＝0垂直，所以直線l的斜率k＝1.由點(diǎn)斜式得直線l：y－3＝x－0，化簡(jiǎn)得x－y＋3＝0.]5．過(guò)點(diǎn)C(－1,1)和點(diǎn)D(1,3)，且圓心在x軸上的圓的方程是()A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10C．(x＋2)2＋y2＝10 D．(x－2)2＋y2＝10D[∵圓心在x軸上，∴可設(shè)方程為(x－a)2＋y2＝r2.由條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－a2＋1＝r2，,1－a2＋9＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,r＝\r(10)，))故方程為(x－2)2＋y2＝10.]二、填空題6．圓心在y軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)(1,2)的圓的方程為_(kāi)_____．x2＋(y－2)2＝1[設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，b)，則由題意知eq\r(0－12＋b－22)＝1，解得b＝2，故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.]7．點(diǎn)(a，a)在圓(x－1)2＋(y＋2)2＝2a2的內(nèi)部，則aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,2)))[由(a－1)2＋(a＋2)2＜2a2得a＜－eq\f(5,2).]8．以A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)為頂點(diǎn)的三角形的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．(x－4)2＋(y－1)2＝5[設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a2＋2－b2＝r2，,5－a2＋3－b2＝r2，,3－a2＋－1－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝1，,r2＝5，))即△ABC的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋(y－1)2＝5.]三、解答題9．已知圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．(1)若點(diǎn)M(6,9)在圓上，求半徑a；(2)若點(diǎn)P(3,3)與Q(5,3)有一點(diǎn)在圓內(nèi)，另一點(diǎn)在圓外，求a的范圍．[解](1)因?yàn)辄c(diǎn)M(6,9)在圓上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10.又a＞0，所以a＝eq\r(10).(2)因?yàn)閨PN|＝eq\r(3－52＋3－62)＝eq\r(13)，|QN|＝eq\r(5－52＋3－62)＝3，所以|PN|＞|QN|，故點(diǎn)P在圓外，點(diǎn)Q在圓內(nèi)，所以3＜a＜eq\r(13).10．已知圓心在直線2x－y－7＝0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0，－4)，B(0，－2)，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．[解]法一：由圓心在直線2x－y－7＝0上，可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,2a由題意得圓心到兩點(diǎn)A，B的距離相等，即a2＋(2a－3)2＝a2＋(2a－5)2，解得所以圓心坐標(biāo)為(2，－3)，圓的半徑長(zhǎng)r＝eq\r(2－02＋－3＋42)＝eq\r(5)，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝5.法二：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則由條件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－a2＋－4－b2＝r2，,0－a2＋－2－b2＝r2，,2a－b－7＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－3，,r＝\r(5)，))所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝5.1．當(dāng)a為隨意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過(guò)定點(diǎn)C，則以C為圓心，eq\r(5)為半徑的圓的方程為()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5C[直線方程變?yōu)?x＋1)a－x－y＋1＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝0，,－x－y＋1＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，))∴C(－1,2)，∴所求圓的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5.]2．圓心在直線2x－y＝3上，且與兩坐標(biāo)軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．(x－3)2＋(y－3)2＝9B．(x－1)2＋(y＋1)2＝1C．(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x－1)2＋(y＋1)2＝1D．不存在C[設(shè)圓心為C(a，b)，則|a|＝|b|，∵圓心在2x－y＝3上，∴當(dāng)a＝b時(shí)，代入得a＝b＝3，圓的方程為(x－3)2＋(y－3)2＝9.當(dāng)a＝－b時(shí)，同理得a＝1，b＝－1，圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1.]3．圓心為直線x－y＋2＝0與直線2x＋y－8＝0的交點(diǎn)，且過(guò)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．(x－2)2＋(y－4)2＝20[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,2x＋y－8＝0，))可得x＝2，y＝4，即圓心為(2,4)，從而r＝eq\r(2－02＋4－02)＝2eq\r(5)，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－4)2＝20.]4．圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上的點(diǎn)到直線x－y＝2的距離的最大值是________．1＋eq\r(2)[圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的圓心為(1,1)．圓心到直線x－y＝2的距離為d＝eq\f(|1－1－2|,\r(1＋1))＝eq\r(2).所以圓心到直線x－y＝2的距離的最大值為d＋r＝1＋eq\r(2).]5．如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M(2,0)，AB邊所在直線的方程為x－3y－6＝0，點(diǎn)T(－1,1)在AD邊所在直線上．(1)求AD邊所在直線的方程；(2)求矩形ABCD外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[解](1)因?yàn)锳B邊所在直線的方程為x－3y－6＝0，且AD與AB垂直，所以AD邊所在直線的斜率為－3.又點(diǎn)T(－1,1)在AD邊所在直線上，所以AD邊所在直線的方程為y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.(2)由eq\b\lc\