2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步11.1空間幾何體11.1.3多面體與棱柱教師用書教案新人教B版必修第四冊

PAGE6-11．1.3多面體與棱柱[課程目標(biāo)]1.通過實(shí)物模型和圖片，了解多面體和旋轉(zhuǎn)體的含義；2.通過視察，歸納棱柱的結(jié)構(gòu)特征，理解棱柱的有關(guān)概念．學(xué)問點(diǎn)一多面體及分類[填一填]1．多面體定義由若干個(gè)平面多邊形所圍成的封閉幾何體稱為多面體．2．多面體相關(guān)定義(1)圍成多面體的各個(gè)多邊形稱為多面體的面；(2)相鄰兩個(gè)面的公共邊稱為多面體的棱；(3)棱和棱的公共點(diǎn)稱為多面體的頂點(diǎn)；(4)連接同一面上兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，假如不是多面體的棱，就稱其為多面體的面對角線；連接不在同一面上兩個(gè)頂點(diǎn)的線段稱為多面體的體對角線．(5)截面：一個(gè)幾何體與一個(gè)平面相交所得到的平面圖形(包含它的內(nèi)部)．3．凸多面體把一個(gè)多面體的隨意一個(gè)面延展為平面，假如其余的各面都在這個(gè)平面的同一側(cè)，則稱這樣的多面體為凸多面體．[答一答]1．對多面體的相識(shí)有哪些？提示：(1)多面體是由平面多邊形圍成的，不是由其他曲面或空間多邊形圍成的．(2)多面體是一個(gè)“封閉”的幾何體，包括它的內(nèi)部部分．也就是說多面體肯定是個(gè)實(shí)體，照實(shí)心磚，而非空心紙盒，且多面體中肯定不能有曲面．學(xué)問點(diǎn)二棱柱[填一填](1)有兩個(gè)面相互平行，且該多面體的頂點(diǎn)都在這兩個(gè)面上，其余各面都是平行四邊形，這樣的多面體稱為棱柱．(2)棱柱的兩個(gè)相互平行的面稱為棱柱的底面(底面水平放置時(shí)，分別稱為上底面、下底面)，其他各面稱為棱柱的側(cè)面，兩個(gè)側(cè)面的公共邊稱為棱柱的側(cè)棱．(3)棱柱可以用底面上的頂點(diǎn)來表示．(4)過棱柱的一個(gè)底面上的隨意一個(gè)頂點(diǎn)，作另一個(gè)底面的垂線所得到的線段(或它的長度)稱為棱柱的高．棱柱全部側(cè)面的面積之和稱為棱柱的側(cè)面積．(5)假如棱柱的側(cè)棱垂直于底面，則可知棱柱全部的側(cè)面都是長方形，這樣的棱柱稱為直棱柱(不是直棱柱的棱柱稱為斜棱柱)．特殊地，底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱．(6)棱柱可以按底面的形態(tài)分類，例如底面是三角形、四邊形、五邊形的棱柱，可分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱．(7)底面是平行四邊形的棱柱也稱為平行六面體．側(cè)棱與底面垂直的平行六面體稱為直平行六面體．底面是矩形的直平行六面體就是長方體，棱長都相等的長方體就是正方體．[答一答]2．有人說：有兩個(gè)面相互平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．你認(rèn)為這種說法對嗎？提示：這種說法不對．棱柱有兩個(gè)本質(zhì)特征：(1)有兩個(gè)面相互平行；(2)其余各面每相鄰兩個(gè)面的公共邊相互平行．正是由于這兩個(gè)特征，使棱柱的各側(cè)面都是平行四邊形，但是有兩個(gè)面相互平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體未必是棱柱．反例如圖．類型一概念的理解與應(yīng)用[例1]如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1，其中E，F(xiàn)，G，H是三棱柱對應(yīng)邊上的中點(diǎn)，過此四點(diǎn)作截面EFGH[解]截面以上的幾何體是三棱柱AEF-A1HG，截面以下的幾何體是四棱柱BEFC-B1HGC1.我們想知道幾何體的形態(tài)，只要視察它的特征，嚴(yán)格依據(jù)定義推斷即可.[變式訓(xùn)練1]下面多面體中，是棱柱的有(D)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析：依據(jù)棱柱的定義進(jìn)行判定知，這4個(gè)圖都滿意．類型二棱柱的結(jié)構(gòu)特征[例2]下列關(guān)于棱柱的說法：(1)全部的面都是平行四邊形；(2)每一個(gè)面都不會(huì)是三角形；(3)兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行．其中正確說法的序號(hào)是________．[解析](1)錯(cuò)，底面可以不是平行四邊形；(2)錯(cuò)，底面可以是三角形；(3)正確，由棱柱的定義可知．[答案](3)棱柱結(jié)構(gòu)特征的辨析方法(1)扣定義：判定一個(gè)幾何體是否是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義．①看“面”，即視察這個(gè)多面體是否有兩個(gè)相互平行的面，其余各面都是四邊形；②看“線”，即視察每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊是否平行．(2)舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或?qū)嵨锬Ｐ?、圖片等不吻合，賜予解除．[變式訓(xùn)練2]下列說法正確的是(D)A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．棱柱的側(cè)棱總與底面垂直D．九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形解析：選項(xiàng)A，B都不正確，反例如圖所示，C錯(cuò)誤，棱柱的側(cè)棱可能與底面垂直，也可能不垂直．依據(jù)棱柱的定義知D正確．類型三多面體的平面綻開圖[例3]在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只螞蟻從點(diǎn)A動(dòng)身沿表面爬行到點(diǎn)C1[解]沿長方體的一條棱剪開，使A和C1在同一平面上，求線段AC1的長即可，有如圖所示的三種剪法：(1)若將C1D1剪開，使點(diǎn)A，B，C1，D1在一個(gè)平面內(nèi)，可求得AC1＝eq\r(42＋5＋32)＝eq\r(80)＝4eq\r(5).(2)若將AD剪開，使點(diǎn)A，D，C1，B1在一個(gè)平面內(nèi)，可求得AC1＝eq\r(32＋5＋42)＝eq\r(90)＝3eq\r(10).(3)若將CC1剪開，使點(diǎn)A，A1，C，C1在一個(gè)平面內(nèi)，可求得AC1＝eq\r(4＋32＋52)＝eq\r(74).相比較可得螞蟻爬行的最短路途長為eq\r(74).1.多面體側(cè)面上兩點(diǎn)間的最短距離問題經(jīng)常要?dú)w納為求平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題，常見的解法是先把多面體側(cè)面綻開成平面圖形，再用平面幾何的學(xué)問來求解．2．解答綻開與折疊問題，要結(jié)合多面體的定義和結(jié)構(gòu)特征，發(fā)揮空間想象實(shí)力，必要時(shí)可制作平面綻開圖進(jìn)行實(shí)踐．[變式訓(xùn)練3]某同學(xué)制作了一個(gè)對面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個(gè)正方體禮品盒的平面綻開圖應(yīng)當(dāng)為(對面是相同的圖案)(A)解析：兩個(gè)相同的圖案肯定不能相鄰，故B，C，D錯(cuò)誤，只有A正確．類型四有關(guān)棱柱的截面問題[例4]正三棱柱ABC-A′B′C′的底面邊長是4cm，過BC的一個(gè)平面交側(cè)棱AA′于D，若AD的長是2cm，試求截面BCD的面積．[解]如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，則AE⊥BC，DE⊥BC.因?yàn)锳E＝eq\f(\r(3),2)×4＝2eq\r(3)，所以DE＝eq\r(2\r(3)2＋22)＝4，所以S△BCD＝eq\f(1,2)BC·ED＝eq\f(1,2)×4×4＝8(cm2)．所以截面BCD的面積是8cm2.1.截面問題首先要弄清截面的形態(tài)、位置、性質(zhì)，然后才能進(jìn)行下一步的計(jì)算.2.對于如何作幾何體的截面，要用到平面的性質(zhì)，在以后的學(xué)習(xí)中會(huì)遇到.[變式訓(xùn)練4]正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，DD1上，求作過E，F(xiàn)，G解：(1)在底面AC內(nèi)，過E，F(xiàn)作直線EF分別與DA，DC的延長線交于L、M；(2)在側(cè)面A1D內(nèi)，連接LG交AA1于K；(3)在側(cè)面D1C內(nèi)，連接GM交CC1于H(4)連接KE，F(xiàn)H，則五邊形EFHGK即為所求的截面，如圖．1．下列幾何體為棱柱的是(B)解析：由棱柱的定義知B是棱柱，A，C，D不是棱柱，故選B.2．平行六面體的兩個(gè)對角面都是矩形，且底面又是正方形，則此平行六面體肯定是(B)A．直平行六面體 B．正四棱柱C．長方體 D．正方體解析：依據(jù)兩個(gè)對角面是矩形可知側(cè)棱和底面垂直，所以首先是直四棱柱．再依據(jù)底面是正方形可知是正四棱柱．3.如圖所示的是一個(gè)正方體，它的表面綻開圖可能是圖中的(A)解析：B、C、D中把綻開圖形還原為正方體，還原后4、6、8不