2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步6.1.4數(shù)乘向量學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊

PAGE1-6.1.4數(shù)乘向量素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準學(xué)法解讀1.理解數(shù)乘向量的定義及幾何意義．2．了解數(shù)乘向量的運算律．3．會判定向量平行、三點共線．1.通過學(xué)習(xí)數(shù)乘向量的定義、幾何意義及運算律，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)．2．通過數(shù)乘向量運算律的運用，向量平行及三點共線的判定與應(yīng)用，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng)．必備學(xué)問·探新知學(xué)問點向量的數(shù)乘運算定義：實數(shù)λ與向量a的積是一個__向量__，這種運算簡稱數(shù)乘向量，記作λA．規(guī)定：(1)當(dāng)λ≠0且a≠0時，|λa|＝|λ||a|，且①當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向__相同__；②當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向__相反__．(2)當(dāng)λ＝0或a＝0時，λa＝__0__．思索：(1)定義中“是一個向量”告知了我們什么信息？(2)若把|λa|＝|λ||a|寫成|λa|＝λ|a|可以嗎？為什么？提示：(1)數(shù)乘向量的結(jié)果仍是一個向量，它既有大小又有方向．(2)不行以，當(dāng)λ＜0時不成立．學(xué)問點向量數(shù)乘的運算律設(shè)λ，μ為實數(shù)，則λ(μa)＝__(λμ)__a；特殊地，我們有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)．思索：這里的條件“λ，μ為實數(shù)”能省略嗎？為什么？提示：不能，數(shù)乘向量中的λ，μ都是實數(shù)，只有λ，μ都是實數(shù)時，運算律才成立．學(xué)問點向量共線的條件假如存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則b∥A．思索：“若向量b∥a，則存在實數(shù)λ，使得b＝λA．”成立嗎？提示：不成立，若a＝0，b≠0，則λ不存在．關(guān)鍵實力·攻重難題型探究題型數(shù)乘向量的定義┃┃典例剖析__■典例1設(shè)a是非零向量，λ是非零實數(shù)，則以下結(jié)論正確的有__②③__．①|(zhì)－λa|≥|a|；②a與λ2a方向相同；③|－2λa|＝2|λ|·|a|．[分析]依據(jù)數(shù)乘向量的概念解決．[解析]當(dāng)0＜λ＜1時，|－λa|＜|a|，①錯誤；②③正確．規(guī)律方法：數(shù)乘向量與原來向量是共線的，其幾何意義就是把原來的向量沿著它的方向或者反方向放大或縮?。Зc訓(xùn)練__■1．若兩個非零向量a與(2x－1)a方向相同，則x的取值范圍為__x＞eq\f(1,2)__．[解析]由向量數(shù)乘定義可知，2x－1＞0，即x＞eq\f(1,2)．題型數(shù)乘向量的運算┃┃典例剖析__■典例2下列各式化簡正確的是__②③__．①－3×2a＝－5a；②eq\f(1,2)a×3×(－2)＝－3a；③－2×eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(BA,\s\up6(→))；④0×b＝0．[分析]依據(jù)向量數(shù)乘的運算律解決．[解析]因為－3×2a＝－6a，eq\f(1,2)a×3×(－2)＝－3a，－2×eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(BA,\s\up6(→))，0×b＝0.所以，①④錯誤，②③正確．規(guī)律方法：λa中的實數(shù)λ稱為向量a的系數(shù)，數(shù)乘向量運算就是把數(shù)與向量的系數(shù)相乘，作為新向量的系數(shù)．┃┃對點訓(xùn)練__■2．化簡下列各式．(1)4×(－eq\f(1,8))a；(2)－2×eq\f(1,2)×(－3a)．[解析](1)4×(－eq\f(1,8))a＝－eq\f(1,2)A．(2)－2×eq\f(1,2)×(－3a)＝3A．題型數(shù)乘向量的應(yīng)用┃┃典例剖析__■角度1推斷向量共線典例3已知a＝2e,b＝－4e,推斷a，b是否平行，求|a|∶|b|的值；若a∥b，說出它們是同向還是反向．[分析]利用數(shù)乘向量的定義解決．[解析]因為b＝－4e＝－2(2e)＝－2a，所以a∥b，且2|a|＝|b|，即|a|∶|b|＝1∶2.向量a，b反向．母題探究：把本例條件改為“a＝2e，b＝3e，”其他條件不變，試推斷a與b是否平行，求|a|∶|b|的值；若a∥b，說明它們是同向還是反向．[解析]因為b＝3e＝eq\f(3,2)(2e)＝eq\f(3,2)a，所以a∥b，且eq\f(3,2)|a|＝|b|，即|a|∶|b|＝2∶3.向量a，b同向．角度2推斷三點共線典例4已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝e，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3e，推斷A，B，C三點是否共線，假如共線，說出點A是線段BC的幾等分點．[分析]利用數(shù)乘向量的定義解決．[解析]因為eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3e＝－3eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，且有公共點B，所以A，B，C三點共線，又因為BC＝3AB，且向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))反向，如圖，所以點A是線段BC的三等分點．規(guī)律方法：數(shù)乘向量的應(yīng)用(1)假如存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則b∥A．(2)假如存在實數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，且AB與AC有公共點A，所以A，B，C三點共線．┃┃對點訓(xùn)練__■3．分別指出下列各題中A，B，C三點是否共線，假如共線，指出線段AB與BC的長度之比．(1)eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(BC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))．[解析](1)因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，又有公共的點C，所以A，B，C三點共線，且AB＝2BC，即AB∶BC＝2∶1．(2)因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))，又有公共點A，所以A，B，C三點共線，且AB＝eq\f(3,4)BC，即AB∶BC＝3∶4．易錯警示┃┃典例剖析__■典例5若點C在線段AB上，且eq\f(AC,CB)＝eq\f(3,2)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝__eq\f(3,5)__eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝__－eq\f(2,5)__eq\o(AB,\s\up6(→))．[錯解]eq\f(3,5)eq\f(2,5)設(shè)AC＝3k，則CB＝2k，所以AB＝5k，故eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))．[辨析]解決有關(guān)數(shù)乘向量的問題，留意向量的方向的對應(yīng)性．[正解]因為C在線段AB上，且eq\f(AC,CB)＝eq\f(3,2)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同，eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(