2024-2025學年高中數學第2章平面向量3從速度的倍數到數乘向量3.2平面向量基本定理教師用書教案北師大版必修4

PAGE8-3.2平面對量基本定理學習目標核心素養(yǎng)1.了解平面對量基本定理及其意義．(重點)2.能應用平面對量基本定理解決一些實際問題．(難點)1.通過學習平面對量基本定理，提升數學抽象素養(yǎng)．2.通過平面對量基本定理解決實際問題，培育直觀想象素養(yǎng)．平面對量基本定理假如e1，e2(如圖①所示)是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，存在唯一一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如圖②所示)，其中不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內全部向量的一組基底．思索：若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何關系？[提示]由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2.∵e1與e2不共線，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，∴λ1＝μ1，λ2＝μ2.1．設e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是()A.e1，e2 B．e1＋e2，3e1＋3e2C．e1，5e2 D．e1，e1＋e2[答案]B2．設O為平行四邊形ABCD的對稱中心，eq\o(AB,\s\up8(→))＝4e1，eq\o(BC,\s\up8(→))＝6e2，則2e1－3e2等于()A．eq\o(OA,\s\up8(→)) B．eq\o(OB,\s\up8(→))C．eq\o(OC,\s\up8(→)) D．eq\o(OD,\s\up8(→))B[如圖，eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→)))＝2e1－3e2.]3．已知向量a與b是一組基底，實數x，y滿意(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y3[由原式可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3，))所以x－y＝3.]4．已知向量a與b不共線，且eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋4b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝－a＋9b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝3a－b，則共線的三點為________．A，B，D[eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝－a＋9b＋3a－b＝2a＋8b，因為eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋4b，所以eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up8(→))，所以A，B，D三點共線．]對向量基底的理解【例1】設O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點，給出下列向量組：①eq\o(AD,\s\up8(→))與eq\o(AB,\s\up8(→))；②eq\o(DA,\s\up8(→))與eq\o(BC,\s\up8(→))；③eq\o(CA,\s\up8(→))與eq\o(DC,\s\up8(→))；④eq\o(OD,\s\up8(→))與eq\o(OB,\s\up8(→))，其中可作為這個平行四邊形所在平面的一組基底的是()A．①② B．①③C．①④ D．③④B[①eq\o(AD,\s\up8(→))與eq\o(AB,\s\up8(→))不共線；②eq\o(DA,\s\up8(→))＝－eq\o(BC,\s\up8(→))，則eq\o(DA,\s\up8(→))與eq\o(BC,\s\up8(→))共線；③eq\o(CA,\s\up8(→))與eq\o(DC,\s\up8(→))不共線；④eq\o(OD,\s\up8(→))＝－eq\o(OB,\s\up8(→))，則eq\o(OD,\s\up8(→))與eq\o(OB,\s\up8(→))共線．由平面對量基底的概念知，只有不共線的兩個向量才能構成一組基底，故①③滿意題意．]考查兩個向量是否能構成基底，主要看兩向量是否非零且不共線．此外，一個平面的基底一旦確定，那么平面上隨意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示出來．1．設e1，e2是平面內一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1＋e2＝________a＋________b.eq\f(2,3)－eq\f(1,3)[由題意，設e1＋e2＝ma＋nb.因為a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2由平面對量基本定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－n＝1，,2m＋n＝1，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝－\f(1,3)．))]用基底表示向量【例2】設M、N、P是△ABC三邊上的點，它們使eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，試用a，b將eq\o(MN,\s\up8(→))、eq\o(NP,\s\up8(→))、eq\o(PM,\s\up8(→))表示出來．[解]如圖，eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(CN,\s\up8(→))－eq\o(CM,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)a.同理可得eq\o(NP,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b.eq\o(PM,\s\up8(→))＝－eq\o(MP,\s\up8(→))＝－(eq\o(MN,\s\up8(→))＋eq\o(NP,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.平面內任何一個向量都可以用兩個基底進行表示，轉化時肯定要看清轉化的目標，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，同時結合實數與向量積的定義，牢記轉化方向，把未知向量逐步往基底方向進行組合或分解．2.如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分別是DC和AB的中點，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，試用a，b表示eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(MN,\s\up8(→)).[解]如圖所示，連接CN，則四邊形ANCD是平行四邊形．則eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)a；eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(NC,\s\up8(→))－eq\o(NB,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝b－eq\f(1,2)a；eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(CN,\s\up8(→))－eq\o(CM,\s\up8(→))＝－eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up8(→))＝－eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up8(→))))＝eq\f(1,4)a－b.平面對量基本定理應用[探究問題]1．假如e1，e2是兩個不共線的非零向量，則與e1，e2在同一平面內的任一向量a，能否用e1，e2表示？依據是什么？[提示]能．依據是平面對量基本定理．2．假如e1，e2是共線向量，那么向量a能否用e1，e2表示？為什么？[提示]不肯定．當a與e1，e2中的一個非零向量共線時可以表示，否則不能表示．3．基底給定時，向量分解形式唯一嗎？[提示]向量分解形式唯一．【例3】如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM與BP∶PN.[思路探究]以eq\o(BM,\s\up8(→))與eq\o(CN,\s\up8(→))為基底利用平面對量基本定理求解，解題時留意條件A、P、M和B、P、N分別共線的應用．[解]設eq\o(BM,\s\up8(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up8(→))＝e2，則eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CN,\s\up8(→))＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分別共線，∴存在實數λ，μ使得eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(AM,\s\up8(→))＝－λe1－3λe2，eq\o(BP,\s\up8(→))＝μeq\o(BN,\s\up8(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(BP,\s\up8(→))＋eq\o(PA,\s\up8(→))＝eq\o(BP,\s\up8(→))－eq\o(AP,\s\up8(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))＝2e1＋3e2，由平面對量基本定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5)．))∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up8(→))，eq\o(BP,\s\up8(→))＝eq\f(3,5)eq\o(BN,\s\up8(→))，∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.1．(變設問)在本例條件下，若eq\o(CM,\s\up8(→))＝a，eq\o(CN,\s\up8(→))＝b，試用a，b表示eq\o(CP,\s\up8(→)).[解]由本例解析知BP∶PN＝3∶2，則eq\o(NP,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)eq\o(NB,\s\up8(→))，eq\o(CP,\s\up8(→))＝eq\o(CN,\s\up8(→))＋eq\o(NP,\s\up8(→))＝eq\o(CN,\s\up8(→))＋eq\f(2,5)eq\o(NB,\s\up8(→))＝b＋eq\f(2,5)(eq\o(CB,\s\up8(→))－eq\o(CN,\s\up8(→)))＝b＋eq\f(4,5)a－eq\f(2,5)b＝eq\f(3,5)b＋eq\f(4,5)a.2．(變條件)若本例中的點N為AC的中點，其它條件不變，求AP∶PM與BP∶PN.[解]如圖，設eq\o(BM,\s\up8(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up8(→))＝e2，則eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→))＝－2e2－e1，eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CN,\s\up8(→))＝2e1＋e2，∵A，P，M和B，P，N分別共線，∴存在實數λ，μ使得eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(AM,\s\up8(→))＝－λe1－2λe2，eq\o(BP,\s\up8(→))＝μeq\o(BN,\s\up8(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(BP,\s\up8(→))＋eq\o(PA,\s\up8(→))＝eq\o(BP,\s\up8(→))－eq\o(AP,\s\up8(→))＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.而eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))＝2e1＋2e2，由平面對量基本定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,2λ＋μ＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3)．))∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up8(→))，eq\o(BP,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BN,\s\up8(→))，∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.用向量解決平面幾何問題的一般步驟(1)選取不共線的兩個平面對量作為基底．(2)將相關的向量用基底向量表示，將幾何問題轉化為向量問題．(3)利用向量學問進行向量運算，得出向量問題的解．(4)再將向量問題的解轉化為平面幾何問題的解．1．對基底的理解(1)基底的特征基底具備兩個主要特征：①一組基底是兩個不共線向量；②基底的選擇是不唯一的．平面內兩向量不共線是這兩個向量可以作為這個平面內表示全部向量的一組基底的條件．(2)零向量與隨意向量共線，故基底中的向量不能是零向量．2．精確理解平面對量基本定理(1)平面對量基本定理的實質是向量的分解，即平面內任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面對量基本定理體現了轉化與化歸的數學思想，用向量解決幾何問題時，我們可以選擇適當的一組基底，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決．1．推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)隨意兩個向量都可以作為基底． ()(2)平面對量的基底不是唯一的． ()(3)零向量不行作為基底中的向量． ()[答案](1)×(2)√(3)√2．下列關于基底的說法正確的是()①平面內不共線的隨意兩個向量都可作為一組基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面內的基底一旦確定，該平面內的向量關于基底的線性分解形式也是唯一確定的．A．① B．②C．①③ D．②③C[零向量與隨意向量共線，故零向量不能作為基底中的向量，故②錯，①③正確．]3．已知向量e1，e2不共線，實數x，y滿意(2x－3y)e1＋(3x－4y)e