2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十章復(fù)數(shù)10.2.1復(fù)數(shù)的加法與減法教師用書(shū)教案新人教B版必修第四冊(cè)

PAGE1-10．2復(fù)數(shù)的運(yùn)算10．2.1復(fù)數(shù)的加法與減法[課程目標(biāo)]1.能利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式進(jìn)行加法、減法運(yùn)算；2.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義．學(xué)問(wèn)點(diǎn)一復(fù)數(shù)的加法[填一填](1)復(fù)數(shù)的加法法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，稱(chēng)z1＋z2為z1與z2的和，并規(guī)定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.(2)復(fù)數(shù)加法的交換律與結(jié)合律：對(duì)隨意復(fù)數(shù)z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．[答一答]1．怎樣應(yīng)用復(fù)數(shù)的加法法則進(jìn)行運(yùn)算？提示：(1)復(fù)數(shù)加法法則規(guī)定：實(shí)部與實(shí)部相加，虛部與虛部相加．很明顯，兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍舊是一個(gè)復(fù)數(shù)．復(fù)數(shù)的加法可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加的情形．(2)在這個(gè)規(guī)定中，當(dāng)b＝d＝0時(shí)，與實(shí)數(shù)的加法法則一樣．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二復(fù)數(shù)加法的幾何意義[填一填]假如復(fù)數(shù)z1，z2所對(duì)應(yīng)的向量分別為eq\o(OZ1,\s\up16(→))與eq\o(OZ2,\s\up16(→))，則當(dāng)eq\o(OZ1,\s\up16(→))與eq\o(OZ2,\s\up16(→))不共線時(shí)，以O(shè)Z1和OZ2為兩條鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，則z1＋z2所對(duì)應(yīng)的向量就是eq\o(OZ,\s\up16(→))，如圖所示．由復(fù)數(shù)加法的幾何意義可以得出||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|.學(xué)問(wèn)點(diǎn)三復(fù)數(shù)的減法[填一填](1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的相反數(shù)記作－z，并規(guī)定－z＝－(a＋bi)＝－a－bi.復(fù)數(shù)z1減去z2的差記作z1－z2，并規(guī)定z1－z2＝z1＋(－z2)．(2)假如z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.[答一答]2．怎樣應(yīng)用復(fù)數(shù)的減法法則進(jìn)行運(yùn)算？提示：(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)相減，就是把實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相減．(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)的差仍是復(fù)數(shù)．(3)復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算法則可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相減的情形，即若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，則z1－z2－…－zn＝(a1－a2－…－an)＋(b1－b2－…－bn)i(ai，bi∈R，i＝1,2,3，…，n)．學(xué)問(wèn)點(diǎn)四復(fù)數(shù)減法的幾何意義[填一填]假如復(fù)數(shù)z1，z2所對(duì)應(yīng)的向量分別為eq\o(OZ1,\s\up16(→))與eq\o(OZ2,\s\up16(→))，設(shè)點(diǎn)Z滿(mǎn)意eq\o(OZ,\s\up16(→))＝eq\o(Z2Z1,\s\up16(→))，則z1－z2所對(duì)應(yīng)的向量就是eq\o(OZ,\s\up16(→))，如圖所示．由復(fù)數(shù)減法的幾何意義可以得出||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|.1．復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算．(1)若有括號(hào)，括號(hào)優(yōu)先；若無(wú)括號(hào)，可從左到右依次進(jìn)行；(2)算式中出現(xiàn)字母時(shí)，首先確定其是否為實(shí)數(shù)，再提取各復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，將它們分別相加減．2．復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式的復(fù)數(shù)表示．復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式d＝|z1－z2|.其中z1、z2是復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)Z1、Z2所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，d表示Z1和Z2之間的距離．類(lèi)型一復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算[例1]計(jì)算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R[分析]利用復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的法則計(jì)算．[解](1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i(a，b∈eq\a\vs4\al(復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的方法技巧：,1復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相加、減，虛部與虛部相加、減；,2把i看作一個(gè)字母，類(lèi)比多項(xiàng)式加、減中的合并同類(lèi)項(xiàng).)[變式訓(xùn)練1](1)已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝(4＋i)＋(－3－2i)的虛部是(C)A．1 B.eq\r(2)C．－1 D．－i解析：z＝(4＋i)＋(－3－2i)＝(4－3)＋(1－2)i＝1－i.故復(fù)數(shù)z的虛部為－1.(2)已知復(fù)數(shù)z1＝7－6i，z2＝4－7i，則z1－z2＝(A)A．3＋i B．3－iC．11－13i D．3－13i解析：z1－z2＝(7－6i)－(4－7i)＝(7－4)＋[－6－(－7)]i＝3＋i.類(lèi)型二復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義[例2]如圖所示，已知平行四邊形OABC，頂點(diǎn)O，A，C分別表示0,3＋2i，－2＋4i，試求：(1)eq\o(AO,\s\up16(→))所表示的復(fù)數(shù)，eq\o(BC,\s\up16(→))所表示的復(fù)數(shù)；(2)對(duì)角線eq\o(CA,\s\up16(→))所表示的復(fù)數(shù)；(3)對(duì)角線eq\o(OB,\s\up16(→))所表示的復(fù)數(shù)及eq\o(OB,\s\up16(→))的長(zhǎng)度．[分析]要求某個(gè)向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，只要找出所求向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，或者用向量相等干脆給出所求的結(jié)論．[解](1)∵eq\o(AO,\s\up16(→))＝－eq\o(OA,\s\up16(→))，∴eq\o(AO,\s\up16(→))所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.∵eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AO,\s\up16(→))，∴eq\o(BC,\s\up16(→))所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.(2)∵eq\o(CA,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))，∴eq\o(CA,\s\up16(→))所表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)∵對(duì)角線eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))，∴它所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，∴|eq\o(OB,\s\up16(→))|＝eq\r(12＋62)＝eq\r(37).1.正確理解復(fù)數(shù)與向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.2.求復(fù)數(shù)，可先求對(duì)應(yīng)的向量，利用數(shù)形結(jié)合思想得出數(shù)量關(guān)系.[變式訓(xùn)練2]已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)2i,4－4i,2＋6i.求第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．解：如圖，設(shè)這個(gè)平行四邊形已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為Z1，Z2，Z3，它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是z1＝2i，z2＝4－4i，z3＝2＋6i，第四個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z4，則①當(dāng)這個(gè)平行四邊形是以eq\o(Z1Z2,\s\up16(→))和eq\o(Z1Z3,\s\up16(→))為一組鄰邊時(shí)，有eq\o(Z1Z4,\s\up16(→))＝eq\o(Z1Z2,\s\up16(→))＋eq\o(Z1Z3,\s\up16(→))，∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，即z4＝(z2＋z3)－z1＝6.②當(dāng)這個(gè)平行四邊形是以eq\o(Z2Z1,\s\up16(→))和eq\o(Z2Z3,\s\up16(→))為一組鄰邊時(shí)，有eq\o(Z2Z4′,\s\up16(→))＝eq\o(Z2Z1,\s\up16(→))＋eq\o(Z2Z3,\s\up16(→)).∴z4－z2＝(z1－z2)＋(z3－z2)．∴z4＝(z1＋z3)－z2＝－2＋12i.③當(dāng)這個(gè)平行四邊形是以eq\o(Z3Z1,\s\up16(→))和eq\o(Z3Z2,\s\up16(→))為一組鄰邊時(shí)，有eq\o(Z3Z4″,\s\up16(→))＝eq\o(Z3Z1,\s\up16(→))＋eq\o(Z3Z2,\s\up16(→)).∴z4－z3＝(z1－z3)＋(z2－z3)．∴z4＝(z1＋z2)－z3＝2－8i.綜上所述，這個(gè)平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為6或－2＋12i或2－8i.類(lèi)型三復(fù)數(shù)加減法的幾何意義的應(yīng)用[例3]已知復(fù)數(shù)z1＝2－2i.(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．[分析](1)|z|＝1的幾何意義是什么？(到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn))(2)|z－z1|的幾何意義是什么？(z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z與z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z1間的距離)[解](1)由于z1＝2－2i，所以|z1|＝2eq\r(2).(2)如圖，|z|＝1可看成半徑為1，圓心為(0,0)的圓，而z1在坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Z1(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成點(diǎn)Z1(2，－2)到圓上點(diǎn)的距離的最大值．由圖可知，|z－z1|max＝2eq\r(2)＋1.[變式訓(xùn)練3]已知|z|＝2，求|z＋1＋eq\r(3)i|的最大值和最小值．解：方法一：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則由|z|＝2知x2＋y2＝4，故z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，∴|z＋1＋eq\r(3)i|表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)(－1，－eq\r(3))的距離．又∵點(diǎn)(－1，－eq\r(3))在圓x2＋y2＝4上，∴圓上的點(diǎn)到點(diǎn)(－1，－eq\r(3))的距離的最小值為0，最大值為圓的直徑4，即|z＋1＋eq\r(3)i|的最大值和最小值分別為4和0.方法二：由已知，得復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)，以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上，設(shè)ω＝1＋eq\r(3)i＋z，所以z＝ω－1－eq\r(3)i.所以|z|＝|ω－(1＋eq\r(3)i)|＝2，所以復(fù)數(shù)ω對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)，以(1，eq\r(3))為圓心，半徑為2的圓上，此時(shí)圓上的點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)ωA的模有最大值，圓上的點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)ωB的模有最小值，如圖，故|1＋eq\r(3)i＋z|max＝4，|1＋eq\r(3)i＋z|min＝0.1．已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝3－4i，則z1＋z2＝(B)A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i解析：z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.2．復(fù)數(shù)z＝(5＋2i)－(2－i)，則|z|＝(B)A．5 B．3eq\r(2)C．18 D．25解析：依題意z＝5－2＋(2＋1)i＝3＋3i，所以|z|＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2).故選B.3．已知復(fù)數(shù)z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i為虛數(shù)單位)．在復(fù)平面內(nèi)，z1－z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在(B)A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：∵z1＝1＋3i，z2＝3＋i，∴z1－z2＝－2＋2i，故z1－z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(－2,2)在其次象限．4．如圖，在平行四邊形OABC中，各頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為zO＝0，zA＝2＋eq\f(a,2)i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，則a－b的值為－4.解析：由復(fù)數(shù)加法的幾何