學(xué)生書-§12-3-圓的方程

§12.3圓的方程(對應(yīng)答案分冊第43~44頁)1.圓的定義與方程當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí),此方程表示的圖形是圓;當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí),此方程表示一個(gè)點(diǎn)-D2,-E2;當(dāng)D2+E2-4F<2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圓心C的坐標(biāo)為(a,b),半徑為r,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0).(1)二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是A(2)以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)·(y-y2)=0.【概念辨析】1.判斷下面結(jié)論是否正確.(對的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.()(2)若點(diǎn)M(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0外,則x02+y02+Dx0+Ey0+F>0.(3)方程x2+y2+4mx-2y=0不一定表示圓.()(4)方程(x-a)2+(y-b)2=t2(t∈R)表示圓心為(a,b),半徑為t的一個(gè)圓.()【對接教材】2.以點(diǎn)(2,-1)為圓心且與直線3x-4y+5=0相切的圓的方程為().A.(x-2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y-1)2=3C.(x-2)2+(y+1)2=9D.(x+2)2+(y-1)2=93.過點(diǎn)A(1,-1),B(-1,1),且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是.

【易錯(cuò)自糾】4.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

5.若坐標(biāo)原點(diǎn)在圓(x-m)2+(y+m)2=4的內(nèi)部,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

求圓的方程【題組過關(guān)】1.(2022·北京西城模擬)設(shè)A(2,-1),B(4,1),則以線段AB為直徑的圓的方程是().A.(x-3)2+y2=2B.(x-3)2+y2=8C.(x+3)2+y2=2D.(x+3)2+y2=82.(2022·浙江紹興模擬)已知圓C與x軸的正半軸相切于點(diǎn)A,圓心在直線y=2x上,若點(diǎn)A在直線x-y-4=0的左上方且到該直線的距離等于2,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為().A.(x-2)2+(y+4)2=4B.(x+2)2+(y+4)2=16C.(x-2)2+(y-4)2=4D.(x-2)2+(y-4)2=163.(2022·河南鄭州模擬)圓(x+2)2+(y-12)2=4關(guān)于直線l:x-y+8=0對稱的圓的方程為().A.(x+3)2+(y+2)2=4B.(x+4)2+(y-6)2=4C.(x-4)2+(y-6)2=4D.(x+6)2+(y+4)2=4點(diǎn)撥求圓的方程的兩種方法幾何法根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫出方程待定系數(shù)法①根據(jù)題意,選擇標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程;②根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F的方程組;③解出a,b,r或D,E,F,代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程提醒:解答圓的有關(guān)問題時(shí),應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合,充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì).與圓有關(guān)的軌跡問題【典例遷移】(一題多解)已知Rt△ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0).求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程.

【變式設(shè)問】已知條件不變,求直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.

點(diǎn)撥求與圓有關(guān)的軌跡問題的三種方法(1)直接法:當(dāng)題目條件中含有與該點(diǎn)有關(guān)的等式時(shí),可設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo),用坐標(biāo)表示等式,直接求解軌跡方程.(2)定義法:當(dāng)題目條件符合圓的定義時(shí),可直接利用定義確定其圓心和半徑,寫出圓的方程.(3)代入法:當(dāng)題目條件中已知某動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,而要求的點(diǎn)與該動(dòng)點(diǎn)有關(guān)時(shí),常找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求軌跡方程.【追蹤訓(xùn)練1】自圓C:(x-3)2+(y+4)2=4外一點(diǎn)P(x,y)引該圓的一條切線,切點(diǎn)為Q,PQ的長度等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離,則點(diǎn)P的軌跡方程為().A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0與圓有關(guān)的最值問題【考向變換】考向1斜率型最值問題已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,則yx的最大值和最小值分別為和.

點(diǎn)撥形如μ=y-bx-【追蹤訓(xùn)練2】已知實(shí)數(shù)x,y滿足(x-2)2+(y-1)2=1,則z=y+1x的最大值和最小值分別為和考向2截距型最值問題已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,則y-x的最大值和最小值分別為和.

點(diǎn)撥形如t=ax+by的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題.【追蹤訓(xùn)練3】已知M(x,y)為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點(diǎn),且點(diǎn)Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)求y-3

考向3距離型最值問題已知實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y-5=0,則(x-1)2+(y-1)2的最小值為().A.45 B.C.255 D點(diǎn)撥形如(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題.【追蹤訓(xùn)練4】若實(shí)數(shù)x,y滿足(x+5)2+(y-12)2=142,則x2+y2的最小值為().A.2 B.1 C.3 D.2函數(shù)思想在圓中的應(yīng)用在解決與圓有關(guān)的最值問題時(shí),通過轉(zhuǎn)化,結(jié)合函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.(2022·廈門模擬)設(shè)P(x,y)是圓x2+(y-3)2=1上的動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)A(2,0),B(-2,0),則PA·PB的最大值為.

根據(jù)題