初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級專題11是偶然還是必然-概率初步

專題11是偶然還是必然—概率初步閱讀與思考統(tǒng)計學(xué)是一門研究如何收集、整理、分析數(shù)據(jù)，并在此基礎(chǔ)上作出推斷的學(xué)科．在自然界和人類社會中，嚴格確定性的現(xiàn)象十分有限，不確定性現(xiàn)象卻是大量存在的，而概率正是對隨機現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)描述．?dāng)?shù)學(xué)中用概率來表示事件發(fā)生的機會大小，概率是一個比值，用字母P表示，計算公式是：事件發(fā)生的概率P=在具體的計算中，常用到樹形圖、列表、窮舉等方法．統(tǒng)計與概率互為基礎(chǔ)，概率這一概念是建立在概率這一統(tǒng)計量穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上的，而推斷、估計等統(tǒng)計方法的科學(xué)性有賴于概率理論的嚴密性．例題與求解【例1】一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8．同時擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)之和為7的概率是．（“《數(shù)學(xué)周報》杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）解題思路：用列表法列出所有情形．【例2】一項“過關(guān)游戲”規(guī)定：在第n關(guān)要擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于，則算過關(guān)；否則不算過關(guān)．現(xiàn)有下列說法：①過第一關(guān)是必然事件；②過第二關(guān)的概率是；③可以過第四關(guān)；④過第五關(guān)的概率大于0．其中，正確說法的個數(shù)為（）A．4個 B．3個C．2個 D．1個解題思路：對于（2），在理解“過關(guān)”意義的基礎(chǔ)上，逐步計算相關(guān)概率．【例3】如圖，用紅、藍、黃三色將圖中區(qū)域A，B，C，D染色，要求有公共邊界的相鄰區(qū)域不能染相同的顏色，則滿足區(qū)域A恰好染藍色的概率為．解題思路：用樹形圖列出所有可能情形，或從整體考慮．【例4】小明準備給小陳打電話，由于保管不善，電話本上的小陳手機號碼中，有兩個數(shù)字已模糊不清．如果用x，y表示這兩個看不清的數(shù)字，那么小陳的手機號碼為139x370y580（手機號碼由11個數(shù)字組成），小明記得這11個數(shù)字之和是20的整數(shù)倍．求小明一次撥對小陳手機號碼的概率．解題思路：建立關(guān)于x，y的不定方程，由此可得x，y可能的對應(yīng)值的所有情況．【例5】楊華與李紅用五張相同規(guī)格的硬幣紙片做拼圖游戲．硬紙片正面如下圖1所示，背面完全一致．將它們背面朝上洗勻后，同時抽出兩張．規(guī)則如下：當(dāng)兩張硬紙片上的圖形可拼成電燈或小人時，楊華得1分；當(dāng)兩張硬紙片上的圖形可拼成房子或小山時，李紅得1分；問題：游戲規(guī)則對雙方公平嗎？請說明理由；若你認為不公平，如何修改游戲規(guī)則才能使游戲?qū)﹄p方公平？解題思路：游戲?qū)﹄p方公平是指雙方積分相同．解題的關(guān)鍵是分別求出楊華、李紅的得分．【例6】一個正三角形ABC的每一個角各有一只螞蟻，每只螞蟻開始朝另一只螞蟻做直線運動，目標角是隨機選擇．求螞蟻不相撞的概率．（微軟公司招聘面試試題）解題思路：三只螞蟻在每個角上都有兩種選擇的方向（順時針或逆時針），因每只螞蟻選擇的不確定性，故組成的各種情形似乎繁雜．出題用意就在于考查應(yīng)試者摒除習(xí)慣因素的干擾、切中要害、化繁為簡的能力．

能力訓(xùn)練A級1．如圖1，圖中有一個黑球，圖2有3個同樣大小的球疊成的圖形，最下一層的2個球為黑色，其余為白色；圖3為6個同樣大小的球疊成德圖形，最下一層的3個球為黑色，其余為白色；…則從第n個圖中隨機取一個球，是黑球的概率為．（株洲市中考試題）2．有四張正面分別標有數(shù)字-3，0，1，5的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)將他們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將該卡片上的數(shù)字記為a，則使關(guān)于x的分式方程有正整數(shù)解的概率為．（重慶市中考試題）3．小丁、小明、小倩在一起做游戲時，需要確定做游戲的先后順序．他們約定用“剪刀、布、錘子”的方式確定．那么，在一個回合中三個人都出“布”的概率是．（海南省中考試題）對于平面內(nèi)任意一個凸四邊形ABCD，現(xiàn)從以下四個關(guān)系式①AB=CD；②AD=BC；③AB//CD；④∠A=∠C中任取兩個作為條件，能夠得出這個四邊形ABCD是平行四邊形的概率是．（廣州市中考試題）5．在0，1，2三個數(shù)中任取兩個，組成兩位數(shù)，則在組成的兩位數(shù)中是奇數(shù)的概率為（）A． B．C． D．（泰安市中考試題）6．從分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的五張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上的數(shù)字作為十位數(shù)字，第二張卡片上的數(shù)字作為個位數(shù)字，組成一個兩位數(shù)，則所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的概率為（）A． B．C． D．（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）7．經(jīng)過某十字路口的汽車，可能繼續(xù)直行，也可能向左或向右轉(zhuǎn)．若這三種可能性大小相同，則兩汽車經(jīng)過該十字路口全部繼續(xù)直行的概率為（）A． B．C． D．（呼和浩特市中考試題）8．盒子里有十個球，每個球上寫有1～10中的一個數(shù)字，不同的球上數(shù)字不同，其中兩個球上的數(shù)字之和可能是3，4，…，19．現(xiàn)從盒中隨意取兩個球，這兩個球上的數(shù)之和最有可能出現(xiàn)的是（）A．2 B．10C．11 D．209．一個口袋中有三個黑球和若干個白球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，小明為估計其中的白球數(shù)，采用了如下的方法：從口袋中隨機摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中，搖勻后再隨機摸出一球，記下顏色，……不斷重復(fù)上訴過程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根據(jù)上述數(shù)據(jù)，小明可估計口袋中的白球大約有（）A．18個 B．15個C．12個 D．10個（青島市中考試題）10．“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．小亮同學(xué)隨機地在大正方形及其內(nèi)部區(qū)域投針．若直角三角形的兩條直角邊長分別是2和1，則針扎到小正方形（陰影）區(qū)域的概率是（）A． B．C． D．（臨沂市中考試題）11．有四張卡片（背面完全相同），分別寫有數(shù)字1，2，-1，-2．把它們背面朝上洗勻后，甲同學(xué)抽取一張，記下這個數(shù)字后放回洗勻，乙同學(xué)再從中抽出一張，記下這個數(shù)字．用字母b，c分別表示甲、乙兩同學(xué)抽出的數(shù)字．（1）用列表法求關(guān)于x的方程有實數(shù)解的概率；（2）求（1）中方程有兩個相同實數(shù)解的概率．12．將背面完全相同，正面分別寫有數(shù)字1，2，3，4的四張卡片混合后，小明從中隨機地抽取一張，把卡片上的數(shù)字作為被減數(shù)；將形狀、大小完全相同，分別標有數(shù)字1，2，3的三個小球混合后，小華從中隨機地抽取一個，把小球上的數(shù)字作為減數(shù)，然后計算出這兩個數(shù)的差．（1）請你用畫樹形圖或列表的方法，求這兩個數(shù)差為0的概率；（2）小明與小華做游戲，規(guī)則是：若這兩數(shù)的差為非負數(shù)，則小明贏；否則，小華贏．你認為該游戲公平嗎？請說明理由．如果不公平，請你修改游戲規(guī)則，使游戲公平．（重慶市中考試題）B級1．一只盒子中有紅球m個，白球10個，黑球n個，每個球除顏色外都相同．從中任取一個球，取得是白球的概率與不是白球的概率相同．那么，m與n的關(guān)系是．（山東省競賽試題）2．某廣場地面鋪滿了邊長為36cm的正六邊形地磚．現(xiàn)在向上拋擲半徑為cm的圓碟，圓碟落地后與地磚間的間隙不相交的概率大約是．（太原市競賽試題）3．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加校田徑運動會4×100m接力跑比賽．如果任意安排四位同學(xué)的跑步順序，那么，恰好由甲將接力棒交給乙的概率是（）A． B．C． D．（浙江省競賽試題）4．一條繩子被任意割成兩段，較長的一段至少是較短的一段的x倍的概率為（）A． B．C． D．E．（美國高中數(shù)學(xué)考試題）5．把一顆六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，若兩個正面朝上的編號分別為m，n，則二次函數(shù)的圖象與軸有兩個不同交點的概率是（）A． B．C． D．（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）6．長為1，2，3，4，5的線段各一條，從這五條線段中任取三條，能構(gòu)成鈍角三角形的概率為（）A． B．C． D．7．一張數(shù)學(xué)游戲在兩個同學(xué)甲、乙之間進行．裁判在黑板上先寫出正整數(shù)2，3，…，2006，然后隨意擦去一個數(shù)，接下來由乙、甲兩人輪流擦去其中一個數(shù)（即乙先擦去其中的一個數(shù)，然后甲再擦去另一個數(shù)，如此下去）．若最后剩下的兩個數(shù)互質(zhì)，則判甲勝；否則，判乙勝．按照這種游戲規(guī)則，求甲獲勝的概率．（四川省競賽試題）8．任意選擇一對有序整數(shù)(b，c)，其中每一個整數(shù)的絕對值小于或等于5，每一對這樣的有序整數(shù)被選擇的可能性是相等的．求方程沒有相異正實根的概率．（美國高中數(shù)學(xué)考試題）9．袋中有數(shù)字卡片九張，其數(shù)字分別為1～9．若隨機一次抽出三張，求被抽出的卡的數(shù)字全是奇數(shù)的概率．（香港中學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）10．將20個球放入兩個袋中，每袋10個球，各袋中的球分別標上自然數(shù)1～10，其中一袋中的球全是白色，另一袋中的球全為黑色．若從兩個袋中任意各取一個球，求白球上的數(shù)比黑球上的數(shù)大的概率．（香港中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題）11．如圖，將三枚相同的硬幣依次放入一個4×4的正方形格子中（每個正方形格子只能放一枚硬幣）．求所放的三枚硬幣中，任意兩個都不同行且不同列的概率．（四川省競賽試題）12．在一個口袋中有n個小球，其中兩個是白球，其余為紅球，這些球的形狀、大小、質(zhì)地完全相同．在看不到球的情況下，從袋中隨機地取出一個球．（1）若取出的是紅球的概率為，求n的值；（2）在（1）的條件下，把這n個球中的兩個標號為1，其余分別標號為2，3，…，n-1，隨機地取出一個小球后不放回，再隨機地取出一個小球，請用列表法或樹形圖求第二次取出的小球標號大于第一次取出的小球標號的概率；（3）若第（2）問去掉“在（1）的條件下”，且第二次取出的小球標號大于第一次取出的小球標號的概率為，求n的值．

專題11是偶然還是必然一概率初步例1P（朝上的面兩數(shù)之和為7）==，例2B提示：①②③正確.例3由樹形圖知，共有12種不同的染色情形，其中，A處染藍色共有4種情形，所求概率為=.例4手機號碼的數(shù)字之和為，設(shè)36+x+y=20k(k為正整數(shù))，則x+y=20k-36．又0≤x≤9，0≤y≤9．∴0≤z+y≤18，即0≤20k-36≤18，解得l.8≤k≤2.7，∵k為整數(shù)，∴k=2．從而x+y=4，(x，y)=(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)．故小明一次撥對小陳手機號碼的概率為．例5(1)∵P（拼成電燈）=，P（拼成小人）=，P（拼成房子）=，P（拼成小山）=.∴楊華平均每次得分為（分），李紅平均每次得分為（分）．故游戲規(guī)則對雙方不公平．(2)改為當(dāng)拼成的圖形是小人時楊華得3分，其余規(guī)則不變，就能使游戲規(guī)則對雙方公平．例6選擇一只螞蟻A作為參照標準，一旦A確定了自己的運動方向，那么其他螞蟻必須做相同方向的運動才能避免相撞，螞蟻B，C分別有的概率選擇與A相同的運動方向，故螞蟻避免撞到一起的概率為A級1．2．3．4．提示：其中①②、①③、③④可得出四邊形ABCD是平行四邊形．5．A6.C7．C8.C9．C10．C11．(1)P=(2)P=12．(1)P==(2)該游戲不公平．游戲規(guī)則改為：若這兩數(shù)的差為正數(shù)，則小明贏；否則，小華贏．B級1．m+n=102．提示：欲使圓碟不壓地磚間的間隙，則圓碟的圓心必須落在與地磚同心、邊與地磚邊彼此平行、距離為cm的小正六邊形內(nèi)，如圖，A2O=A1A2=36，作OC1⊥A1A2，C1C2=，A2C1=18,C1O=A2O=,C2O=C1O-C1C2=，又C2O=B2O,得BO2=24=B1B2.故P=．3.A提示：=．4．E提示：如圖，設(shè)AB是這種繩子，P是AB上一點，使得AP：PB=1：x．若AP=s，則PB=sx．所求截點在AP上的概率為，又因為截點位于線段另一端B同樣距離的線段上的可能性是一樣的，則所求事件的概率是．5.C6．C提示：(2，3，4)，(2，4，5)滿足a2+b2<c2.7.解題的關(guān)鍵是對數(shù)組進行恰當(dāng)?shù)姆诸悾⒏鶕?jù)裁判擦去的數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)進行討論：2，3，…，2006中有1002個奇數(shù)、l003個偶數(shù)．①若裁判擦去的是奇數(shù)，此時乙一定獲勝．因為乙不管甲擦什么數(shù)，只要還有奇數(shù)就擦奇數(shù)，這樣，最后兩個數(shù)一定都是偶數(shù)，從而所剩的兩個數(shù)不互質(zhì)．②若裁判擦去的是偶數(shù)，此時甲一定獲勝．設(shè)裁判擦去的數(shù)是2m，則將所剩的數(shù)配成1002對：(2，3)，…，(2m-2，2m-1)，(2m+l，2m+2)，(2005，2006)．這樣，不管乙擦去哪一個數(shù)，甲都擦去所配對的數(shù)對中的另一個數(shù)，最后剩下的兩個數(shù)必互質(zhì)，故甲勝。故甲獲勝的概率為.8．從問題的反面考慮，設(shè)方程x2+bx+c有兩相異的正實根x1，x2，則b2-4c>0，x1x2=c>0，x1+x2=-b>0，，．于是b=-3且c=1或2；或b=-4且c=1，2，3；或b=-5且c=1,2，3，4，5．因此，有10對有序整數(shù)可使方程有相異正實根，而可取的有序整數(shù)共有l(wèi)l2對．故所求的概率為．9．?dāng)?shù)字卡1,2,3，…，9中奇數(shù)卡有1,3,5,7,9，由這五個奇數(shù)中的三個奇數(shù)組成的所有不同的組合共有個,而直接由數(shù)字卡1,2,3，…，9中取三張卡組成的所有不同的組合共有個，故從九張卡1,2，…，9中抽出三張卡全是奇數(shù)的概率為．10．首先確定白球、黑球上的數(shù)出現(xiàn)的概率，再將所得的結(jié)果相乘、相加即可．在白（黑）球的袋中任取一個球，取到數(shù)為110的球的機會是一樣的，因此取到各個球的概率都是，現(xiàn)假設(shè)從白球袋中取得的球上的數(shù)為10（概率為），要使從黑球袋中取得