高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修三）第04講722單位圓與三角函數(shù)線

7.2.2單位圓與三角函數(shù)線TOC\o"13"\h\u題型1三角函數(shù)線的畫法 2題型2三角函數(shù)線在比較大小中的應(yīng)用 7題型3三角函數(shù)線解決取值（范圍)問題 14知識(shí)點(diǎn)一.正弦線與余弦線1.一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)滿足x2+y2=1的點(diǎn)組成的集合稱為單位圓·2.過角α終邊與單位圓的交點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，當(dāng)OM的方向與x軸的正方向相同時(shí)，表示cosα是正數(shù)，且cosα=|OM|,當(dāng)OM的方向方向與x軸的正方向相反時(shí)，表示cosα是負(fù)數(shù)，且cosα=|OM|,則OM知識(shí)點(diǎn)二.正切線定義：設(shè)角α的終邊與直線x=1交于點(diǎn)T，則AT可以直觀地表示tanα，因此AT稱為角α的正切線.當(dāng)角的終邊在第二、三象限或x軸的負(fù)半軸上時(shí)，終邊與直線x=1沒有交點(diǎn)，但終邊的反向延長線與x=1有交點(diǎn)，而且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也正好是角的正切值.正弦線、余弦線和正切線都稱為三角函數(shù)線.題型1三角函數(shù)線的畫法【方法總結(jié)】三角函數(shù)線的畫法（1）作正弦線、余弦線時(shí)，首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后過此交點(diǎn)作x軸的垂線，得到垂足，從而得正弦線和余弦線.（2）作正切線時(shí)，應(yīng)從A（1，0）點(diǎn)引x軸的垂線，交α的終邊（α為第一或第四象限角）或α終邊的反向延長線（α為第二或第三象限角）于點(diǎn)T，即可得到正切線AT.【例題1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A是單位圓與x軸的交點(diǎn)，角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，PM⊥x軸于M，過點(diǎn)A作單位圓的切線交角α的終邊于T，則角α的正弦線?余弦線?正切線分別是（

）A．有向線段OM，AT，MP B．有向線段OM，MP，ATC．有向線段MP，AT，OM D．有向線段MP，OM，AT【答案】D【分析】根據(jù)題圖及三角函數(shù)線的定義判斷角α的正弦線?余弦線?正切線.【詳解】由題圖知：圓O為單位圓，則OA=且tanα故角α的正弦線?余弦線?正切線分別是有向線段MP，OM，AT.故選：D【變式11】1．作出下列各角的正弦線、余弦線和正切線：(1)π3(2)5π(3)5π(4)?π【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析【分析】作出單位圓，角的終邊與單位圓交于P，過P作PM⊥x軸，交x軸于M，角的終邊或終邊的反向延長線交過A(1,0)且平行于y軸的直線交于點(diǎn)T，則MP是正弦線，OM（1）解：π3的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，與過A(1,0)且平行于y軸的直線交于點(diǎn)T，過P作PM⊥x軸，交則MP是正弦線，OM是余弦線，AT是正切線．（2）解：5π6的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，5π6的終邊的反向延長線與過A(1,0)過P作PM⊥x軸，交x軸于則MP是正弦線，OM是余弦線，AT是正切線．（3）5π3的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，5π3的終邊與過A(1,0)過P作PM⊥x軸，交x軸于則MP是正弦線，OM是余弦線，AT是正切線．（4）?π4的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，與過A(1,0)且平行于y過P作PM⊥x軸，交x軸于則MP是正弦線，OM是余弦線，AT是正切線．【變式11】2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）作出下列各角的正弦線、余弦線和正切線．(1)π4(2)2π(3)7π(4)?π【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【分析】直接利用定義分別作出正弦線、余弦線和正切線即可.(1)解：如圖所示，正弦線為有向線段MP，余弦線為有向線段OM，正切線為有向線段AT；(2)解：如圖所示，正弦線為有向線段MP，余弦線為有向線段OM，正切線為有向線段AT；(3)解：如圖所示，正弦線為有向線段MP，余弦線為有向線段OM，正切線為有向線段AT；(4)解：如圖所示，正弦線為有向線段MP，余弦線為有向線段OM，正切線為有向線段AT.【變式11】3．（2020·全國·高一假期作業(yè)）下列說法不正確的是A．當(dāng)角α的終邊在x軸上時(shí)，角α的正切線是一個(gè)點(diǎn)B．當(dāng)角α的終邊在y軸上時(shí)，角α的正切線不存在C．正弦線的始點(diǎn)隨角的終邊位置的變化而變化D．余弦線和正切線的始點(diǎn)都是原點(diǎn)【答案】D【解析】利用三角函數(shù)線對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【詳解】根據(jù)三角函數(shù)線的概念，A，B，C都是正確的，只有D不正確；因?yàn)橛嘞揖€的始點(diǎn)在原點(diǎn)，而正切線的始點(diǎn)在單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)上．故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)線，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.【變式11】4．（多選）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）[多選題]給出下列四個(gè)命題，其中正確的有（

）A．α一定時(shí)，單位圓中的正弦線一定B．單位圓中，有相同正弦線的角相等C．α和α+D．具有相同正切線的兩個(gè)角終邊在同一條直線上【答案】AD【分析】利用正弦線的定義及正切線的定義即可判斷.【詳解】由正弦線定義可知當(dāng)α一定時(shí)，單位圓中的正弦線一定，故A正確；π6與5π6由正切線的定義可知，當(dāng)α=π2時(shí)，α具有相同正切線的兩個(gè)角終邊在同一條直線上，故D正確．故選：AD．題型2三角函數(shù)線在比較大小中的應(yīng)用【例題2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下面四個(gè)選項(xiàng)中大小關(guān)系正確的是（

）A．sinπ5<sinC．cosπ5<cos【答案】B【分析】在單位圓中分別做出角π5和4π【詳解】如圖，在單位圓中作出角π5角4π5的正弦線D′P′、余弦線由于π5=π?4π5，因此由圖可得sinπ5=sintanπ5∴sinπ故選：B【變式21】1．（2021·全國·高一專題練習(xí)）若?3π4A．sinα<tanαC．cosα<sinα【答案】D【分析】在單位圓中，作出(?3π4,?π2)內(nèi)的一個(gè)角α【詳解】如圖，在單位圓中，作出(?3π4,?π2)內(nèi)的一個(gè)角α由圖知，|OM|<|MP|<|AT|，又OM,MP分別與所以sinα故選：D【變式21】2．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)a=sin5π12，A．a(chǎn)<b<C．b<c<【答案】D【解析】作出5π【詳解】設(shè)5π12的終邊與單位圓相交于點(diǎn)根據(jù)三角函數(shù)線的定義可知a=MP=sin5π顯然AT>所以b<故選：D【變式21】3．若－3π4＜α＜－A．sinα＜tanα＜cosα B．cosα＜sinα＜tanαC．sinα＜cosα＜tanα D．tanα＜sinα＜cosα【答案】C【分析】在單位圓中畫出三角函數(shù)線，觀察三角函數(shù)線可得結(jié)果.【詳解】如圖所示作出角α的正弦線MP，余弦線OM，正切線AT，因?yàn)椋?π4＜α＜－π2，所以O(shè)M，MP均為負(fù)值，且OM故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)線比較同角三角函數(shù)的大小，熟悉各象限的符號(hào)和三角函數(shù)線是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.【變式21】4．(多選)（2022·高一課時(shí)練習(xí)）[多選題]已知sinαA．若α，β是第一象限角，則cosB．若α，β是第二象限角，則tanC．若α，β是第三象限角，則cosD．若α，β是第四象限角，則tan【答案】BD【分析】根據(jù)選項(xiàng)中角度所處象限，結(jié)合三角函數(shù)線即可比較大小.【詳解】設(shè)P1x1,y1，P2x2,y2分別為單位圓與角若α，β是第一象限角，如圖，由sinα>sinβ，可得y1>若α，β是第二象限角，如圖，tanα=AT1，tan若α，β是第三象限角，如圖，由sinα>sinβ，可得y1>若α，β是第四象限角，如圖，tanα=AT1，tan故選：BD．【變式21】5．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）用三角函數(shù)線比較sin1與cos1的大小，結(jié)果是______.（用“>”連接）【答案】sin1>cos1##cos1<sin1【分析】畫出圖形運(yùn)用三角函數(shù)數(shù)線的定義，直角三角形結(jié)合大小判斷即可．【詳解】解：∵π4∴Rt△根據(jù)三角函數(shù)線的定義得出：OM=cos1，AM∴sin1>cos1．故答案為：sin1>cos1.【變式21】6．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)a=sin5π7，b【答案】b【分析】利用單位圓作出三角函數(shù)線，利用5π7和2π7的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，以及【詳解】如圖，在單位圓O中分別作出角5π7的正弦線M1P1，角27由5π7=π?2π又π4易知AT>∴cos2π故b<故答案為：b【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)線的簡單應(yīng)用，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題型.【變式21】7．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)MP，OM和AT分別是角13π18A．MP<AT<C．AT<MP<0【答案】B【分析】根據(jù)題意在單位圓中作出角13π18【詳解】根據(jù)題意在單位圓中作出角13π18由圖可知sin13π18∵∠AOT=5π∴tan13π18=故選：B題型3三角函數(shù)線解決取值（范圍)問題【例題3】（2021·高一課時(shí)練習(xí)）利用單位圓分別寫出符合下列條件的角α的集合：（1）sinα（2）cosα（3）tanα【答案】（1）α|α=2kπ+π6或α【分析】（1）根據(jù)正弦線作圖求解即可；（2）根據(jù)余弦線作圖求解即可；（3）根據(jù)正切線作圖求解即可.【詳解】解（1）作出如圖所示的圖形，則根據(jù)圖形可得α|α=2（2）作出如圖所示的圖形，則根據(jù)圖形可得α|α=2（3）作出如圖所示的圖形，則根據(jù)圖形可得αα【變式31】1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在(0,2π)上，利用單位圓，得到cosx>sinxA．π4,π3 B．5π4,【答案】C【分析】根據(jù)正余弦、正切函數(shù)的定義，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合判斷即可.【詳解】如圖所示，在單位圓中，設(shè)∠AOM=x，則AM=sinx由圖形可得在第一象限sinx,cosx,tanx均大于0，TN>AM在第一象限恒成立，即tanx>sinx在第一象限恒成立，以π4為分界線，當(dāng)0<x<由圖形可得在第二象限sinx大于0，cosx,tan由圖形可得在第三象限sinx,cosx小于0，tan有圖形可得在第四象限cosx大于0，sin,tanx小于0，且TN>AM恒成立，即sinx>tanx綜上cosx>sinx>tanx故選：C【變式31】2．已知α∈0,π【答案】(1,【分析】利用三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)線及基本不等式即得.【詳解】如圖，作出單位圓中的三角函數(shù)線，則有cosα=OM，sin在Rt△OPM中，OM∴sinα又OM2∴OM+MP2當(dāng)且僅當(dāng)OM=∴1<sinα故答案為：(1,2【變式31】3．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）若θ∈3π【答案】?1,【分析】由正弦線來求θ∈【詳解】由下圖可知sin3π4=22，故答案為：?1,【變式31】4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB?CD?EF?GH分別是單位圓上的四段弧，點(diǎn)P在其中一段上，角α以O(shè)x為始邊，OP為終邊.若sinα<cosαA．AB B．CD C．EF D．GH【答案】C【分析】逐個(gè)分析A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，利用三角函數(shù)的三角函數(shù)線可得正確結(jié)論.【詳解】由下圖可得：有向線段OM為余弦線，有向線段MP為正弦線，有向線段HT為正切線.A選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，cosα∴cosαB選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，cosα=x∴tanαC選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)P在EF上時(shí)，cosα=x∴sinαD選項(xiàng)：點(diǎn)P在GH上，tanα故選：C.【變式31】5．不等式cosx>1【答案】?【分析】利用余弦函數(shù)的定義及三角函數(shù)線即得.【詳解】如圖所示，由于cosπ所以在?π,π上cos故答案為：?【變式31】6．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y＝的定義域?yàn)開_______．【答案】(k∈Z)【分析】解不等式2cosx－1≥0即得函數(shù)的定義域.【詳解】∵2cosx－1≥0，∴cosx≥.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊的范圍(如圖陰影所示)．∴x∈(