浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

浙江強(qiáng)基聯(lián)盟2024年12月高二聯(lián)考數(shù)學(xué)試題浙江強(qiáng)基聯(lián)盟研究院命制考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用直線的傾斜角和斜率的關(guān)系求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，設(shè)傾斜角為，所以，故.故選：D.2.已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率是（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程的公式列出等式，即可求得離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，所以，故選：A.3.若橢圓上一點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，則（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】討論焦點(diǎn)的位置利用橢圓定義可得答案.【詳解】若，則由得（舍去）；若，則由得.故選：B.4.已知數(shù)列滿足，，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由于是遞增數(shù)列，所以，代入通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)可得對(duì)都成立，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果.【詳解】由數(shù)列是遞增數(shù)列，得，化簡(jiǎn)可得，即對(duì)于恒成立，所以，故選：C.5.如圖是正方體在一個(gè)平面上的展開(kāi)圖，則在原正方體中，直線與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將平面圖形復(fù)原成正方體，利用正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定定理即可求解.【詳解】將表面展開(kāi)圖還原為正方體，直線與在正方體中的位置如圖所示，連接，為正方形，，平面，平面，，平面，平面，，平面，又平面，，故直線與所成角的大小為.故選：D.6.直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.都有可能【答案】C【解析】【分析】確定直線過(guò)定點(diǎn)，而定點(diǎn)在圓內(nèi)，從而可得結(jié)論．【詳解】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，所以圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為5，直線恒過(guò)定點(diǎn)，，點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，故選：C.7.拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若為等腰直角三角形，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，然后求出拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形是等腰直角三角形求出即可．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，準(zhǔn)線方程與雙曲線聯(lián)立可得，解得.因?yàn)闉榈妊苯侨切危?，即，解得，故選：B.8.已知拋物線：，拋物線：，，的焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，則（）A.直線的方程為 B.C. D.與各有一個(gè)交點(diǎn)的直線有三條【答案】D【解析】【分析】A選項(xiàng)利用拋物線和的方程求出焦點(diǎn)和的坐標(biāo)，再利用直線的兩點(diǎn)式方程即可求出直線的方程；設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合焦點(diǎn)和的坐標(biāo)，寫出和的表達(dá)式，從而可以判斷B，C選項(xiàng)，再數(shù)形結(jié)合判斷D選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，，所以直線的方程為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)在原點(diǎn)時(shí)，取到最小值為1，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)直線與只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，①若與軸平行或重合時(shí)，滿足與，各有一個(gè)交點(diǎn)，如圖；②若與相切時(shí)，與，各有一個(gè)交點(diǎn)的直線有兩條，一條與相切，一條與軸重合，如圖和，與，各有一個(gè)交點(diǎn)的直線有三條，D正確.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線：，直線：，則（）A.直線可以與軸平行 B.直線可以與軸平行C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行和垂直時(shí)的系數(shù)關(guān)系逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線：，此時(shí)直線與軸平行，A項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，直線：，此時(shí)直線與軸平行，B項(xiàng)正確；若，則，解得，此時(shí)直線與重合，C項(xiàng)錯(cuò)誤；若，則，解得，D正確.故選:ABD.10.已知曲線：（為參數(shù)），曲線：（為參數(shù)），，以下正確的是（）A.曲線是一個(gè)圓B.曲線是一條直線C.若，則曲線與存在公共點(diǎn)D.若，則曲線上的點(diǎn)到曲線距離的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】曲線以及曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)和，能求出曲線和曲線的普通方程即可得到軌跡是什么圖形；再將代入兩個(gè)方程即可判斷是否有公共點(diǎn)；最后將代入曲線利用曲線的參數(shù)方程即可求得最大值.【詳解】A，曲線可化為：，故A錯(cuò)誤；B，曲線可化為：，故B正確.C，當(dāng)，：過(guò)曲線的上頂點(diǎn)，故C正確.D，若，：，設(shè)曲線上的點(diǎn)，則點(diǎn)到曲線的距離為，故D正確.故選：BCD.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（）A.若是的中點(diǎn)，則平面B.若是的中點(diǎn)，則平面C.最大值是D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)A，根據(jù)是的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，通過(guò)證明四邊形是平行四邊形即可證明；對(duì)選項(xiàng)B，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的一個(gè)法向量，證明即可；對(duì)選項(xiàng)C，根據(jù)可知，與重合時(shí)，最大；對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)出，坐標(biāo)，則可知坐標(biāo)，故，，由可知，代入數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可轉(zhuǎn)化為的取值范圍，利用三角換元即可求解.【詳解】是的中點(diǎn)，，，，∴是的中點(diǎn).連接交于點(diǎn)如圖所示.，∴四邊形是平行四邊形，.又平面，平面，平面，故A正確；以為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，若是的中點(diǎn)，此時(shí)是的中點(diǎn)，那么，，，，而平面的一個(gè)法向量.，不是平面的法向量，故B錯(cuò)誤；當(dāng)與重合時(shí)，最大，為，故C正確；設(shè)，，則，，，，，，設(shè)，，，故，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中線面位置關(guān)系、求線段長(zhǎng)度最小值及數(shù)量積最小值的方法，解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合能力和計(jì)算能力，屬于壓軸題.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量，，且，則______.【答案】##【解析】【分析】先由求得，再根據(jù)兩向量的夾角公式，即可求出的值.【詳解】,，得，則.故答案為：13.已知點(diǎn)，，，點(diǎn)滿足，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】209【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，用坐標(biāo)表示，代入等式，整理即得點(diǎn)P的軌跡方程；再用坐標(biāo)表示出，根據(jù)點(diǎn)P縱坐標(biāo)y的取值范圍即可求解.【詳解】設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)得，的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓.，，當(dāng)時(shí)，的最小值是209.故答案為：209.14.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，若總存在一條過(guò)的直線，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的離心率的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱結(jié)合焦半徑的范圍化簡(jiǎn)得出離心率范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，，，，即，又，橢圓的離心率的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線過(guò)點(diǎn).（1）若直線又過(guò)點(diǎn)，求直線的方程；（2）若直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，求面積的最小值.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）由過(guò)兩點(diǎn)可求直線斜率，再由點(diǎn)斜式即可求解；（2）設(shè)：，代入，利用基本不等式可得，即可求解面積的最小值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，，所以斜率為，所以：，即；【小問(wèn)2詳解】由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)：，代入得，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以面積的最小值是8.16.在四棱錐中，底面四邊形是正方形，，平面平面.（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，可得平面，進(jìn)而可證再結(jié)合正方形的性質(zhì)，有，由此可證平面，通過(guò)線面垂直即可證；（2）先通過(guò)證線面垂直求得點(diǎn)到平面的距離為，在通過(guò)線面平行得到點(diǎn)到平面的距離，利用勾股定理確定，即可求得直線與平面所成角的正弦值，由此即可求解.【小問(wèn)1詳解】連接交于點(diǎn)，平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，，四邊形是正方形，，，平面，平面，平面，平面，【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)，連接，不妨設(shè).是正方形，所以，由（1）知平面，平面，，平面，平面，，平面，又平面，于是，，是中點(diǎn)，，，平面，平面，平面，在中，，所以，在中，，所以，點(diǎn)到平面的距離為.，平面，平面，平面，點(diǎn)到平面的距離.設(shè)直線與平面所成角為，于是，又，直線與平面所成角的大小為.17.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)使直線，的斜率之積為，其軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，直線與軸交于點(diǎn)，滿足，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用直線，斜率的關(guān)系即可列出等式，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)點(diǎn)為曲線的右焦點(diǎn)，設(shè)出直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量關(guān)系即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，整理得：.【小問(wèn)2詳解】由題意可知直線斜率存在，設(shè)，，令得，由，得，，即，代入：，得，，，直線：.18.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)在線段上且滿足，點(diǎn)在線段上且滿足.（1）證明：；（2）若，求的值；（3）若存在，使直線與平面所成角為，求的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合已知條件，先用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理得出平面，再用線面垂直的性質(zhì)定理得出所證結(jié)論.（2）用線面垂直的判定定理得出平面，進(jìn)而得到，結(jié)合已知得出，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例得出結(jié)論.（3）以為原點(diǎn)建系，設(shè)出，的長(zhǎng)度，表示出平面的法向量，再用含的式子表示，進(jìn)而將所給線面角表示為關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，借助函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有解得出長(zhǎng)度的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】平面，平面，，又，，平面，平面，，又，，平面，平面，.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，又，，平面，平面，，由（1）可知，在中，，.與相似，則，在中，，，，..【小問(wèn)3詳解】以為原點(diǎn)，以，所在直線分別為軸，軸，以過(guò)點(diǎn)垂直于平面的直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.，，不妨設(shè)，，，，即，由知，于是，，，，設(shè)，則，，由可得，，.，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，于是令，得，，平面的一個(gè)法向量為，，結(jié)合，化簡(jiǎn)得，設(shè)，，要存在，使與平面所成角為，在上有零點(diǎn).結(jié)合知函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，故，又，只需滿足，解得.的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（3）問(wèn)中，可將用到的線段長(zhǎng)度設(shè)兩個(gè)未知量，表示，再用勾股定理消掉一個(gè)未知量，將題中所給線面角度關(guān)系表示為含和的函數(shù)關(guān)系式，因?yàn)?，可將看作主元，將所求?wèn)題變?yōu)榍蠛瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)有解問(wèn)題，進(jìn)而得到結(jié)果.19.在平面直角坐標(biāo)系中，若，兩點(diǎn)在直線的同一側(cè)，則稱，為“同域點(diǎn)”；若，兩點(diǎn)分別在直線的兩側(cè)，則稱，為“異域點(diǎn)”.已知：拋物線：，：.（1）若點(diǎn)，為“異域點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）已知過(guò)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，（Ⅰ）若，為“同域點(diǎn)”，比較與0大小關(guān)系并說(shuō)明理由；（Ⅱ）直線的斜率為，過(guò)原點(diǎn)作斜率為的直線，，，點(diǎn)，到直線的距離分別記為，，若，求點(diǎn)，為“同域點(diǎn)”的概率.【答案】（1）（2）（Ⅰ），理由見(jiàn)解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（1）根據(jù)“異域點(diǎn)”的定義列不等式組即可求解；（2）（Ⅰ）分，為在下方和，為在的上方兩種情況，列不等式組即可得；（Ⅱ）根據(jù)題意由點(diǎn)到直線的距離公式可得，，分，為“同域點(diǎn)”和，不為“同域點(diǎn)”兩種情況，結(jié)合即可求解.【小問(wèn)1詳解】：，要使點(diǎn)，為“異域點(diǎn)”，則應(yīng)在的下方，應(yīng)在的上方，所以，解得；【小問(wèn)2